Тверда жорстка
Діяльність
У більшості підручників, вводячи принцип збереження моменту імпульсу, згадується, що фігурист збільшує свою кутову швидкість обертання, наближаючи руки та ноги до тіла. Нехтуючи силою тертя між ковзанами та льодом, момент зовнішніх сил відсутній.
Для твердого твердого тіла, що обертається навколо головної осі інерції L= Яω.
Збільшення кутової швидкості пояснюється зменшенням моменту інерції.
Написаний принцип збереження кутового моменту для фігуриста I1 ω1=I2 ω2
Збереження кутового моменту
На цій сторінці описана модель фігуристів, що складається з системи, утвореної жорстким стрижнем і двох мас, які можуть ковзати без тертя вздовж вудилища. Стрижень представляє тіло, а ковзаючі масирують руки і ноги, дія м'язів представлена за допомогою двох пружин, які з'єднують кінці стержня з кожною з ковзних мас. Система може обертатися навколо осі, перпендикулярної штоку і проходить через його центр.
На малюнку ми бачимо систему, утворену
Тонкий жорсткий стрижень тіста М і довжина 2Р.
Дві рівні маси ковзання маси м /По 2
Дві рівні постійні пружні пружини k, які були побудовані так, щоб їх недеформована довжина дорівнювала Р.. Кожна пружина кріпиться на одному кінці стержня, інша кріпиться до висувної маси.
Спочатку система обертається навколо осі, що проходить через O, з постійною кутовою швидкістю ω0. Пристрій утримує дві ковзні маси на відстані r0 Від осі. Ми збираємось визначити кутову швидкість обертання при звільненні двох ковзних мас.
Початковий кутовий момент становить
перший доданок у дужках Ів, - момент інерції стрижня Iv = M(дваР.) 2/12 = МІСТЕР 2. 3,
другий доданок - момент інерції двох рівних мас м/ 2 віддалений r0 осі обертання.
Остаточний кутовий момент, коли дві ковзні маси стикаються у початку координат р= 0, є
У міру зменшення моменту інерції кутова швидкість обертання зростає ω>ω0.
Рух ковзних мас
Ми збираємось вивчити рух двох ковзних мас, від початкового стану до кінця.
Ми знаходимося в неінерціальній системі відліку, яка обертається зі стрижнем із кутовою швидкістю ω. На кожній з мас (м/ 2), розташовані на відстані р осі обертання діють такі сили:
Пружина, яка стискається, надає силу F=-k r
Під дією цих сил маса м/ 2 відчуває прискорення до в радіальному напрямку, вздовж штока
Написаний другий закон Ньютона
Тепер кутова швидкість обертання ω, не є постійною, її залежність від р отримується при збереженні моменту імпульсу L =(Iv + mr 2 )ω,
Диференціальне рівняння, яке описує рух маси в радіальному напрямку, тобто в системі відліку, яка рухається зі стрижнем, є
Ми інтегруємо це диференціальне рівняння за допомогою числових процедур із наступними початковими умовами: на даний момент т= 0, радіальна швидкість маси д-р/дт= 0, і його відстань до осі р=r0.
Криві потенційної енергії
Початкова енергія системи, коли підпорядковуються маси, - це сума
кінетична енергія двох мас, що рухаються з тангенціальною швидкістю ω0 r0.
кінетична енергія обертання стрижня, що рухається з кутовою швидкістю ω0
пружна енергія, що зберігається в двох стиснених пружинах r0.
Сума перших двох доданків - це кінетична енергія обертання системи, утвореної стрижнем і двома масами.
Коли дві маси звільняться і зустрічаються на відстані р осі обертання. Енергія системи, утвореної стрижнем, двома масами та двома рівними пружними пружинами, записується в полярних координатах
Перший член - це кінетична енергія двох мас, яка, у свою чергу, складається з двох членів:
Перша похідна д-р/дт це швидкість у радіальному напрямку, швидкість маси, що ковзає вздовж штока;
Друга похідна - швидкість у тангенціальному напрямку dθ/dt = ω, яка кутова швидкість обертання штока.
Другий доданок - кінетична енергія обертання стержня
Третій член - пружна енергія, що зберігається в двох джерелах
Беручи до уваги, що кутовий момент постійний, ми можемо записати енергію І системи як функція р та його похідна д-р/дт,
Ми ділимо енергію І між двома рівними масами можна вважати, що кожна з них рухається в ефективному потенціалі
Отримана сила на кожну з мас отримується шляхом виведення потенціальної енергії та зміни знака.
що, як ми бачимо, це різниця між відцентровою силою та силою, що діє на стиснуту пружину.
На малюнку ми маємо представлення ефективного потенціалу двох мас, які залишають вихідне положення r0, з радіальною швидкістю д-р/дт= 0. Якщо ваша загальна енергія І (горизонтальна лінія), маси прибувають до початку координат р= 0 через певний час.
Коли маси знаходяться на відстані р походження, його ефективна потенційна енергія представлена вертикальним червоним відрізком та синім відрізком - кінетичною енергією, що відповідає його руху в радіальному напрямку вздовж стрижня.
Ми спостерігатимемо, що кутова швидкість обертання ω, зростає до досягнення максимуму, коли маси прилипають до осі.
| На малюнку ми маємо іншу ситуацію, маси виходять з вихідного положення r0, з радіальною швидкістю д-р/дт= 0. Якщо ваша загальна енергія І, не досягають осі обертання, а наближаються до неї на відстані r1, змінити напрямок швидкості, відійти від осі, поки вони не досягнуть початкового вихідного положення і таким чином продовжувати коливатися в радіальному напрямку. |
Ми спостерігатимемо, що кутова швидкість обертання ω, зростає до досягнення максимуму, коли маси наближаються до осі, а потім зменшуються, коли вони віддаляються від осі.
Відстань r1 Ми можемо обчислити це, поклавши д-р/дт= 0 у виразі повної енергії І. Отримуємо рівняння четвертого ступеня в р яку ми можемо звести до квадратного рівняння, рішення якого є r0 Y r1. Див. Приклад 2 нижче.
| Якщо постійна пружності, k вона мала, а маси великі, коли звільнені, вони відходять від центральної осі, поки не досягнуть кінців стрижня. |
Приклади
Маса двох блоків м= 0,5 кг
Константа кожної весни k= 1 Н/м
Початкова відстань до осі обертання r0= 0,6 м
Момент інерції стрижня Ів= 1/12 кг м 2
Початкова кутова швидкість обертання становить ω0= 1 рад/с
Ми спостерігаємо, що через певний час маси прилипають до осі обертання
Початковий кутовий момент становить
Остаточний кутовий момент становить
L= (1/12)ω
Кінцева кутова швидкість обертання становить ω= 3,16 рад/с
За допомогою тих самих даних з попереднього прикладу ми змінюємо кутовий момент, змінюючи відстань до осі обертання двох мас r0= 0,9.
Початковий кутовий момент становить
Енергія системи, утвореної двома масами, стрижнем і двома пружинами, становить
Дві маси рухаються до початку координат, але вони повертаються назад, змінюючи напрямок своєї радіальної швидкості, коли перебувають на відстані r1 який обчислюється шляхом нанесення д-р/дт= 0 у виразі повної енергії І на основі р.
Після деяких операцій нам залишається рівняння
дваmkr 4 +два (Івк-мЕ)r 2 +L 2 -дваIvE= 0
З даними з цього прикладу
r 4 -0,8875r 2 +0,0628 = 0
Підмінюючи x = r 2 ми маємо квадратне рівняння, корінням якого є x1= 0,81, і x2= 0,0775, або відповідне їм r1= 0,9, і r2= 0,28.
Кутова швидкість ω обертання максимальне для р= 0,28 м
L= (1/12 + 0,5 0,28 2)ω
з постійності кутового моменту отримуємо ω= 3,98 рад/с
Маса двох блоків м= 2 кг
Константа кожної весни k= 0,2 Н/м
Початкова відстань до осі обертання r0= 0,6 м
Ми спостерігаємо, що дві маси віддаляються від осі, поки не досягнуть кінців стрижня.
Початковий кутовий момент становить
Остаточний кутовий момент для р= 1 м
L= (1/12 + 2 · 1 2) ·ω
Кінцева кутова швидкість обертання менше початкової ω= 0,39 рад/с
Діяльність
Маса м з двох блоків у кг, у контролі редагування під назвою Масові блоки.
Постійна пружності k кожної з пружин в Н/м, в елементі управління під назвою Cte. Док.
Початкове положення r0 двох мас, їх відстань від осі обертання, що діє на смужку прокрутки з назвою Положення блоку.
Момент інерції тонкого стрижня встановлений на рівні Ів= 1/12 кгм 2
Початкова швидкість обертання була встановлена на рівні ω0= 1 рад/с
Натисніть кнопку з назвою Новий.
Ми спостерігаємо обертання системи з кутовою швидкістю ω0= 1 рад/с, дві маси розділені відстанню r0 осі обертання за допомогою пристрою.
Праворуч від аплету представлена ефективна потенційна енергія Vef (r) і загальної енергії І системи горизонтальною лінією. Крива і лінія стикаються в точці абсцис r0.
Натисніть кнопку з назвою Починається
Ми спостерігаємо рух мас вздовж стрижня. У верхній лівій частині аплету подано дані про його відстані до осі та кутову швидкість обертання ω системи.