Коли математика відкриває таємниці природи: послідовність Фібоначчі та золотий перетин
Для багатьох математик був дуже цікавою та складною перешкодою для випробування на дорослість. Однак математика відіграє незамінну роль у повсякденному житті. І це не закінчується підрахунком яблук у пирозі. Він надає нам інструменти для дослідження космосу. Отже, математика - це свого роду служниця - або, навпаки, королева - природничих наук.
Математика може бути не тільки корисною, але і надзвичайно цікавою. Однією з її (на мій погляд) найцікавіших міні-зон є Послідовність Фібоначчі та номер золотого перерізу (Послідовність Фібоначчі та золотий перетин). Очевидно, що мене цікавить не тільки я, адже за даними Google, є мільйони посилань на сайти, які ними займаються.
Він заклав основу для розуміння цього математичного явища Леонардо Бонуччі (Фібоначчі - це абревіатура від filius Bonacci - син Боначчі, або Леонардо Пізано, Леонардо да Піза) у книзі "Liber Abacci". Він пояснив це на прикладі розмноження кроликів. Він цікавився, скільки кролів буде в полі через рік, якщо він випустить одну пару на початку, при цьому будуть дотримані такі умови: жоден кролик не загине, кролики досягнуть статевої зрілості через місяць, а одна пара кроликів буде народжені при кожному народженні.
Перші кілька місяців виглядатимуть так (цифри в лівій колонці означають місяці, цифри в правій - кількість пар кроликів):
З розмноження кроликів він вивів послідовність, відому сьогодні як числову послідовність Фібоначчі. Це насправді послідовність чисел, де наступне число - це сума попередніх двох і виглядає так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597.
На перший погляд, це звичайна послідовність чисел, просте додавання. Що ж, ми можемо з цього вивести цікаві речі.
Починаємо визначати відношення двох сусідніх чисел, відношення прийдешнього до попереднього:
Ви, мабуть, помітили, що отримані коефіцієнти коливаються навколо числа 1,61803. Це число з нескінченним десятковим розвитком і вперше було використано Евклідом, оскільки воно мало велике значення в геометрії правильних пентаграм та п’ятикутників. В даний час це називається ϕ, номер золотого перерізу, або у випадку креаціоністів божественна пропорція (золотий перетин/божественна пропорція). Це число визначається геометрично як відношення довжин:
Використовуючи "чудодійні" математичні операції, ми отримуємо алгебраїчні позначення:
ϕ = (1 + √5)/2 = 1,6180339887.
Залишимо математику зараз і подивимось на числа Фібоначчі в природі. Під час еволюції всі живі організми прагнуть оптимізувати свій ріст та ефективно використовувати ресурси. Послідовність Фібоначчі та число золотого перерізу виявилися однією з можливостей.
Давайте розглянемо рослини та розподіл листя на стеблі.
Багато рослин висаджують листя на стеблі по спіралі, так що кожен додатковий лист зростає на певний кут від попереднього. Якби ми тоді розрахували, скільки аркушів у порядку буде точно над першим, і поставили результат пропорційно кількості обертів спіралі, створеної листками, ми отримали б так званий число філотакса, напр. 1/3, 2/5, 3/8 - всі числа послідовності Фібоначчі. Математичне моделювання показало, що завдяки такому розгортанню листя рослини оптимізує кількість сонячного світла та кількість води, яка досягає кожного листка.
Подібним чином використовуються пелюстки (пелюстки) у квітках. Кількість пелюсток у переважній більшості рослин дорівнює одному з чисел Фібоначчі. Наприклад, така маргаритка може мати 13, 21, 34 або 55 пелюсток.
Числа Фібоначчі також можна знайти в інших частинах рослин, які потребують оптимізації. Якби ми розглянули хвойні шишки, ананаси чи насіння у соняшнику, то виявили б, що вони розташовані у спіралях. У цьому випадку йдеться про оптимізацію кількості насіння на певній площі без зайвого невикористаного простору або перекриттів. Шишки та насіння соняшнику утворюють два типи спіралей - за годинниковою стрілкою та проти. Ананас додає ще один.
Які цифри ми отримаємо, якщо порахувати кількість спіралей? Знову ж, це будуть числа Фібоначчі. Насіння соняшнику - 34 у напрямку та 55 у напрямку, шишки 8/13 та ананас 5/8/13. І як ви впевнені правильно розрахувати, відношення кількості спіралей представляє число золотого перерізу. Подібні спіралі можна знайти в інших квітах або овочах (наприклад, у кольрабі) або в одному з найкрасивіших прикладів послідовності Фібоначчі в природі, що представляє собою романеско - щось середнє між цвітною та брокколі, цвітною капустою (нижче). Романеско показує фрактальну структуру послідовності Фібоначчі - але цього разу я не буду використовувати фрактали.
Не в останню чергу, числа Фібоначчі з’являються під час оптимального розгалуження стебел рослин, дерев, а також бронхів та трахеї. І ми повертаємося до кроликів Фібоначчі з самого початку. Кролівничий родовід має таку ж форму, що і стебла рослин, або бронхи та бронхи:
Числа Фібоначчі та золотий перетин також описані на тілі людини - це різні пропорції на обличчі, пропорції кісток на руках, ногах та інших місцях. Однак слід поглянути на ці приклади критичним поглядом і відрізнити так звані "приталені" від справжніх. Одним із прикладів сукцесії Фібоначчі, який я особисто вважаю реальним, є співвідношення суглобів пальців на людській руці. Мало того, що довжина окремих статей пропорційна кількості золотого перерізу. Крім того, коли ми згинаємо пальці і стискаємо кулаки, простір оптимально заповнюється.
Повернімось на мить до чисел та геометрії. Ще однією цікавою математичною операцією, яку можна застосувати до послідовності Фібоначчі, є степенування та подальше додавання.
Оригінальна послідовність Фібоначчі: 1 1 2 3 5 8 13 21 34.
І квадрати чисел: 1 1 4 9 25 64 169 441.
Давайте тепер обчислимо квадрати перших 8 порядкових чисел:
1 2 +1 2 +2 2 +3 2 +5 2 +8 2 +13 2 +21 2 = 714
І що станеться, якщо я помножу число 21 на число 34?
21x34 = 714
Якщо тепер я заміню числа Фібоначчі на квадрати, що представляють їх квадрати, і поступово складаю їх разом, я потрапляю до фігури (L), де вміст прямокутника, утвореного цими квадратами, може бути або сумою їх вмісту, або кратним його сторін (21x (21 + 13)) = 714. Цей прямокутник є прикладом так званого. Золотий прямокутник (золотий прямокутник). Зверніть увагу, що сторони прямокутника можна розділити на основі квадратів із довжиною сторони, що дорівнює числам Фібоначчі, і отримані коефіцієнти будуть близькі до ϕ. Якщо тоді ми опишемо коло з центром в одному куті та радіусом заданого числа Фібоначчі для кожного з даних квадратів Фібоначчі, ми отримаємо спіраль, і так, ви правильно вгадали, золота спіраль (золота спіраль):) - окремий випадок логарифмічної спіралі.
Оскільки ця золота спіраль походить від чисел Фібоначчі, зрозуміло, що вона буде мати різні цікаві властивості. Це помітив і математик Жак Бернуллі (дядько Даніелі Бернуллі, завдяки якому літають літаки) і назвав Спірою Мірабіліс. Хоча спіраль збільшується, її форма залишається незмінною. Його радіус збільшується в геометричній прогресії і збільшується в fold рази з кожним кварталом обороту, тобто. 90 °, що також видно з малюнка вище.
Кожен чверть обороту спіралі утворений квадратом зі стороною, що дорівнює числу Фібоначчі (21). Це приблизно в ϕ рази більше за число (13), яке дорівнює стороні попереднього квадрата (13 x ϕ = 21). Форма цієї спіралі також широко поширена в природі. Це згадані спіралі насіння соняшнику, конуси карбонатів або стиснута в кулак рука, яка нагадує золоту спіраль (враховуючи той факт, що довжина суглобів пальців пропорційна послідовності Фібоначчі, це не дивно ).
Одним з нібито найелегантніших і наочних прикладів цієї спіралі в природі є черепашка морського молюска - човна (Nautilus). Правда, більш точні вимірювання показують співвідношення 1,24-143, у середньому 1,33, що не відповідає ϕ (1618).
Форма цієї золотої спіралі лежить в основі інших величезних до гігантських утворень, таких як урагани або навіть один тип галактик.
Послідовність Фібоначчі є прикладом того, що математика може бути своєрідною універсальною мовою, за допомогою якої природа розкриває закони та принципи, на яких вона діє. З іншого боку, це нам це показує під час еволюції біологічні системи під впливом природного відбору, як правило, еволюціонували до найнижчих можливих витрат з найвищими врожаями.
І останнє, але не менш важливе: навіть застосовуючи послідовність Фібоначчі та номер золотого перерізу до біологічних та інших систем, важливо дотримуватися критичного погляду (ред. Примітка: наприклад твердження про те, що золотий перетин часто використовується в мистецтві та архітектурі або що він містить предмети, фотографії, картини тощо. для людини більш естетичне - це міф). Шукати закономірності та зв’язки - це природна властивість людини, і тому трапляється, що ми ідентифікуємо зв’язки там, де їх взагалі немає, наприклад в плутанині часової спадкоємності з причинно-наслідковим зв’язком при вакцинації та аутизмі.
Додаток автора та редакторів: Як ми бачили на прикладі човна, багато популярних прикладів золотого перерізу не є його точними проявами. Ми не повинні розуміти їх як досконалі прояви математичного принципу, а як наближення до певної формули в результаті еволюційних зусиль для оптимізації зростання. Це пов’язано з тим, що процесам розвитку не дозволяється рухатися до будь-якого точного геометричного оптимуму в живих організмах, на який впливає величезна кількість факторів (тому навіть ваша права і ліва руки не ідентичні з народження).
Це стосується і неживої природи. Ми бачимо це на прикладі кулі, яка представляє форму з найменшою енергією. Тим не менше, об'єкти з ідеальною сферичною формою рідкісні в природі. Те саме і з золотим вирізом - галактики та урагани - не його ідеальні прояви.
На питання, що вважати прикладом золотого перерізу, а що ні, погляди вчених можуть відрізнятися залежно від того, який науковий відділ вони представляють. Хоча представники такої точної науки, як математика, здається, відкидають багато прикладів, біологи (наприклад, автор), усвідомлюючи природу процесів розвитку та розвитку, можуть легко їх прийняти.