математична

В
В 		В

Індивідуальні послуги

Стаття

  • Іспанська (pdf)
  • Стаття в XML
  • Посилання на статті
  • Як цитувати цю статтю
  • Автоматичний переклад
  • Надішліть статтю електронною поштою

Показники

  • Цитується SciELO
  • Доступ

Пов’язані посилання

  • Подібне в SciELO

Поділіться

Акт Нова

версія В он-лайн В ISSN 1683-0789

RevActaNova.В т.3В No1В КочабамбаВ груд. 2005 р

Наукова стаття

Футбол та математика: імітаційна модель Монте-Карло *

Едуардо Піза Воліо

Дослідницький центр з чистої та прикладної математики (CIMPA)
Університет Коста-Рики, Поштовий Індекс 2060, Коста-Рика.
електронна адреса: [email protected]

1. Вступ

Ми починаємо з того, що згадуємо, що в середовищі Коста-Рики існувала велика мотивація для розробки та впровадження описаної тут моделі. Справді, футбол є найпопулярнішим видом спорту в Коста-Ріці: масовим видом спорту, шанувальниками якого є люди будь-якого віку, статі та соціального стану. Більше того, в певні періоди пристрасть до футболу є найважливішою соціальною силою в країні, на швидкості якої розвивається життя костариканців, перш за все такі питання, як політика, робота, загальне становище країни тощо. Те саме явище спостерігається у багатьох інших країнах світу з меншою або більшою інтенсивністю.

Автор мав досвід розробки моделі, набагато примітивнішої, ніж нинішня, для вивчення ймовірностей класифікації збірної Коста-Рики до останнього чемпіонату світу з футболу у Франції 1998 [5].

2. Імітаційна модель

З іншого боку, в імітаційних моделях Монте-Карло використання хорошого алгоритму генератора випадкових чисел має принципове значення, оскільки воно є суттю випадкового моделювання. У зв'язку з цим слід уникати використання генераторів типу "конгруентний" або "псевдовипадковий", що є традиційними мовами програмування, оскільки ці генератори мають невеликі статистичні упередження, які роблять їх невідповідними в контексті дослідження. . При реалізації нашої моделі в PASCAL ми використовували генератор випадкових чисел напівадитивного типу (нескінченного періоду), розроблений Кнутом та цитований у Press et. до. (1990), що було доведено доцільним в моделювальних дослідженнях Монте-Карло.

3. Дані моделі

Шон n кількість команд, що грають у турнірі та k кількість місць, доступних для рейтингу. Наприклад, для турніру КОНКАКАФ, n = 6 і k = 3. Програма моделювання вимагає наведеної нижче інформації:

На додаток до вищезазначеного, програма моделювання вимагає певної додаткової інформації, а саме: кількості очок, отриманих з перемогою (як правило, 3 у випадку з футболом), кількості очок, отриманих за нічиєю (зазвичай 1), і якщо є - це чи не перестрілка з пенальті (ні, у випадку з КОНКАКАФ), коли відбувається рівна кількість. Ця додаткова інформація призначена для використання моделі з деякими незначними змінами в інших подібних спортивних змаганнях.

4. Глобальні припущення моделі

Моделювання проводиться за низкою загальних або загальних гіпотез, які ми зараз перелічимо:

1. За повної відсутності інформації (наприклад, на початку турніру), ймовірність того, що поєдинок закінчиться нічим, становить близько 20,4%. Цей відсоток був отриманий на основі статистичного аналізу результатів тисяч світових кваліфікаційних футбольних матчів за всю історію: приблизно 20,4% матчів закінчуються рівно, як показано на малюнку 1.

2. За відсутності конкретної інформації (наприклад, на початку турніру), під час моделювання матчу кожна команда має еквівалентну ймовірність перемоги, тобто близько 39,8%.

3. Шанси на нічию або перемогу команд у кожній грі, що імітується, змінюються дещо динамічно, як це пояснюється в наступному розділі, відповідно до змін, які зазнали використані критерії.

4. Модель враховує результати попередньо зіграних матчів у турнірі, оскільки це один з найважливіших параметрів для встановлення відмінностей щодо поточної сили команд.

10. Модель не враховує деякі неймовірні факти, які можуть виникнути під час розвитку турніру, такі як, наприклад, упередження, спричинені помилками суддів, змінами тренерів, можливими травмами важливих гравців, неучастю викликаних «легіонери» (які виступають у лігах інших країн) тощо. Ці неймовірні факти важко об'єктивно моделювати, оскільки, крім їх неможливості на практиці, ми дізнаємось лише про особливості того, що відбувається, оснащуючи наші уподобання, часто не знаючи, які труднощі мають наші супротивники.

У процесі моделювання припустимо, що особа команди ДО (домашня команда) проти команди B (відвідуюча команда) на дату (або час) т. Потім приступаємо до обчислення ймовірностей pA(т), PE(т) Y PB(т) відповідно, що А виграє, є нічия, або виграє B, де pA(т)+PE(т)+PB(т) = 1. Зрозуміло, що для цього досить обчислити pA(т) Y PE(т), оскільки PB(т) обчислюється різницею. Ці ймовірності динамічні або залежать від часу т, або дату, на яку грається. Змінна часу безпосередньо пов'язана з порядком, в якому заплановані матчі, тобто календарем турнірів.

На початку моделювання оцінюється ймовірність нічого PE(т) о 20.4 %, що є емпіричним відсотком матчів, які закінчуються рівною мірою згідно статистичних досліджень. По мірі проходження турніру така ймовірність PE(т) нічого між командою ДО проти команди B Він обчислюється за такою формулою:

В • Немп(т) - кількість матчів турніру, які закінчились рівно, до дати т.

В • Ntot(т) - кількість матчів турніру, які вже були зіграні до дати т.

Таким чином, ймовірність pE(т) краватки між ДО Y B це адекватно відображає тенденцію до рівних результатів, які турнір дав дотепер, з верхньою межею 25% і нижньою границею 15%, значення, що представляють варіацію на 5% вище і нижче середнього. Для вибору цих максимальних та мінімальних меж імовірності був проведений аналіз чутливості pE(т), доводячи на практиці, що зміна цих зупинок не робить істотного впливу на отримані результати.

Більш докладною є оцінка ймовірності pA(т), що команда господарів є переможцем ДО. Коротко, pA(т) впливають три основні фактори, а саме: (i) Справа в тому, що ДО є господарі, що майже завжди є перевагою для ДО (ніколи не є недоліком); (ii) результати діяльності, дотепер отримані командою ДО на турнірі, порівняно з результатами, отриманими командою B; (iii) спортивна історія команд, відображена в офіційному рейтингу ФІФА, оновленому на дату матчу.

На додаток до цих основних факторів втручається четвертий вторинний фактор, який називається "фактором неможливості", який включає деяку іншу відповідну інформацію для оцінки результату, таку як, наприклад, якщо якась із команд ДО або B вони вже класифіковані, або елімінуються, або якщо хтось із них кваліфікується з перемогою, або буде ліквідований з поразкою. Остаточна формула, яка використовується для розрахунку ймовірності pA(т) Це наступне:

Після обчислення ймовірностей ПА(т), pE(т) Y PB (т), діяти наступним чином, щоб вирішити результат поєдинку між ДО Y B: генерується випадкове число з рівномірним розподілом у (0,1). Якщо сформоване число знаходиться в інтервалі (0, ПА(т)), тоді команда оголошується переможцем ДО. Якщо сформоване число знаходиться в діапазоні [ПА(т), ПА(т) +pE(т)], тоді гра оголошується рівною. Нарешті, якщо сформоване число знаходиться в інтервалі [ПА(т) + pE(т), 1), тоді гостьова команда оголошується переможцем B.

7. Рейтинг коефіцієнтів та магічних очок

Дотримуючись раніше описаних правил, турнір, про який йде мова, завершується симуляцією, повторюючи цей процес мільйони разів, скільки завгодно. Для таких цілей більш ніж достатньо півмільйона моделювань, оскільки обчислені ймовірності більше не змінюються в перших 3 знаках після коми.

Потім ми продовжуємо обчислювати частку випадків, коли кожна команда-учасниця отримує класифікацію. У випадках поєднань в кваліфікаційних місцях застосовуються правила тайбрека, передбачені FIFA, такими: (i) тайбрек для різниці голів; (ii) якщо нічия зберігається, вона порушується за кількістю забитих голів. У моделі, якщо зв’язок зберігається, використовується шанс вибрати класифікований.

Крім того, обчислюється частка випадків, коли певна команда - наприклад, Коста-Рика - отримує класифікацію з кількістю балів, що перевищує або дорівнює певній заздалегідь визначеній кількості балів. Таким чином, це називається таблиця балів магічний (див. малюнок 5), що відображає ймовірність того, що відповідна команда повинна пройти кваліфікацію, якщо їй вдасться отримати певну загальну кількість очок в кінці турніру.

8. Заключні коментарі та деякі висновки

Однак слід мати на увазі, що через саму природу такого виду спорту, як футбол, в якому дуже задіяні випадкові ситуації, а також велика кількість непереборних факторів, будь-яка математична модель імовірнісного типу має більше описове значення реальності, яка прогностичне значення. Слід розуміти, що в основному ця методологія допомагає описати реальність, спираючись на наявну на даний момент інформацію, пропонуючи результати у формі ймовірностей. Але, очевидно, неможливо передбачити майбутнє з певністю, особливо в такому випадковому виді спорту, як футбол. Порівняйте, наприклад, з результатами, які можна очікувати в інших видах спорту, таких як плавання, легка атлетика та шахи, в яких виникає менше сюрпризів, ніж у футболі.

Низька прогнозована цінність моделі - це аспект, який не завжди добре розумівся у спортивній пресі, яка широко охоплювала розрахунки, зроблені з цією моделлю. Наприклад, одного разу стаття була опублікована в одній з найбільш тиражованих газет, дуже добре підготовлена ​​у всьому її змісті, за винятком заголовка статті, який великими літерами читав "Математик передбачає класифікацію нашого відбору!".

Що стосується самої математичної моделі, то деякі аспекти можуть бути оскаржені та змодельовані по-іншому. При розробці моделі дотримувалася політика встановлення невеликого набору робочих гіпотез або факторів, що впливають на ймовірності, намагаючись зробити модель якомога простішою. Ця методологія забезпечує основу, на основі якої можуть бути розроблені інші можливі дослідження з деякими варіаціями гіпотез.

* Стаття представлена ​​на IX Болівійському конгресі математики, Потосі-Болівія, листопад 2002 р

1 В якості альтернативи може бути використаний інший рейтинг, наприклад, "Світовий рейтинг футбольного ело" [3]. Хоча рейтинг FIFA зазнав широкої критики, він все ще є найбільш відомим.

Список літератури

[3] Світовий футбольний рейтинг Elo, www.eloratings.net. 2002 рік.

[4] В. Прес; Б. Фланнер; С. Тевкольський та В. Феттерлінг. Числові рецепти: Мистецтво наукових обчислень. Cambridge University Press, Cambridge., 1990. [Посилання]

[5] Едуардо Піза V. Симулятори та футбол. Спогади XI Міжнародного симпозіуму з математичних методів, застосованих до наук, с. 145-155. Спільна редакція UCR-ITCR, Санта-Клара, Коста-Ріка.

[6] Едуардо Піза V. Імітаційна модель результатів футбольного турніру. Журнал CIEMI, рік 8, том 32, стор. 33-44, Сан-Хосе.

В Весь вміст цього журналу, крім випадків, коли він ідентифікований, перебуває під ліцензією Creative Commons