УНІВЕРСИТЕТ МІСКОЛКА Кафедра електротехніки та електроніки ЕЛЕКТРОТЕХНІКА Приклади та завдання схем Склав: д-р Ласло Радач Факультет машинобудування та інформатики Інститут електротехніки УНІВЕРСИТЕТ МІСКОЛКА 2014

електротехніка

ЗМІСТ 1 Основні поняття про схему розрахунку, основні закони. 2 1.1 Елементи ланцюга, частини ланцюгів, потужності. 2 1.1.1 Активні елементи. 2 1.1.2 Пасивні елементи. 4 1.1.3 Ефективність. 4 1.1.4 Частини схем. 5 1.2 Закони Кірхгофа. 6 1.2.1 Приклад зразка. 7 1.2.2 Вправи. 8 1.3 Залежності розподілу напруги та струму. 9 1.3.1 Приклад зразка. 9 1.3.2 Вправи. 10 2 Елементи розрахунку ланцюга. 12 2.1 Принцип суперпозиції. 12 2.1.1 Приклад прикладу. 12 2.1.2 Вправи. 13 2.2 Елементи замінних генераторів. 15 Теорема Тевеніна. 15 2.2.1 Зразок прикладу. 16 2.2.2 Вправи. 17 Теорема Нортона. 19 2.2.3 Приклад зразка. 19 2.2.4 Вправи. 20 3 Трифазні системи. 21 3.1 Теоретичний зміст. 21 3.2 Приклади зразків. 24 3.2.1 Симетричне з’єднання зірок. 24 3.2.2 Симетричне дельта-перемикання. 24 3.2.3 Асиметричне перемикання зірок. 25 3.2.4 Асиметричне дельта-перемикання. 26 3.3 Вправи. 28 Література. 30 1

Рисунок 5: Презентація частин ланцюгів Узгоджені (реальні) напрямки: Струм: фактичний або видимий напрямок руху позитивних зарядів. Напруга: напрямок зменшення потенціалу. Базові (опорні, вимірювальні) напрямки: струми та напруги, не вказані з їх напрямком, є напрямком ланцюга, довільно записаним для розрахунку. Якщо результат розрахунку позитивний, то напрямок, який ми приймаємо, такий самий, як і узгоджений напрямок, якщо він від’ємний, то навпаки. 1.2 Закони Кірхгофа I. Закон про вузли: Висловлює закон збереження заряду. Сума припливів і відтоків до вузла в опорному напрямку дорівнює нулю. Знак струмів, що входять і виходять з вузла, повинен бути обраний по-різному. n ik 0 k 1 i1 i2 + i3 + i4 i5 = 0 Рисунок 6: Застосування закону вузла II. Закон петлі: Висловлює закон збереження енергії. Сума напруг, що діють у шлейфі відповідно до опорного напрямку, дорівнює нулю. Знак напружень в тому ж або протилежному напрямку, що і записана окружність петлі, повинен бути обраний по-різному. 6

1.2.2 Вправи 1. Два генератори з різною напругою джерела та внутрішніми опорами паралельно живлять одного споживача. Визначте силу струму всіх трьох гілок кола і загальну напругу на клем. (Результати: I1 = 1,54 А, I2 = 0,23 А, I = 1,31 А, U = 10,47 В) 2. Визначте силу струму резисторів у такій схемі. (Результати: I1 = 3 A, I2 = 1 A, I3 = 2 A, I4 = 2,5 A, I5 = 0,5 A) 3. Обчисліть силу струму всіх гілок схеми, зображеної на малюнку. (Результати: I1 = 1,5 A, I2 = 1,1 A, I3 = 0,33 A, I4 = 1,44 A, I5 = 1,17 A) 8

I 2 = U 3 R 2 + R 4 R 5 = 6 5 + 5 5 = 0,8 Після визначення I2 струм I4 із співвідношенням розподілу струму: I 4 = I 2 R 5 R 4 + R 5 = 0,8 5 5 + 5 = 0,4 А Якщо проблема полягає лише в струмі I4, то, застосовуючи дільник напруги ланцюговим способом, напругу резистора R4 можна записати безпосередньо, а потім, згідно із законом Ома, його струм. I 4 = UR 3 (R 2 + R 4 R 5) R 1 + R 3 (R 2 + R 4 R 5) R 4 R 5 1 = 16 3 R 2 + R 4 R 5 R 4 8 2,5 7 .5 1 5 = 0,4 A 1.3.2 Вправи 1. Обчисліть напруги всіх резисторів, використовуючи співвідношення дільника напруги після прийняття опорних напрямків. Uo = 10 В R1 = 2 R2 = 3 R3 = 4 R4 = 3 (Результати: U1 = 4,88 В, U2 = 5,12 В, U3 = 2,93 В, U4 = 2,19 В; знак напруги залежить від записаних напрямків.) 2 Розрахуйте струм усіх резисторів, використовуючи відношення розподілу струму після запису опорних напрямків. Io = 6 A R1 = 2 R2 = 3 R3 = 4 R4 = 3 (Результати: I1 = 3,2 A, I2 = 1,6 A, I3 = 2,8 A, I4 = 1,6 A залежить від прийнятих вказівок.) 10

3. Визначте напругу U4 в ланцюзі. (Результат: U4 = 1,43 В) U = 10 В R 1 = 2,5 R 2 = 5 R 3 = 2,5 R 4 = 5 R 5 = 5 Ом 4. Визначте струм I5 в ланцюзі. Io = 6 A R1 = 2 R2 = 3 R3 = 4 R4 = 3 R5 = 3 (Результат: I5 = 1 A) 5. Визначте напругу всіх елементів схеми, якщо середньоквадратичне значення напруги синусоїдального генератора U = 12 В, його частота f = 50 Гц (вважайте початкову фазу цього нулем)! R1 = 6 R2 = 8 Ω L = 15,9 м/год C = 318 F (Результати: UL = 12/0 o V, UR1 = 6,23/19,7 o V, UR2 = UC = 6,49/18, 9 o V) 6. Визначте струм усіх елементів ланцюга наступної схеми, якщо середньоквадратичне значення струму синусоїдального генератора дорівнює I = 5 А, його частота f = 50 Гц (початкову фазу цього вважати нульовою). R1 = 10 R2 = 30 L = 63,7 м/год C = 106 F (Результати: IR1 = 3,1/7,1 o A, IL = 1,96/11,3 o A, IR2 = 1,38/56, 3 o A, IC = 1,38/33,7 o A ) 11

2 Теореми про обчислювальні схеми 2.1 Принцип суперпозиції Принцип суперпозиції можна застосувати до розрахунків лінійних мереж. Мережа є лінійною, якщо всі її елементи є лінійними, тобто характеристики елементів, тобто відношення i = f (u), є прямим. Його можна і потрібно використовувати, якщо в мережі кілька генераторів. У лінійних взаємних мережах з кількома джерелами спільний ефект джерел можна визначити шляхом підсумовування їх окремих ефектів. При дослідженні впливу кожного джерела інші повинні бути деактивовані. (Для генератора напруги Ug = 0, для генератора струму Ig = 0). 2.1.1 Приклад зразка Визначте струм і напругу резистора R3 мережі, показаної на малюнку, використовуючи принцип суперпозиції. Рішення: U 0 = 10 VI 0 = 10 AR 1 = 2 R 2 = 4 R 3 = 3 R 4 = 3 Крок суперпозиції 1 генератор напруги U0 працює, I0 деактивований UR 3 (R 2 + R 4) 3 ( 4 + 3) 3 = U 0 = 10 R 1 + R 3 (R 2 + R 4) 2 + 3 (4 + 3) = 5,12 VI 3 = U 3 = 5,12 R 3 3 = 1,71 A Крок суперпозиції 2 струм генератор I0 працює, U0 вимкнений 12

IR 4 R 1 3 = I 0 = 10 R 4 + R 2 + R 1 R 3 R 1 + R 3 U 3 = I 3 R 3 = 1,46 3 = 4,39 В Крок 3 Резюме ефектів кожного генератора U 3 = U 3 + U 3 = 5,12 + 4,39 = 9,51 VI 3 = I 3 + I 3 = 1,71 + 1,46 = 3,17 A 3 3 + 4 + 2 3 2 2 + 3 = 1,46 A 2.1.2 Вправи 1. Визначте значення Струмів I2 і I 5, а також напруг U2 і U 5 в мережі, зображених на малюнку з використанням принципу суперпозиції. Ug1 = 150 В Ug2 = 120 ВР 1 = 15 R 2 = 5 R 3 = 20 R 4 = 10 R 5 = 10 (Результати: U2 = 37,5 В, I2 = 7,5 А, U5 = 5 В, I5 = 0,5 А) 2. Визначте струм і напругу резистора R 4 мережі, показаної на малюнку, використовуючи принцип суперпозиції. U 1 = 100 VU 2 = 60 V (Результати: I4 = 0,57 A, U4 = 2,86 V) R 1 = 2,5 R 2 = 5 R 3 = 2,5 R 4 = 5 R 5 = 5 13

3. Обчисліть струм I2 наступної схеми, використовуючи принцип суперпозиції. U = 100 VI = 5 A R1 = 30 R2 = 14 R3 = 10 R4 = 30 R5 = 16 (Результат: I2 = 2,57 A) 4. Визначте струм і напругу резистора R 2 мережі, показаної на малюнку, використовуючи принцип накладання.! Ug = 12 В Ig = 2 A R1 = 4 Ом R2 = 3 Ом R3 = 6 Ом R4 = 6 Ом (Результати: I2 = 1,69 А, U2 = 5,07 В) 5. Визначте мережу А, показану на малюнку. - Струм і напруга гілки В за принципом суперпозиції! U1 = 120 В U2 = 100 В I = 12 A R1 = 10 Ом R2 = 50 Ом R3 = 20 Ом R4 = 30 Ом (Результати: IAB = 0,692 А, UAB = 20,8 В) 14

Деактивація означає видалення вихідних величин: Ug = 0, Ig = 0 і в ланцюзі знаходиться лише внутрішній опір генераторів.) 2.2.1 Приклад зразка Створіть сурогат Тевеніна для точок A - B мережі, показаної на малюнку та потім використовуйте його для визначення позначеного струму I2! U = 120 V R1 = 20 R2 = 14 R3 = 20 R4 = 10 R5 = 15 Рішення: Знявши резистор R2 з точок A - B, ми визначаємо напругу холостого ходу за допомогою дільника напруги, це буде напруга джерела замінник генератора. Оскільки через резистори R3 і R4 не протікає струм, напругу резистора R3 можна виміряти між двома точками: U g = U AB0 = UR 3 R 1 + R 3 = 120 20 20 + 20 = 60 ВА Внутрішній опір генератора заміни - це деактивована схема A - Отриманий опір, що розглядається з точок B, буде таким: R b = R ABer = R 1 R 3 + R 4 R 5 = = 20 20 + 10 15 = 16 Ом Знання параметрів замінити генератор, замінити опір R2 як навантаження, а потім розрахувати струм I2, про який йде мова:

I 2 = U g R b + R 2 = 60 16 + 14 = 2 A Якщо R2 змінюється, слід перерахувати лише останнє відношення. 2.2.2 Вправи 1. Створіть модель заміни Тевеніна для клем резисторів R3, а потім R5 для мережі, показаної на малюнку, а потім використовуйте їх для визначення позначених напруг U3 та U5. U = 120 В R1 = 30 R2 = 26 R3 = 45 R4 = 60 R5 = 40 Ом (Результати: Ug3 = 75 В, Rb3 = 18,75 Ом, U3 = 52,9 В, Ug5 = 41,5 В, Rb5 = 25,4 Ом, U5 = 25,4 В) 2. Визначте струм і напругу резистора R4 у відгалуженнях А - В мережі, показаної на малюнку, використовуючи теорему Тевеніна. U = 100 В R1 = 30 R2 = 20 R3 = 30 R4 = 28 R5 = 40 (Результати: Ug = 40 В, Rb = 12 Ом, I4 = 1 А, U4 = 28 В) 17

3. Визначте струм і напругу резистора R4 у відгалуженнях А - В мережі, показаної на малюнку, використовуючи теорему Тевеніна. U = 120 VI = 10 A R1 = 10 R2 = 20 R3 = 5 R4 = 15 (Результати: Ug = 146,7 В, Rb = 11,67 Ом, I4 = 5,5 А, U4 = 82,5 В) 4. Визначте струм і напругу резистор R1 мережі, показаний на малюнку з використанням теореми Тевеніна. I = 6 A R1 = 16 R2 = 6 R3 = 12 R4 = 10 (Результати: Ug = 24 В, Rb = 14 Ом, I1 = 0,8 А, U1 = 12,8 В) 5. Визначте схему сурогатного зображення Тевеніна для точок A - B, а потім використовуйте його для визначення часової функції струму резистора R2, якщо напруга u = 33,9 sin 314t [V] підключена до клем AB! R1 = 6 R2 = 8 Ω L = 15,9 м/год C = 318 F (Результати: U g = 20,6/31 o V, Z b = 5,14/31 o Ω, i2 = 2,3 sin (314t 18,9 o) A 18

Знаючи параметри генератора заміни, ми замінюємо резистор R2 як навантаження, а потім обчислюємо струм I2, про який йде мова: I 2 = I g R b R b + R 2 = 3,75 16 16 + 14 = 2 AA Результат, отриманий з дві заміни природно однакові, і ми можемо перевірити зв'язок Ug = Rb Ig між вихідними кількостями двох генераторів: 60 = 16 * 3,75. 2.2.4 Вправи 1. Визначте сурогатне зображення Нортона для резистора R1 мережі, зображеного на малюнку. За допомогою моделі розрахуйте струм і напругу резистора R1. I = 10 A R1 = 24 Ω R2 = 60 Ω R3 = 40 Ω R4 = 12 Ω (Результати: Ig = 6,67 A, Rb = 36 Ω, I1 = 4 A, U1 = 96 В 2. Визначте на малюнку сурогат Нортона зображення видимої мережі R3 резистор Використовуйте модель для розрахунку струму та напруги резистора R3 U = 120 VR 1 = 30 Ω R 2 = 18 Ω R 3 = 10 Ω R 4 = 30 Ω R 5 = 20 Ω Результати: Ig = 4 A, Rb = 15 Ом, I3 = 2,4 A, U3 = 24 В) 3. Визначте струм і напругу резистора R 4 наступної схеми за допомогою генератора заміни Нортона. U 1 = 120 VU 2 = 90 VR 1 = 20 R 2 = 10 R 3 = 30 R 4 = 50 R 5 = 40 (Результати: Ig = 4,2 A, Rb = 25 Ω, I4 = 1,4 A, U4 = 70 V 20

Яка фазова напруга, видима та реактивна потужність, фазний струм, струм мережі, опір однієї фази? Потрібно визначити значення опору та реактивного опору, які при паралельному підключенні призводять до відповідного імпедансу! Рішення: Фазна напруга: U f = U v = 400 VP = 3 cos Помітна потужність: S = = 5 ква 0,6 Реактивна потужність: Q = S sin = 5 * 0,8 = 4 квар SA фазний струм: I f = = 5000 = 4,17 A 3 U f 3 400 A Струм лінії: I v = 3 I f = 3 * 4,17 = 7,21 A Опір однієї фази: Z = U f = 400 = 95,9 I f 4,17 Z Опір: R p = = 95,9 = 160 cos 0,6 ZA реактивний опір: X p = = 95,9 = 120 sin 0,8 3,2.3 Асиметричне перемикання зірок Трифазна лінійна напруга U 100 В споживачі, зображені на малюнку, підключені до чотирипровідної мережі. Обчисліть фазні струми, а потім, використовуючи фазову діаграму схеми, струм, що протікає в нульовому провіднику. Дані: R 10, XL 30, XC 30 Рішення: Напруга фази: Струм кожної фази: U f = U v = 100 = 57,7 V 3 3 IA = U f = 57,7 = 1,92 AXL 30 IB = U f = 57,7 = 1,92 AXC 30 IC = U f = 57,7 = 5,77 AR 10 Написання закону вузла Кірхгофа на зірочці: IN = IA + IB + IC 25

Діаграма фаз: Як намалювати рисунок: - починаємо з симетричної системи фазних напруг (UA, UB, UC), - малюємо фазні струми (IA 90 o затримується порівняно з UA, IB 90 o поспішає до UB порівняно, I C знаходиться у фазі з U C.) - якщо підсумовування фазних струмів ми починаємо з IA + I B, то їх результат співпадає з I C, тому ми можемо обчислити величину IN як алгебраїчну різницю. IN = IC 2 * IA * cos 30 o = 5,77 2 * 1,92 * 3 2 = 2,44 A 3.2.4 Асиметричне перемикання дельта Дані трифазної споживчої системи показані на малюнку: U 400 V, R 23, XL 40, XC 40. Що таке фазні струми? Намалюйте фазерну діаграму і за її допомогою визначте величину струмів лінії. Рішення: Струм кожної фази: I AB = U f = 400 = 17,4 A R 23 I BC = U f = 400 = 10 A X C 40 I CA = U f = 400 = 10 A X L 40 26

Діаграма фаз: Як намалювати малюнок: - починайте з симетричної системи лінійних напруг (U AB, U BC, U CA), - намалюйте фазні струми (I AB знаходиться у фазі з U AB, I BC 90 o в поспіх U BC I CA на 90 o пізніше, ніж U CA.) - струми лінії за законами вузлів: IA = I AB I CA IB = I BC I AB IC = I CA I BC Величина фазних струмів та у фазових ситуаціях лінійні струми IA, IB, IC утворюють правильний трикутник, їх величина дорівнює: IA = IB = IC = 10 Розв’яжіть задачу AA, використовуючи складний метод розрахунку: Фазні напруги: U AB = 400 В (реальні) U BC = 400 ej 2π 3 Фазові струми: Лінійні струми: U CA = 400 e + j 2π 3 I AB = U AB R = 400 23 = 17,3 AI BC = U BC XCI CA = U CA XL = = 2π 400 ej 3 40 e jπ 2 2π 400 e + j 3 40 e + jπ 2 = 10 ej π 6 A = (8.66 j 5) A = 10 e + j π 6 A = (8.66 + j 5) AIA = I AB I CA = 17,3 8,66 j5 = 8,66 j5 = 10 ej π 6 AIB = I BC I AB = 8,66 j5 17,3 = 8,66 j5 = 10 ej 5π 6 AIC = I CA I BC = 8,66 + j5 8,66 + j5 = j10 = 10 e j π 2 A 27

5. Підключіть споживача, показаного на малюнку, до трифазної чотирипровідної системи 190 В. Визначте струм провідності кожної фази, а також нуль. Дані: XL = 220 Ом, XC = 110 Ом. (Результати: I A = 0,5 A, I B = I C = 1 A, I N = 1,5 A.) 6. Дані трифазного споживача, показані на малюнку: U = 141 В, R = XL = XC = 100 Ом. а) Визначте фазний та лінійний струми. б) Яка результуюча безплідна сила споживача? (Результати: I AB = I BC = I CA = 1 A, IA = 1,94 A, IB = 1,73 A, IC = 0,518 A, Q = 100 вар.) 7. Три зірки опору потужністю 1000 Вт, підключені до мережі 400 В. Які струми протікають у кожному провіднику, якщо провідник фази А перерваний і (а) точка зірки підключена до нульового провідника, (б) вона не підключена. (Результати: (a) I A = 0, I B = I C = I N = 4.38 A, (b) I A = 0 A, I B = I C = 3.81 A) 29