ОНЛАЙН КУРС МАТЕМАТИКИ (АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРІЯ)

тики

СКЛАДОВІ ЛОГАРИТМИ

Пов’язані теми:

Дробова частина логарифму зазвичай записується як десяткова. Цифрова ціла частина логарифму та десяткова частина отримали окремі імена, оскільки кожна грає особливу роль стосовно числа, яке представляє логарифм. Цілочисельна числова частина логарифму називається ХАРАКТЕРИСТИКОЮ. Ця частина логарифму вказує положення десяткової коми у відповідному числі. Десяткова частина логарифму називається MANTISA.

Десятковий логарифм 4570 дорівнює 3,65992; цифра 3 - характеристика; десятковий дріб - мантиса, обидві частини не нульові; при логарифмі 3, що дорівнює 0,47712, характеристика дорівнює нулю; степені 10 цілого показника степеня мають десятковий логарифм з нульовою мантисою.

Логарифм 1 має в будь-якій системі обидві частини нуль.

Для певної послідовності цифр, що складають число, мантиса загального логарифму завжди однакова, незалежно від положення десяткової коми в цьому числі. Наприклад, журнал 5270 = 3,72181; мантиса є 0,72181 а характеристика така 3.

ХАРАКТЕРИСТИКА

Характеристика загального логарифму вказує на позицію десяткової коми у відповідному числі. Характеристику для даного числа знаходять спостереження. Нагадаємо, загальний логарифм - це просто показник основи 10.

Коли ми пишемо журнал 360 = 2,555630, ми розуміємо це означає 10 255630 = 360. Ми знаємо, що число дорівнює 360, а не 36 або 3600, оскільки характеристика дорівнює 2. Ми знаємо, що 10 1 - це 10, 10 2 - це, 100 і 10 3 - це 1000. Отже, число, значення якого дорівнює 10 2.55630, буде між 100 і 1000, а потім кожне число в цьому діапазоні має три цифри.

Припустимо, що характеристика дорівнювала 1: де буде розміщено десяткову крапку числа? Оскільки 10 1 дорівнює 10, а 10 2 дорівнює 100, будь-яке число, логарифм якого від 1 до 2, має бути між 10 і 100 і матиме 2 цифри. Зверніть увагу на те, як позиція десяткової коми змінюється із значенням характеристики в наступних прикладах:

журнал 36000 = 4,55530
журнал 3600 = 3,55630
журнал 360 = 2,555630
журнал 36 = 1,55630
журнал 3,6 = 0,55630

Зауважте, що при переміщенні десяткової коми змінюється лише характеристика. Це є перевагою використання бази 10: якщо характеристика відома, десяткову крапку легко знайти.Якщо число відомо, характеристика визначається спостереженням; тобто спостереження за розміщенням десяткової коми.

Хоча розуміння взаємозв'язку характеристики щодо потужності 10 необхідно для повного знання логарифмів, характеристику можна визначити механічно із застосуванням наступного правила:

1. Для числа, що перевищує 1, ознака є позитивною і на одиницю менше числа цифр ліворуч від десяткової коми числа.

2. Для позитивного числа менше 1 характеристика є від’ємною і має абсолютне значення на 1 більше, ніж кількість нулів між десятковою комою та першою ненульовою цифрою числа.

Таблиця 8-5 містить приклади кожного типу характеристик.

Таблиця 8-5. Позитивні та негативні характеристики.

ЗМІНА БАЗИ

Враховуючи логарифм числа в одній системі, його логарифм можна обчислити в будь-якій іншій системі, проблема відома як зміна основи.

Будьте х логарифм P біля основи до; логарифм P біля основи b.

За те, що х логарифм P, біля основи до відносини перевірені P = a x, беручи логарифми за основу b, в результаті цієї рівності це: logbP = x logba; підставляючи х його рівним logaP, ти маєш: logbP = logaP. логба: що виражається словами словами: коли відомий логарифм числа в одній основі, його еквівалент знайдеться в іншій, помноживши його на логарифм першої основи у другій.

Так ви йдете з бази і до бази 10 ставлячи: log10P = logeP. 0,43429 ... Цей коефіцієнт пропорційності називається модулем трансформації і символізується буквою М. Для вираження заданого логарифму в основі 10 в основі і, застосовуючи попереднє твердження, маємо відношення logeQ = log10Q. loge10 = log10Q. 2,30259; Цей коефіцієнт пропорційності є взаємним у порівнянні з попереднім, тому він представлений 1/М.

КОЛОГАРИТМ ЧИСЛА

Визначення. Логарифм цього зміненого знака називається cologarithm числа. У символах: cologarithm of n = - log n.

Кологарифм скорочується, ставлячи одеколон.

З визначення випливає, що log n + colog n = 0. тому робиться висновок, що одеколон числа - це його доповнення до нуля; і з тих пір

log 1/n = - log n, Можна також сказати, що одеколон числа - це логарифм його зворотного.

Важливість щойно визначеного поняття полягає в тому, що в сумі логарифмів від’ємні доданки можуть бути замінені відповідними кологіфтами перед знаком додавання.

Кологарифм числа швидко отримують, враховуючи його логарифм, віднімаючи від 10 першу ненульову цифру праворуч від мантиси, від 9 інших, що залишилися зліва, аж до десяткової коми; до характеристики додається позитивна одиниця і змінюється знак цієї суми.

АНТИЛОГАРИТМ ЛОГАРИТМУ

Так стор - це логарифм n в базовій системі до Люди так кажуть n Чи він антилогарифм з стор у зазначеній базі.

Тоді з визначення випливає, що воно повинно бути n = a P, Або те саме: n = лога n

Приклад: Оскільки log10615 = 2,78888 є антилогом. 2,8888 = 615.

ПРАКТИКА ПРОБЛЕМИ:

У завданнях 1–4 запишіть характеристику логарифму для кожного числа. Від 5 до 8 ставлять десяткову крапку в кожному числі, як зазначено характеристикою (c), вказаною для кожного.

1. 4321 два. 1.23 3. 0,05 4. 12
5. 123; c = 4 6. 8210; c = 0
7. 8; c = -1 8. 321; c = -2

1. 3 два. 0 3. -два 4. 1
5. 12300 6. 8,1210 7. 0,8 8. 0,0321

НЕГАТИВНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Коли характеристика від’ємна, наприклад -2, ми не виконуємо віднімання, оскільки це призведе до негативної мантиси. Є кілька способів вказати на негативну характеристику. Мантиси, як представлено в таблицях у додатку, завжди позитивні, а ознака ознаки вказується окремо. Наприклад,; стовпчик над 2 вказує на те, що лише характеристика є негативною; тобто логарифм дорівнює -2 + 0,36173.

Інший спосіб позначити негативну характеристику - це розміщення її після мантиси. У такому випадку ми пишемо 0,36173 -2.

Третім методом, який використовується в цьому розділі, коли це можливо, є додавання певної суми до. характеристику і відніміть стільки ж вправо в мантисі. У випадку прикладу ми можемо написати:

У цій формі значення логарифму залишається незмінним, але зараз ми маємо позитивну характеристику і мантису.

MANTISA

Мантиса - десяткова частина логарифму. Таблиці логарифмів зазвичай містять лише мантиси, оскільки характеристика легко визначається, як пояснювалося раніше. У таблиці 8-6 наведено характеристику, мантису та логарифм для різних позицій десяткової коми з використанням послідовності цифр 4, 5, 6. Зазначимо, що мантиса не змінюється для цієї конкретної послідовності цифр, незалежно від положення цифра. десятковий знак.

ПРАКТИКА ПРОБЛЕМИ:
Визначте логарифми таких чисел:

1. 64 два. 98 3. 6400 4. 9.8

1. 1.80618 два. 1,99123
3. 3,80618 4. 0,99123

ОПЕРАЦІЇ З ЛОГАРИТМАМИ

Операції, наведені нижче, будуть виконуватися з логарифмами позитивної мантиси.

СУММА

Якщо всі характеристики позитивні, сума поданих логарифмів зменшується до суми десяткових чисел. Якщо характеристики всі негативні, або деякі позитивні, а інші негативні, додаються мантиси, і якщо ця сума містить цілу частину (яка є позитивною), ця частина буде додана до алгебраїчної суми характеристик. З обома результатами формується сума логарифму.

Цей випадок буде проілюстровано на прикладі. Будьте

сума мантис 1,65610, що з характеристик і цілого числа 1 є

возз'єднавши обидва результати, ми маємо, що пропонована сума є 365610.

ВІДНІМАННЯ ДВОХ ЛОГАРИТМІВ

Якщо мантиса мінуєнда більша, ніж матриси, що вираховується, різниця є мантисою різниці даних логарифмів; якщо перший менше, ніж другий, перший збільшується на 1, а характеристика збільшується на негативну одиницю. У всіх випадках характеристикою є різниця характеристик у наведеному порядку.

Усі ці приклади можна розв’язати, вдавшись до кологіарифмів віднімань.

ПРОДУКТ ЧИСЛА І ЛОГАРИТМУ

Приклади ілюструють процедуру, якої слід дотримуватися в кожному випадку.

1. 5 х журнал 217 = 5 х 2,333646 = 11,68230. Просто помножте їх на правила десяткових чисел.

два. 0,4 x журнал 0,00715 = 0,4 x 3,85431. Характеристика і мантиса множаться окремо і додаються результати:

Коефіцієнт логарифму за числом

1. Якщо логарифм і число додатні: це частка двох позитивних раціональних чисел.

2. Якщо логарифм має від’ємну характеристику, кратну дільнику, і це позитивно, результат:

Характеристика ділиться на дільник, який буде від’ємним, і відокремлюється десятковою точкою, частка продовжується з мантисою, в даному випадку позитивною.

3. У цьому прикладі,

характеристика від’ємна, але не кратна дільнику; тоді до нього додається стільки негативних одиниць, скільки потрібно, щоб отримано найменший кратний дільника, а до мантиси стільки ж позитивних одиниць; їх ділять окремо одну та іншу частину, а потім складають разом, утворюючи єдине число, але розділене десятковою комою.

Якщо дільник був від’ємним, цей знак впливає на дивіденд і, таким чином, призводить до деяких з уже обговорених випадків.

Коефіцієнт двох логарифмів (не плутайте з логарифмом частки).

в цьому випадку складається коефіцієнт обох десяткових чисел.

´

Негативну частину відокремлюють від позитивної, частку складають окремо:

за допомогою якого буде утворено єдине число. У всіх випадках частник двох логарифмів веде до частки двох десяткових виразів, позитивних чи негативних, з яких для цього вийде унікальний знак.

Операції з від’ємними дійсними числами

Хоча від'ємні числа не мають логарифмів у дійсному полі, це не означає, що їх використання заборонено у всіх операціях, якщо їх можна правильно інтерпретувати.

Приклад: у добутку факторів, у яких з’являються деякі негативи, ознака такого продукту буде визначена заздалегідь; тоді це буде діяти так, ніби це позитивні числа, і на результат вплине цей знак. Те саме стосується фактора тощо.

Логарифмічне рівняння

Логарифмічне рівняння у змінній називається рівнянням у змінній, в якому невідоме, наприклад, піддається логарифму, наприклад loga x + loga m = n, де м Y n вони є дійсними числами. Або, по-іншому, логарифмічне рівняння - це таке, в якому з’являються логарифми невідомого або багаточленів, що містять невідоме, наприклад:

Знання та застосування законів логарифмів є основою для вирішення логарифмічних рівнянь.

З властивості, яка встановлює значення логарифму одиниці, випливає, що:

Приклади:

Розв’яжіть такі рівняння .

Це називається експоненціальне рівняння у змінну до рівняння у змінну, в якій невідоме відображається в показнику ступеня, як це, наприклад, m x + n x = r, де м, п Y р вони є дійсними числами.

Приклади:

Розв’яжіть такі рівняння,

www.sapiensman.com/ESDictionary - Технічна англійська - іспанська лексика