Приклад: Нехай Y - кількість дівчат у попередньому прикладі. Важливо відзначити, що розподіл Y такий самий, як розподіл X, але XY. У цьому випадку між X та Y існує детермінований зв'язок. .
Отже, якщо ми маємо базовий простір, заданий набором елементарних явищ, випадкову величину можна розуміти як функцію, яка присвоює числове значення кожному з елементарних явищ. Наприклад NV X присвоює значення 0 елементарному явищу, значення 1 елементарному явищу тощо. Тоді ймовірність спостереження певного значення NV X визначається сумою ймовірностей елементарних явищ, на яких воно набуває цього значення. Наприклад. .
Його часто використовують для скорочення у випадку дискретних НВ. наголосити, що X може приймати лише певні конкретні значення (замість загальних).
Можна навести розподіл ймовірностей
- таблиця (тип x/p (x))
- графік:
- за формулою:
У прикладі спочатку виберіть кількість дітей у сім'ї (). Ми обмежимось. Ми спостерігатимемо дискретну випадкову величину, яка, подібно до першого прикладу, буде представляти кількість хлопчиків із заданої кількості дітей у родині. Ми припускаємо, що ймовірність народження хлопчика є. Очевидно, це може набути цінностей. Аплет обчислює ймовірність появи для кожного значення. Імовірність для розраховується за формулою. Розподіл ймовірностей величини показано графічно, а також таблицею.
5.2 Характеристика дискретних НВ
На початку розділу 2 у нас були випадкові вибірки (кількість дітей, зріст), ми з’ясували розподіл відносних чисел і на їх основі визначили середнє значення та (вибірку) дисперсію. Якби діапазон вибору був близьким до нескінченності, відносні числа наближалися б до відповідних ймовірностей. Тому має сенс визначити середнє значення та дисперсію популяції відповідно. розподіли ймовірностей.
| Визначення 5.2.1: Середнє значення (населення) НВ становить . Дисперсія (популяції) NV X становить . Режим NV X - це значення, для якого . Медіана NV X - це значення, для якого . Середнє відхилення NV X становить або . Стандартне відхилення становить . |
Примітка: Ми часто позначаємо середнє значення як або. Часто ми також позначаємо розсіювання через або. Медіана не повинна бути чітко визначена з урахуванням даних умов.
| Теорема 5.2.2: Стосується: |
Примітка: Величина позначається як і називається другим (нецентральним) моментом (випадкової величини X або розподілу X). Величина також називається 2-м центральним моментом. Теорема 5.2.2 містить т. Зв розрахункова форма - обчислити дисперсію за цією формулою простіше, ніж за визначенням.
Приклад: Обчисліть середнє значення та дисперсію розподілу кількості хлопчиків у випадковій родині з 3 дітьми.
| 0 | 1/8 | 0 | -3/2 | 9/4 | 9/32 | 0 |
| 1 | 3/8 | 3/8 | -1/2 | 1/4 | 3/32 | 3/8 |
| 2 | 3/8 | 6/8 | 1/2 | 1/4 | 3/32 | 12/8 |
| 3 | 1/8 | 3/8 | 3/2 | 9/4 | 9/32 | 9/8 |
Якщо P (хлопчик) = 1/2, то середнє значення 1,5 також інтуїтивно очікується.
У цьому прикладі спочатку виберіть кількість дітей () у сім'ї. Як і в прикладі, нас зацікавить вищий середній показник та дисперсія розподілу кількості хлопчиків. Аплет обчислює для кожного значення, відповідні значення), а також значення у всіх інших стовпцях, наведених у прикладі вище. Далі обчислюється значення для режиму, медіани, середнього відхилення та стандартного відхилення. Аплет працює з дробами, щоб зробити розрахунок середнього та дисперсії чіткішим. Також обчислюється значення другого нецентрального моменту.
Якщо ми трансформуємо NV X лінійно, застосовується еквівалент пропозиції 2.3.3:
| Заява 5.2.3: Нехай NV - середнє значення та дисперсія. Тоді для середнього та дисперсії NV застосовується наступне: . |
5.3 Біноміальний розподіл
Прикладом біноміальної випадкової величини є .
Загалом: давайте проведемо незалежні "експерименти" (експерименти Бернуллі), кожен з яких закінчується "успіхом" або "невдачею" з імовірністю відповідно., де. Тоді це називається двочленною випадковою величиною. Буде позначено той факт, що випадкова величина має біноміальний розподіл .
Наприклад, якщо кожна послідовність з 5 результатів із 2 успіхами та 3 помилками має однакову ймовірність. Кількість способів вибрати місце для 2 успіхів із 5 спроб. Тому це правда. Загалом, схоже, застосовується аналогічна формула
Приклад: Нехай 60% населення США становлять демократи, а решта - республіканці. Виборчим шляхом було обрано 5 виборців. Яка ймовірність того
- троє з них - демократи?
- більшість - демократи?
б) .
Виберіть відсоток населення, яке є демократами. Таким чином, ми отримуємо ймовірність появи демократа (). Далі виберіть кількість селекторів (). Аплет обчислює значення, які відображає у таблиці та графічно. Тому ми досліджуємо випадкову величину, що представляє кількість демократів у кількості виборців, яких ми ввели. Відповідно до формули, наведеної нижче аплету, він також обчислює середнє значення та дисперсію.
| Теорема 5.3.1: Якщо NV, то для його середнього значення та дисперсії: . |
Доказ: Оскільки для, це тому, що остання сума - це сума всіх ймовірностей випадкової величини з розподілом. За аналогією, QED застосовується до дисперсії.
5.4 Геометричний розподіл
Тут ми також будемо вважати, що ми проводимо експерименти Бернуллі (тобто незалежні, з імовірністю успіху). Нехай випадкова величина має геометричний розподіл (тобто в цьому випадку, на відміну від біноміального розподілу, випадковою величиною є кількість зроблених спроб). Оскільки всі спроби до першого успіху повинні бути невдалими, порядок успіхів і невдач чітко визначається. Тому:
| Пропозиція 5.4.1: Якщо NV, то для його середнього значення та дисперсії: . |
Приклад: Ми випадковим чином вибираємо США виборців. Ми цікаво, коли ми зустрінемося з першим виборцем демократів. Нехай застосовується знову. Потім
- ;
- ;
- .
Знову оберіть відсоток населення (), який є демократами. Ми вивчаємо випадкову величину, яка представляє кількість спроб, перш ніж ми зустрінемося з першим демократом. Індивідуальні значення ймовірностей появи демократа, для експерименту № Від 1 до 9 зображено графічно. Ми також обчислюємо середнє та дисперсію відповідно до наведених вище співвідношень.
5.5 Негативний біноміальний розподіл
Основою цього поділу знову є експерименти Бернуллі (тобто незалежні, з імовірністю успіху). Нехай випадкова величина має від’ємний біноміальний розподіл. Тут також кількість виконаних спроб зменшується на випадкову величину, зменшується на необхідну кількість р Щасти. Оскільки успіх повинен бути останнім, порядок успіхів і невдач визначається позиціями попередніх успіхів. Тому:
| Пропозиція 5.5.1: Якщо NV, то для його середнього значення та дисперсії: . |
Цей результат узгоджується з інтуїтивним сподіванням, що середнє значення очікування р-успіх є р-кратна середньому очікуванню на один (перший) успіх.
Приклад: Ми випадковим чином вибираємо США виборців. Ми дивуємось, коли ми зустрінемося з четвертим виборцем демократів. Нехай застосовується знову. Потім
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
5.6 Розподіл Пуассона
Розподіл Пуассона - це розподіл кількості випадкових подій протягом фіксованого інтервалу часу або місця, якщо події відбуваються з фіксованою середньою частотою і незалежно від (часу, місця) попередніх випадків. Вказується середня кількість випадків події. Це значення є єдиним параметром розподілу. Стосується:
Цей розподіл є граничним випадком біноміального розподілу з імовірністю успіху залежно від кількості спроб. Якщо це правда при такому поділі, то .
| Пропозиція 5.6.1: Якщо NV, то для його середнього значення та дисперсії: . |
Приклад: Супермаркет пообіцяв виплатити фінансову компенсацію покупцям, які чекатимуть біля каси більше 10 хвилин. Середня кількість касових апаратів, які повинні працювати, щоб споживачам не потрібно було нічого платити, дорівнює 5. Яка ймовірність того, що навіть 10 кас буде недостатньо для обслуговування всіх клієнтів протягом 10 хвилин?
Якщо прийняти припущення, що прибуття клієнтів є незалежними та однорідними за часом, то кількість клієнтів в інтервалі 10 хвилин, а отже і кількість необхідних касових апаратів, має розподіл по Пуассону. Кількість необхідних касових апаратів ділиться на Po (5). Для того
- ;
- ;
- ;
- .
- ;
5.7 Гіпергеометричний розподіл
Гіпергеометричний розподіл подібний до біноміального розподілу для скінченних сукупностей. Нехай буде розмір сукупності, з якої людина має якусь кінцеву точку (). Ми випадковим чином відбираємо особин серед популяції (тому не зригуючи). Кількість осіб, які мають спостережувану властивість у цьому відборі, є випадковою величиною з гіпергеометричним розподілом. Завдяки методу відбору для заявки
Примітка: Межі для результату випливають із природних меж для комбінаційних чисел: і одночасно .
Якщо і, тоді поділ сходиться до .
| Пропозиція 5.7.1: Якщо NV, то для його середнього значення та дисперсії: . |
Приклад: Серед групи студентів 30 університетів США 18 виборців демократів та 12 республіканців. 5 з них були обрані випадковим чином. Яка ймовірність того
- троє з них - демократи?
- більшість - демократи?
б) .
5.8 Безперервний розподіл
Випадковий розподіл з безперервним розподілом досить добре описується гістограмою відносних частот. Ми це знаємо. Отже, простим масштабуванням ми можемо досягти того, що загальна площа графіка дорівнює 1. Тоді площа стовпця кожного інтервалу дорівнює відносному достатку класу, а отже, приблизно дорівнює ймовірності що спостерігається випадкова величина набуває значення, що належить цьому інтервалу. Тому визначаємо: Однак це впливає на його графік
- випадково (у мене є лише виділення, а не весь файл);
- шляхом вибору кількості та меж класів.
- збільшення кількості спостережень;
- шляхом вдосконалення класів (1 дозволяє 2).
Цей аплет генерує числа з розподілу. Інтервал ділиться на стільки менших інтервалів однакової довжини, скільки ви вибрали. Створені числа сортуються за цими інтервалами і обчислюються числа для кожного інтервалу (тобто, скільки згенерованих чисел належить кожному з інтервалів). Таким чином, ви можете збільшити/зменшити кількість чисел, які будуть сформовані, а також збільшити/зменшити кількість згаданих класів (уточнення класу).
Особливо для неперервних випадкових величин, тобто тощо.
Це граничні випадки формул у розділі 2.2. Ні режим, ні медіана значення не повинні визначатися однозначно.
| Визначення 5.8.3: Функція розподілу NV називається функцією . |
| Пропозиція 5.8.4: Якщо NV неперервна з щільністю, то це виконує функцію розподілу |
Таким чином, функція розподілу чітко визначає розподіл ймовірностей.
5.9 Нормальний розподіл
Багато випадкових величин, напр. Помилки, що виникають при вимірюванні хімічних, фізичних чи економічних величин, мають нормальний розподіл. Математично цей розподіл має найкрасивіші властивості, припускаючи нормальність, багато задач явно вирішувані. Багато інших підрозділів, напр. двочлена, може бути добре апроксимована нормаллю.
а) стандартизований нормальний розподіл
Випадкова величина має нормалізований нормальний розподіл, якщо її щільність ймовірності дорівнює
| Теорема 5.9.1: Нехай випадкова величина має нормалізований нормальний розподіл. Тоді це застосовується |
Доказ: Мабуть
Використання для вечірок
тоді як функція в квадратних дужках непарна, а функція нижче інтеграла - щільність. QED.
| Цей розподіл часто називають його щільністю та функцією розподілу. Значення наведені в таблицях (різні програми також можуть обчислювати їх числові наближення). |
- Графік щільності розподілу аплетних графіків. Ви можете перемістити точку зупинки, за якою слід розрахувати вміст області під графіком, тобто. значення функції розподілу. Графік функції розподілу також побудований і пов'язаний з графіком щільності. Графік функції розподілу показує точку, чия р-Координата визначає зміст графіка нижче щільності на інтервалі. Точне значення записується в текстовому полі.
Примітка: Якщо випадкова величина X має середнє значення та дисперсію, то випадкова величина має середнє значення 0 та дисперсію 1. Це перетворення називається нормалізацією або стандартизацією випадкової величини.
Приклад: Знайдіть .
У таблицях, які ми знаходимо. Це
- ;
- ;
- .
(b) загальний нормальний розподіл
Це виникає внаслідок нормалізованого нормального розподілу шляхом переміщення до деякого середнього і масштабування, щоб він мав дисперсію. Він має щільність Ми називаємо цей поділ. Щільність симетрична навколо середнього значення. Якщо тоді .
5.10 Функція випадкових величин
Розглянемо ще раз випадкову сім'ю з 3 дітьми і припустимо, що вартість сімейного спортивного інвентарю залежить лише від кількості хлопців: де кількість хлопців. Наприклад: (у євро).
Середнє значення вартості спортивного інвентарю в родині становить. Але нам не потрібно було обчислювати розподіл, ми могли б виходити безпосередньо з розподілу випадкової величини:
| 0 | 150 | 1/8 | 150/8 |
| 1 | 240 | 3/8 | 720/8 |
| 2 | 270 | 3/8 | 810/8 |
| 3 | 240 | 1/8 | 240/8 | 1920/8 |
| Пропозиція 5.10.1: Нехай NV буде поділом і буде деякою функцією, область якої містить усі можливі значення. Тоді коли це дискретно відп. безперервна НВ. |
Примітка: З цього твердження випливає, що середній символ є лінійним оператором. Іноді ми використовуємо дужки після нього, щоб точно визначити, з чого ми робимо середнє значення. Наприклад Ми могли б також сформулювати визначення дисперсії у формі відповідно. . Його лінійність можна використовувати при розрахунках; Наприклад: Ця еквівалентна форма дисперсії називається формою обчислення, оскільки, як правило, її значно простіше обчислити, ніж за визначенням.