1 Аналіз відновлення коефіцієнтів розпаду на Т-зважених зображеннях мозку 2 магнітно-резонансного Родні Харамільо Джастініко Національний університет Колумбії Медельїн Кампус Факультет наук Аспірант з математики Червень 2014

відновлення

3 Аналіз відновлення коефіцієнтів розпаду в Т2-зважених зображеннях головного мозку магнітного резонансу Автор: Родні Харамільо Джастініко Робота представлена ​​як часткова вимога для здобуття звання доктора математичних наук Директор: Національний університет Маріанели Лентіні Гіл, Колумбія Наук Аспірант з математики Червень 2014

4 Ця робота була частково підтримана Управлінням віце-президента з наукових досліджень через проект "Зміцнення групи наукових обчислень", код Гермеса 16084

5 Подяка Я дякую своїм колегам та друзям, викладачам шкіл математики та статистики, які особливо заохочували реалізацію цього проекту Карлосу Мехії, Марко Палушні, Уго Арбелаесу та Хуану Карлосу Салазару. глибока подяка Беатріс Корреа, без наполягання якої я б не відновив докторантуру, я маю особливе почуття вдячності до своєї радниці, професора Маріанели Лентіні, за її відданість і особливо за її вчення, наприклад, довіру та дружбу., Я дякую за безумовну прихильність людей, які з нетерпінням чекали, а іноді і з нетерпінням коханої людини, завершення цієї тези: моїй матері Гледіс, моєму батькові Людоберто, моїй дружині Ользі Росіо та нашим дітям Самуелю та Хуані

9 Зміст Анотація Анотація Зміст i ii iii Вступ 1 1 Варіант методу Проні 3 11 Методи типу Проні 3 12 Варіант методу Проні 5 2 Аналіз стійкості Чисельне моделювання 17 3 Фільтри у вейвлет-області для зменшення шуму у магнітно-резонансній томографії Впровадження фільтрів у вейвлет-області для магнітно-резонансної томографії Видалення зміщення для даних після розподілу Риса Впровадження нового фільтра у вейвлет-області для магнітно-резонансної томографії Формула для коефіцієнтів масштабу фільтр типу Вінера для хвильових коефіцієнтів Двосторонній фільтр Алгоритм зменшення шуму на магнітно-резонансних зображеннях Перевірка фільтра з використанням синтетичних зображень Ефективність фільтра на реальному магнітно-резонансному зображенні 37 4 Чисельні результати Застосування методу на зважених зображеннях у Real T 2 MRI Re Чисельні результати на синтетичних зображеннях Висновки та обговорення результатів 53 iii

10 Бібліографія 54 iv

13 Розділ 1 Варіант методу Проні 11 Методи типу Проні Методи типу Проні складають сімейство методів, що дозволяють, серед інших задач, вирішувати експоненціальне регулювання, задане системою рівнянь kyi = b + C je iλ jtj = 1 i = 1, n, якщо у формулюванні, заданому (1), визначено b = C 0 і λ 0 = 0, то дані yi повинні задовольняти моделі µ (ti) = µ (it) yi, де µ задана функція через µ (t) = k C je λjt j = 0 Ці методи, також відомі як поліноміальні методи, характеризуються тим, що µ (t) задовольняє різницеве ​​рівняння виду (δk + 2 E k δ 2 E + δ 1) µ (t) = 0, (2) де оператор E заданий (Eµ) (t) = µ (t + t), а значення β j = e λ jt є коренями многочлена P (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 = 0, (3) який є характеристичним поліномом, пов’язаним з різницевим рівнянням (2) При оцінці (2) для ti = it, i = 1, nk 1, отримуємо набір рівнянь δ k + 2 µ (t k + 2) + + δ 1 µ (t 1) = 0 δ k + 2 µ (tn) + + δ 1 µ (t n k 1) = 0 3

17 У цьому випадку коефіцієнтами полінома α (z) є симетричні функції в β 1, β k, що визначаються w (k) 1 = β β kw (k) 2 = β l β rlrw (k) 3 = lr, ls, srw (k) k 1 = (1) k β l β r β sk (k) β lj = 1 w (k) k = (1) k + 1 ljk β j, ці коефіцієнти розраховуються як рішення системи рівнянь Нарешті, β j - це корені многочлена j = 1 M (k) w (k) = Q (k) (12) α (k) (z) = zkkj = 1 w (k) jzkj (13) Дві теореми, які ми наведемо нижче, встановлюють взаємозв'язок між рішенням, отриманим за процедурою, яку ми щойно описали, та модифікованим методом Проні, описаним у розділі 11 Теорема 1 Нехай R - матриця порядку kk, визначена наступним: R = 1, якщо k = 1, а для k> 1 1, якщо i = j, R (i, j) = 1, якщо j = i + 1, 0, інакше Крім того, нехай P (z) і α (k) (z) поліноми, визначені у (3) та (13) відповідно, якщо δ = [δ 1, δ k + 1, 1] є рішенням задачі оптимізації (9), то вектор w (k ) = R 1 [δ k, δ 1] T задовольняє. Крім того, M (k) w (k) Q (k) = XT δ і P (z) = (z 1) α (k) (z) Тест Розчин δ = [δ 1, δ k + 1, δ k + 2] з (9) задовольняє δ k + 2 = 1 У випадку, коли ми розглядаємо β 0 = 1, це корінь з P (z), з якого випливає, що δ j = 1 k + 1 j = 1 7

18 Тоді M (k) w (k) Q (k) = M (k) R 1 Rw (k) Q (k) = M (k) R 1 δ ḳ y k + 1 і k + 2 δ 1 yn 1 yn = M (k) R 1 δ ḳ δ 1 [k + 1 j = 1 δ j] і k + 1 yk + 2 [k + 1 j = 1 δ j] yn 1 yn = M (k) R 1 δ ḳ + yk + 1 і k + 1 δ ḳ + δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 δ k + 2 і k + 2 yn + δ k + 1 і k + 1 yn 1 = δ k + 2 і k + 2 yn + δ k + 1 і k + 1 yn 1 + M (k) R 1 δ ḳ + yk + 1 і k + 1 δ ḳ δ 1 yn 1 yn 1 δ 1 = δ k + 2 і k + 2 yn + δ k + 1 yk + 1 yn 1 + ykyk 1 y 1 yn 2 yn 1 ynk 1 δ ḳ δ 1 8

19 = y 1 і 2 і k + 2 і 2 і 3 і k + 3 і 3 і 4 і k + 4 ynk 1 ynkyn δ 1 δ 2 δ k + 1 δ k + 2 = W і δ З рівняння (6) випливає, що тепер для полінома P (z) маємо P (z) = δ k + 2 zk δ 2 z + δ 1 ((k = (z 1) zk = (z 1) = (z 1) (( j = 1 M (k) w (k) Q (k) = XT δ y (k 1 δ j) zk 1 j = 1 δ j) zk 2 (δ 1 + δ 2) z δ 1) zkw (k) 1 zk 1 w (k) 2 zk 2 w (k) k 1 zw (k) kzk = (z 1) α (k) (z) kj = 1 w (k) jzkj)) Теорема 2 Припустимо, що існує лише розв’язання задачі оптимізації (9) Вектор δ R k + 2 є розв’язком задачі (9) тоді і лише тоді, коли R 1 [δ k, δ 1] T є розв’язком найменших квадратів лінійного рівняння (12) Доведення Нехай δ R k + 2 є розв’язком задачі (9), ζ = R 1 [δ k, δ 1] T і нехай ψ - розв’язок найменших квадратів лінійної системи (12) З теореми 1 випливає, що XT δ y = M (k) ζ Q (k) min M (k) z Q (k) z = M (k) ψ Q (k) (14) Розглянемо ξ R k, задане [ξ k, ξ 1] T = Rψ (15) та γ R k + 2, визначені як k γ = [ξ 1, ξ k, 1 ξ j, 1] T (16) j = 1 За теоремою ( 1) маємо M (k) ψ Q (k) = Xγ T y 9

20 Тоді XT δ і XT γ і За гіпотезою δ є єдиним рішенням задачі оптимізації, тоді δ = γ, що означає, що [δ k, δ 1] = [ξ k, ξ 1] Тоді маємо Rζ = Rψ, звідки ζ = ψ Аналогічно ми можемо показати, що γ у (16) є рішенням задачі оптимізації (9) за умови, що siempre - це рішення найменших квадратів лінійної системи (12) 10

29 Рисунок 22: Середнє значення відносних помилок після 100 прогонів для першої моделі, що відповідає гауссовому шуму Рисунок 23: Відносні похибки для першої моделі, що відповідає шуму Ріціа 19

30 Рисунок 24: Середнє значення відносних помилок після 100 прогонів для першої моделі, що відповідає шуму Ріціа Рисунок 25: Відносні помилки для другої моделі, що відповідає шуму Ріціа 20

31 Рисунок 26: Середнє значення відносних помилок після 100 прогонів для другої моделі, що відповідає шуму Ріціа Рисунок 27: Відносні помилки для третьої моделі, що відповідає шуму Ріціа 21

32 Рисунок 28: Середнє значення відносних похибок, після 100 прогонів, для третьої моделі, що відповідає шуму Ріціа. Умови η G η D ˆη Модель моделі моделі

37 З іншого боку, якщо x 375, то () () xex I 0 (x) = xx () ɛ 1 yx () () xex I 1 (x) = xx () ɛ 2, x де ɛ 1 19 (10 ) 7 y ɛ 2 22 (10) 7 Це поліноміальне подання можна знайти в тексті Абрамовица-Стегуна, [1], сторінка 378 Тоді, якщо x 15, то xy, отже (x 2 4 ex 2 4 I0 (x2 4) = x ()) x 2 2 ex 2 x 2 4 I0 4 (= x () () xx 2 ()) ɛ 1 x 2 Тоді x 2 lim x Аналогічно доведено, що x 2 lim x 4 ex 2 4 I 0 ( x2 x 4 ex 2 4) 4 I 1 (x2 x 4) = ɛ 1 (37) 2 = ɛ 2 (38) 2 Фактор v (x) x можна записати як v (x) x = [x π e I 0 (x2 x 4) + 2 x 2 4 ex 2 4 I 0 (x2 x 4) + 2 x 2 4 ex 2 4 I 1 (x2 x 4)] (39) З рівності (36), (37 ), (38) та (39) випливає, що v (x) π L: = lim xx = 2 (ɛ 1 + ɛ 2) E r, де E r π 2 () (10) (10) 7 27

43 Рисунок 32: Синтетичне зображення, створене за допомогою MATLAB 34 Перевірка фільтра з використанням синтетичних зображень У цьому розділі проводиться порівняння продуктивності фільтра, спочатку розробленого Казубеком, та модифікованої версії. а шумові зображення генеруються додаванням рисового шуму до синтетичного зображення Шум генерується рівнянням J e (m, n) = (J (m, n) + e 1) 2 + e 2 2, (45) де J (m, n) - значення без шуму, а e 1 і e 2 - випадкові числа, які відповідають розподілу Гауса з нульовим середнім значенням та стандартним відхиленням σ Важливо зазначити, що рівні сірого на зображенні знаходяться від 0 до 88 П'ять використовуються рівні σ, σ = [1, 2, 5, 8, 12] П'ять індексів, які найчастіше зустрічаються в літературі, були розглянуті для порівняння продуктивності фільтрів: відношення сигнал/шум (SNR), піковий сигнал до коефіцієнт шуму (PSNR), середньоквадратична помилка (RMSE), середня абсолютна похибка ror (MAE) та структурний аналогічний індекс (SSIM) Дано два зображення розмірів n x n y, еталонне зображення r (x, y) та друге зображення t (x, y), яке можна розглядати як порушення першого; величини PSNR, RMSE та MAE даються 33

45 σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 оригінальні помилки Модифікація алгоритму Казубека до алгоритму Казубека Таблиця 31: SNR (r, t) між вихідним зображенням та відфільтрованим зображенням σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 оригінальних помилок Модифікація алгоритму Казубека до алгоритму Казубека Таблиця 32: PSNR (r, t) між вихідним зображенням та відфільтрованим зображенням σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 оригінальних помилок Модифікація алгоритму Казубека до алгоритму Казубека Таблиця 33: RMSE (r, t) між вихідним зображенням та відфільтрованим зображенням σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 оригінальних помилок Модифікація алгоритму Казубека до алгоритму таблиці Казубека 34: MAE (r, t) між вихідним зображенням та відфільтрованим зображенням σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 вихідних помилок Модифікація алгоритму Казубека до алгоритму Казубека Таблиця 35: SSIM (r, t) між вихідне зображення та відфільтроване зображення 35

46 σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 оригінальні помилки 326% 652% 1625% 2616% 3917% Алгоритм Казубека 211% 399% 938% 1441% 1947% модифікація алгоритму Казубека 205% 379% 857% 1305% 1731% Таблиця 36: Процентна помилка в розрахунку RMSE між зображеннями та вихідним синтетичним зображенням σ = 1 σ = 2 σ = 5 σ = 8 σ = 12 оригінальні помилки 442% 882% 2207% 3537% 5294% Алгоритм Казубека 237% 444% 1055% 1626% 2111% модифікація алгоритму Казубека 230% 423% 1000% 1526% 1948% Таблиця 37: Похибка у відсотках при обчисленні MAE між зображеннями та оригінальним синтетичним зображенням Рисунок 33: Над зображенням, що зазнало впливу за шумом, що відповідає σ = 2 Нижче відфільтрованого зображення, знайденого модифікацією фільтра Казубека 36

47 35 Ефективність фільтра на реальному МРТ-зображенні Рисунок 34: МРТ-зображення головного мозку та дві обрані області, що представляють інтерес. Зображення головного мозку, наведене нижче, є реальним МРТ-зображенням, на якому буде застосовано застосований нами фільтр, що пояснюється в цьому розділі. оцінити його ефективність на зображеннях, які не походять із моделювання 1. Під час кількісної оцінки відмінностей між вихідним зображенням та відфільтрованим зображенням отримуються наступні значення для області, позначеної у верхній частині RMSE = 4287 MAE = 3399 SSIM = 0938, а для району, відмежованого внизу, RMSE = 4261 MAE = 3396 SSIM = Я дякую професору Томасу М. Дезерно з Uniklinik RWTH, Аахен, Німеччина за надання цього та інших клінічних зображень 37

48 Рисунок 35: Область, що цікавить оригінальне зображення, показана ліворуч Область, що цікавить оригінальне зображення, показана праворуч Рисунок 36: Область, що цікавить оригінальне зображення, показана праворуч. Область у відфільтрованому зображення 38

51 Рисунок 41: Вгорі, ліворуч і праворуч, перший і третій ехо, відповідно, нижче п’ятого ехо Малюнок 42: Графік праворуч показує спади рівня інтенсивності, які відповідають точкам, вказаним на графіку ліворуч 41

52 Рисунок 43: Область, що цікавить, показана у верхній частині. У нижній лівій частині - графік, отриманий при застосуванні варіанту методу Проні. У нижній правій частині на відгомонах показано рішення, отримане при застосуванні фільтра. перед використанням варіанту методу Проні Рисунок 44: Область, що цікавить, показана у верхній частині. У нижньому лівому куті - графік, отриманий із застосуванням варіанту методу Проні. У нижньому правому куті розчин, отриманий із застосуванням фільтра, показано на лунах, перед використанням варіанту методу Проні 42

53 Рисунок 45: Зображення шостого відлуння області ROI1 зверху та області ROI2 нижче 43

54 Рисунок 46: Функції щільності ймовірності, що відповідають ROI1 та ROI2 Верх: результат повідомляється в [19] Середній: Розчин, отриманий методом Проні без процесу фільтрування Внизу: Розчин, отриманий шляхом застосування фільтра на зображеннях перед використанням методу Prony 44

56 Параметри послідовності mri2 відлуння разів кут перекидання 30 тип зображення M inu-поле A кількість відлунь 1 відс. Inu 0 відсотків шуму 3 фантом: msles3 довільне засівання 0 еталонної тканини 0 техніка сканування SFLASH товщина зрізу 2 ti tr: 2500 Параметри послідовності mri3 відлуння разів кут перекидання 30 тип зображення M inu-поле A кількість відлунь 1 відс. Inu 0 відсотків шуму 1 фантом: msles3 випадкове засівання 0 еталонної тканини 0 скануюча техніка SFLASH товщина зрізу 2 ti tr:

57 Параметри послідовності mri4 відлуння разів кут відкидання 30 тип зображення M inu-поле A кількість відлунь 1 відс. Inu 0 відсотків шуму 0 фантом: msles3 випадкових затравок 0 еталонної тканини 0 скануюча техніка SFLASH товщина зрізу 2 ti tr: 2500 mri1 mri2 mri3 mri4% шуму: 3% шуму: 3% шуму: 1% шуму: 0% -іну: 20% -іну: 0% -іну: 0% -іну: 0 Таблиця 42: Відмінності в рівнях шуму синтетичних зображень, створених Brain-Web 47

58 Рисунок 47: Зображення першого, четвертого та п’ятого відлуння послідовності mri1 48

59 Рисунок 48: Зображення, запитувані в регіоні BrainWeb ROIw1 вгорі, ROIw2 в центрі та ROIw3 нижче 49