Залишок 0, алгоритм закінчений. Найбільший звичайний дилер останній ненульовий залишок - у нашому випадку 3.
Виникають два важливі питання (як і у всіх алгоритмах):
- Чи обов’язково алгоритм закінчиться?
- Чи справді це забезпечує те, що ми очікували? (A lnko-t.)
Відповідь на питання 1: Оскільки залишок у залишковому поділі завжди менший за дільник, \ [b> m_1> m_2> m_3> m_4 \ ldots, \] тобто послідовність залишків суворо монотонно виснажується. Оскільки в \ (\ mathbb N \) під \ (b \) є лише кінцеве число (зокрема \ (b \) db), ця втрата ваги не може тривати нескінченно довго. В іншому випадку він не може зупинитися, лише щоб закінчився 0 \ (\ Longrightarrow \) алгоритму (термінал).
Відповідь на питання 2: Це вже важче. Чому останній ненульовий залишок (\ (m_k \)) буде найбільшим спільним дільником вихідних двох чисел (\ (a \) та \ (b \))?
2.1. твердження: Останній ненульовий залишковий загальний дільник: Запишіть залишки, що залишилися, у вигляді добутку, а потім з’ясуйте, хто з чисел ділиться на останній ненульовий залишок, \ (m_k \).
(Малюнок показує це в алгоритмі, що закінчується 6 кроками: натискання на нього виділяє числа, розділені на останній ненульовий залишок, у нашому випадку \ (m_5 \).
(2) В останньому рядку \ (m_5 \) помножується на \ (h_6 \) на \ (m_4 \), що також ділить \ (m_4 \). (Клацніть!)
(3) Останній рядок розділив \ (m_4 \) та \ (m_5 \) на п'ять \ (m_5 \).
Перенесімо ці знання на передостанній рядок! (Клацніть на зображення!)
(4) Праворуч від передостаннього рядка обидва терміни можна розділити на \ (m_5 \), тому \ (m_3 \) також можна поділити на нього. (Клацніть на зображення!)
(5) Таким чином, з правого боку четвертого рядка \ (m_3 \) та \ (m_4 \) можна розділити на \ (m_5 \) (клацання), так що лівий \ (m_2 \) також може бути розділений ним (клацає).
(6) Таким чином, з правого боку третього рядка \ (m_2 \) та \ (m_3 \) можна розділити на \ (m_5 \) (клацання), так що лівий \ (m_1 \) також може бути розділений ним (клацає).
(7) Отже, з правого боку другого рядка \ (m_1 \) та \ (m_2 \) можна розділити на \ (m_5 \) (клацніть), отже лівий \ (b \) можна поділити ним (клацніть).
(8) Таким чином, з правого боку першого рядка \ (b \) та \ (m_1 \) можна розділити на \ (m_5 \) (клацнути), щоб лівий \ (a \) можна було розділити ним ( натисніть).
Неважко помітити, що незалежно від кількості кроків алгоритму, те, що ми сказали тут, є істинним: останній ненульовий залишок також ділить \ (a \) та \ (b \), тобто
останній ненульовий залишок є загальним дільником \ (\ mathrm \) та \ (\ mathrm\).
2.2. твердження: Останній ненульовий залишок більший або дорівнює всім загальним дільникам: Нехай \ (d \) є загальним дільником чисел \ (a \) та \ (b \): \ [d \ text< >\ великий | \ текст< >a \ hphantom \ text \ hphantomd \ text< >\ великий | \ текст< >b \]
Залишкові поділки від добутку товару та суми тепер записуються у вигляді різниці.
(Знову на кроці 6, на малюнку показано алгоритм завершення: виділення жовтим кольором цифр, які розділяє загальний дільник \ (d \).)
(2) У першому рядку він ділить обидва члени лівої сторони на \ (d \), тому він також ділить праву сторону на \ (m_1 \). (Клацніть!)
(3) Отже, на лівій стороні другого рядка вона ділить \ (b \) та \ (m_1 \) на \ (d \) (клацання), отже, вона також ділить \ (m_2 \) праворуч (клацання).
(4) У лівій частині третього рядка розділіть \ (m_1 \) та \ (m_2 \) на \ (d \) (клацніть), щоб \ (m_3 \) праворуч (клацніть).
(5) Поділяє \ (m_2 \) та \ (m_3 \) з лівого боку четвертого рядка на \ (d \) (клацання), так само \ (m_4 \) праворуч (клацання).
(6) На лівій стороні п'ятого рядка розділіть \ (m_3 \) і \ (m_4 \) на \ (d \) (клацніть), щоб \ (m_5 \) з правого боку (клацніть).
І \ (m_5 \) був останнім ненульовим залишком, тобто: \ [d \ text< >\ великий | \ текст< >m_5 \]
(Ще один клік, і зображення знову стане сірим.)
Зрозуміло, незалежно від кількості кроків в алгоритмі, те, що ми сказали тут, відповідає дійсності: будь-який загальний дільник \ (a \) та \ (b \) ділить останню ненульову залишок. Однак той, хто ділиться, не може бути більшим за того, хто ділиться, тобто \ [d \ le \ text \]
Отже, він є найбільшим спільним дільником.