Підготовлено: Петра Подманіцька
F, G є вогнища
A, B є головними вершинами
C, D є бічними піками
| ЯК | = | BS | = a = головна вісь
| CS | = | ДС | = b = наступна піввісь
| ФС | = | GS | = e = ексцентриситет еліпса
пряма лінія AB є основною віссю
пряма лінія CD є другорядною віссю
ліній FM a ГМ є точковими напрямними M [x, y]
- множина всіх точок на площині, які мають постійну суму відстаней від двох заданих нерухомих точок, де
- ми розглядаємо фокуси як дві основні точки (на малюнку це точки F, G)
-ми вважаємо постійну відстань основних вершин, а отже, і головної осі, постійною сумою відстаней (на малюнку це відстань | AB | = 2 * a)
і таким чином ми можемо написати, що ELIPSA - це множина всіх точок на площині, для яких виконується відношення:
| FM | + | ГМ | = | AB | = 2 * а
вміст еліпса прямо пропорційний добутку основної та вторинної піввісей, тобто:
Посібник - це лінія, що з’єднує фокус з будь-якою точкою еліпса
Ексцентричність еліпс (e) представляє фокусну відстань центру еліпса. Використовуючи ексцентричність, ми виражаємо, т. Зв числовий ексцентриситет, який виражає ступінь сплощення еліпса, виражає ступінь відмінності від кола
- між ексцентриситетом, основною та вторинною піввісями, співвідношення було отримано на основі теореми Піфагора (трикутна FSC):
a 2 = b 2 + e 2
Виведення рівняння аналітичного виразу еліпса:
- ми почнемо з основного визначення еліпса:
- для | FM | стосунки застосовуються:
- для | ГМ | стосунки застосовуються:
- ми підставляємо це у вихідне рівняння і модифікуємо:
- Або в пр у випадку еліпса з центром на S-координатах [м, п] є наступним рівнянням:
- І в пр у тому випадку, якщо це обернений еліпс, який має головну вісь ідентичну, відповідно. паралельно осі y застосовується відношення
Дотична еліпса
для дотичної еліпса T [x T, y T] застосовуються такі два співвідношення:
Вирішений приклад:
Еліпс виражається рівнянням 16x 2 + 25y 2 = 400. Ур читає велику та малу осі, ексцентриситет та координати фокусів. Як буде розміщений еліпс?
Ми повинні виразити рівняння еліпса, тобто. ділимо все рівняння на вираз 400:
- З цього рівняння випливає, що:
1. Головна вісь = 2a = 2 * √a 2 = 2 * √25 = 10
2. Мала вісь = 2b = 2 * √b 2 = 2 * √16 = 8
Ми розраховуємо ексцентриситет за співвідношенням: e 2 = a 2 - b 2:
e = √ (5 2 - 4 2) = (25-16) 1/2 = 3
Фокус має координати:
І еліпс має головну вісь, ідентичну осі x, оскільки число під (x 2) більше, ніж число у формулі під (y 2)
Еліпс виражається рівнянням 9x 2 + 25y 2 - 54x - 100y - 44 = 0. Визначте велику та малу вісі, ексцентриситет та координати центру еліпса
Нам потрібно трохи скорегувати це рівняння. Ми додамо x-членів і y-членів і спробуємо їх заповнити так, щоб отримати просту формулу типу (x-m) 2, відповідно. (р-н) 2
(9x 2 -54x) + (25y 2 -100y) = 44
- нам потрібно відокремити вирази, підняті до ступеня другого, і тому ми видаляємо перед дужкою:
9 * (x 2 -6x) +25 (y 2 -4y) = 44
- тепер нам потрібно додати (відняти) до лівої сторони і додати (відняти) число з правого боку, щоб ми отримали вищезазначену формулу. Тому що це застосовується
- таким чином додаючи формулу, праворуч ми повинні додати числа 9 * 9 і 25 * 4.
- І ось ми отримуємо:
9 * (x 2 -6x + 9) +25 (y 2 -4y + 4) = 44 + 9 * 9 + 4 * 25
9 * (x-3) 2 + 25 * (y-2) 2 = 225 ………/поділити на 225
З наведеного рівняння випливає, що:
Головна вісь = 2a = 10
Мала вісь = 2b = 6
Ексцентриситет = (5 2 - 3 2) 1/2 = 4
А центр еліпса має координати S [3,2]
Нері приклади:
1. Еліпс задається рівнянням 9x 2 + р 2 + 9x - 4y. Ур читає все, як у вирішеному прикладі.
a = 5/2; b = 4/6; S [-0,5; 2]; еліпс м має головну вісь, паралельну осі y
2. Еліпс задається рівнянням 16x 2 + 4р 2 = 64. Урт читає все, що йому належить
a = 4; b = 2; e = 12 1/2 ; F [0; -12 1/2 ]; G [0; 12 1/2 ], еліпс m має головну вісь, ідентичну осі y
Список літератури:
1. Огляд математики II - В. Бурджан, Ľ. Герой, М. Максиян
2. Власні замітки
3. Збірник формул з математики від колективу авторів RNDr. Маріан Олежар, мол. Івета Олеярова, Мартін Олеяр, Маріан Олеяр, молодший.