ВИРІШЕНІ ПРОБЛЕМИ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ДВУМИ ЗМІННИМИ. - ГРАФІЧНИЙ МЕТОД www.cedicaped.com
ВИРІШЕНІ ПРОБЛЕМИ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ДВУМИ ЗМІННИМИ. - ГРАФІЧНИЙ МЕТОД 1. Дієтолог розробляє дієту для одного зі своїх пацієнтів. Дієта повинна включати два овочі А і В. Припустимо, що кожна порція А 10 г містить 2 одиниці заліза і 2 вітаміну В 12, тоді як кожна порція 10 г овоча В містить одну одиницю заліза і 5 одиниць вітаміну Б 12. Кількість калорій у кожній 10 г порції овочів А і В становить 5 і 3 відповідно. Якщо пацієнту потрібно щонайменше 20 одиниць заліза та 36 вітаміну В12 у своєму раціоні, скільки грамів кожного овоча повинен включати дієтолог, щоб задовольнити одиниці заліза та вітамінів, мінімізуючи кількість калорій у раціоні? Таблиця даних Рослинна змінна заліза Вітамін B 12 Калорії A x 2 2 5 B y 1 5 3 Вимога 20 36 Цільова функція: min 5x та Z 3 Обмеження: 2x y 20 2x 5y 36 x 0 y 0 Графік основної можливої зони та вершин багатокутника y 60 40 20 A (0,20) B (8,4) 0 C (18,0) -30-20 -10 0 10 20 30 x -20-40 ww w. c e d i c a p e d. c o m Сторінка 1
Можливі рішення Оптимально можливе рішення: вершини x та Z (хв) A 0 20 60 B 8 4 52 C 18 0 90 8 г рослинного A та 4 g рослинного B дають мінімальне значення 52 калорії. ш ш ш. c e d i c a p e d. c o m Сторінка 2
2. Фармацевтична компанія хоче зробити тонік, щоб кожна пляшка містила принаймні 32 одиниці вітаміну А, 10 вітаміну В і 40 вітаміну С. Для постачання цих вітамінів лабораторія використовує добавки вартістю 20 центів. за унцію, яка містить 16 одиниць вітаміну А, 2 одиниці вітаміну В і 4 одиниці вітаміну С; добавка Y вартістю 40 центів за унцію, що містить 4 одиниці вітаміну А, 2 одиниці вітаміну В і 14 одиниць вітаміну С. Скільки унцій кожної добавки слід включити в пляшку, щоб мінімізувати витрати? Таблиця даних: Адитивна змінна вітамін А Вітамін В Вітамін С Вартість X x 16 2 4 0.20 Y y 4 2 14 0.40 Вимога 32 10 40 Цільова функція: Обмеження: 16x 4y 32 2x 2y 10 4x 14y 40 x 0 y 0 хв 0.20x 0 y Z 40 Обмеження потім графікуються в єдиній декартовій системі, визначається основна здійсненна площа та вказуються вершини багатокутника. 8 та A (0, 8) 6 4 B (1, 4) 2 C (3, 2) 0 D (10, 0) -4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 x -2 w w w. c e d i c a p e d. c або m Сторінка 3
Можливі рішення Оптимальне можливе рішення: Вершина x y Z (хв) A 0 8 3,20 B 1 4 1,80 C 3 2 1,40 D 10 0 2,00 3 унції добавки X і 2 унції добавки Y дають мінімальну вартість 1,40 дол. ш ш ш. c e d i c a p e d. c або m Сторінка 4
3. Два нафтопереробні заводи виробляють три типи бензину з різними октановими показниками A, B і C. НПЗ працюють таким чином, що різні типи бензину завжди виробляються у фіксованій пропорції. НПЗ I виробляє 1 одиницю A, 3 одиниці B і 1 одиницю C за партію, тоді як НПЗ II виробляє 1 одиницю A, 4 B і 5 C за партію. Ціна за партію для НПЗ I становить 300 і 500 дол. США для НПЗ II. Купцю потрібно 100 одиниць A, 340 одиниць B і 150 одиниць C. Як йому слід замовити, щоб мінімізувати витрати? Октан НПЗ змінний октан A октан B октан C Вартість I x 1 3 1 300 II y 1 4 5 500 Вимога 100 340 150 Цільова функція: Обмеження: xy 100 3x 4y 340 x 5y 150 x 0 та 0 хв 300x y Z 500 150 і 100 A (0,100) 50 B (60,40) C (100,10) 0 D (150,0) 0 50 100 150 200 250 xww w. c e d i c a p e d. c або m Сторінка 5
Можливі рішення Оптимальне можливе рішення: вершини x та Z (хв) A 0 100 50 000 B 60 40 38 000 C 100 10 35 000 D 150 0 45 000 Замовляйте 100 галонів у НПЗ I та 10 галонів у НПЗ за вартістю 35 000 доларів. ш ш ш. c e d i c a p e d. c або m Сторінка 6
4. Телевізійна станція стикається з проблемою: вона знає, що програма А з 20 хвилинами музики та 1 хвилиною рекламних роликів має аудиторію в 30 000 глядачів, тоді як програму В з 10 хвилинами музики та 1 хвилиною реклами бачить 10 000 глядачів. Спонсор наполягає на тому, що їх рекламні ролики виходять щонайменше 6 хвилин на тиждень, а станція не може надавати більше 80 хвилин на тиждень. Скільки разів на тиждень кожна передача повинна транслюватися, щоб отримати максимальну кількість глядачів. Рішення: Табулювання даних: Змінна програма Час музики Час Кількість комерційних глядачів A x 20 1 30 000 B та 10 1 20 000 Наявність 80 Вимога 6 За допомогою цих даних ми визначаємо цільову функцію та обмеження: Цільову функцію: Обмеження: макс. 30000x та Z 20000 20x 10y 80 xy 6 x 0 y 0 За допомогою програми Graphmatica ми переходимо до отримання графіка багатокутника, який обмежує основну можливу область: 9 і 8 B (0,8) 7 6 A (0,6) 5 4 C (2, 4) -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 ww w. c e d i c a p e d. c або m Сторінка 7
Вершини многокутника, що обмежує основну здійсненну область, забезпечують наступні можливі рішення: Вершина xy Z (макс.) A 0 6 60 000 B 0 8 80 000 C 2 4 100 000 Оптимальне рішення: Телевізійна станція повинна передавати 2 програми типу A (20 хвилин музики та 1 хвилина рекламних роликів) та 4 програми типу В (10 хвилин музики та 1 хвилина рекламних роликів), щоб отримати максимум 100 000 глядачів; таким чином будуть покриті вимоги спонсора та максимальна доступність музичного часу. ш ш ш. c e d i c a p e d. c або m Сторінка 8