Що лежить в основі позиційної системи числення?

Основа позиційної системи нумерації вказує кількість різних цифр, необхідних для представлення всіх чисел. У випадку десяткової системи числення їх дорівнює десяти: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, відомі як арабські цифри. Він також вказує, скільки одиниць у першій позиції дорівнює одній одиниці в наступній лівій позиції: десять. Це дуже важливо, я детальніше поясню це пізніше.

числення

Якщо основа позиційної системи нумерації невелика, потрібно кілька різних символів, і обчислення (додавання та віднімання) простіше зробити, але великі цифри довго записувати. Якщо база велика, потрібно багато різних символів, і обчислення є більш складними, але великі цифри менш довгі. 10, отже, є хорошою основою для системи числення.

Чи єдина система нумерації, яка існує?

Ні, їх є ще кілька, але це найпрактичніше, саме тому його використання поширилося по всьому світу. Це дозволило математичний розвиток, який був зупинений іншими системами нумерації.

До речі, цифри, які ми використовуємо в десятковій системі числення, ми називаємо арабськими цифрами, оскільки саме араби привезли їх до Європи, хоча насправді вони були розроблені індіанцями.

Вавилоняни намалювали клини, щоб зобразити числа, і використали 60 як основу. Майя використовували крапки та лінії, їх основа становила 20. Обидва числа позиційні, тому їм потрібен символ, що представляє нуль.

Системи нумерації в інших базах

Існують і інші системи числення, які також використовують арабські цифри, але основа яких відрізняється: двійкова (основа 2), восьмерична (основа 8), шістнадцяткова (база 16, використовуйте перші літери алфавіту, щоб заповнити відсутні символи), серед інших. У всіх них основа написана "10", що представляє 10 одиниць у десятковій системі, 2 одиниці у двійковій системі, 8 одиниць у вісімковій системі, 16 у шістнадцятковій системі тощо.

Що піддається написанню та показуванню якомусь нічого не підозрюючому другу цій фразі, яка дозволяє нам відчувати себе вченою:

"Є 10 типів людей: ті, хто вміє читати двійкові числа, і ті, хто не вміє"

(Десятка повинна мати маленький 2 як нижній індекс, що вказує на те, що число записано в основі 2, але ми пропускаємо його, щоб побачити, яке обличчя робить читач).

Походження позиційних систем

Основні характеристики позиційної системи числення

Кожна цифра має абсолютне значення та відносне значення відповідно до свого положення.

Значення кожної позиції є степенем числа, яке є основою системи. Кількість одиниць, що дорівнює основі, утворює одиницю наступного порядку (зліва від неї). І одиниця в одному положенні в стільки разів більше, ніж основа, ніж одиниця праворуч від неї.

В одиницях потужність дорівнює нулю, а звідти праворуч потужності від’ємні, а зліва позитивні, що може звучати протиінтуїтивно.

Все вищесказане буде краще зрозуміти під час перегляду цієї таблиці, що відповідає десятковій системі числення:

Кожній позиції відповідає порядок, який повторюється ліворуч: одиниці, десятки, сотні
Кожні три замовлення відповідають класу, який повторюється зліва: одиниці, тисячі
Кожні два класи відповідають періоду: періоду одиниць, періоду мільйонів тощо.

Десятковий роздільник

Десятковий роздільник - це символ, який відокремлює цілу частину від десяткової частини числа. У Мексиці зазвичай використовують десяткову крапку (1,5), але в інших країнах замість крапки використовують десяткову крапку (1,5) або високу десяткову крапку (1'5).

Інші цікаві функції

У позиційній системі 1 на другій позиції коштує більше, ніж 9 на першій.

Це адитив, тобто значення повного числа задається сумою відносних значень кожної цифри:

324 = 300 + 20 + 4

Коли маленьких дітей вчать складати або віднімати, розкладаючи числа спочатку, їм легше зрозуміти, чому їх «несуть» або «позичають»:

3¹4
+ 2 7
= 6 1

30 + 4
+ 20 + 7
= 50 + 11 = 61

Будучи позиційним, уникає плутанини: певне розташування фігур представляє число і лише це. І довше ціле число завжди буде більшим за коротше, що не відбувається у римських цифрах, де X більше VIII. Тому порівняння чисел легше в позиційній системі нумерації.

Позиція має велике значення для додавання та віднімання загалом, як при додаванні цілих чисел, так і при додаванні чисел з десятковою комою.

Навчаючи учнів складати, дуже важливо, щоб вони розуміли, що вони повинні вибудовувати цифри для кожного замовлення одна за одною (використовуйте десяткову крапку як посилання на "центрування" величин). При відніманні, крім вищезазначеного, також дуже важливо заповнити мінує нулями, щоб він мав ті самі десяткові коми, що і віднімання. Наприклад, відняти 23.5 менше 10.23 Слід зазначити, що в минулому є нуль сотих, наприклад:

23,5 0
- 10.23
= 13,27

Що означає бути провідним нулем?

З іншого боку, у десяткових знаках додавання нуля праворуч не змінює значення числа, але додавання його ліворуч (безпосередньо перед точкою) ділить його значення на 10:
0,25 -> 0,250 - однакове значення
0,25 -> 0,025 є 10 в рази менше

Як писати і перетворювати числа в десятковій системі числення?

Нулі та назви цифр відіграють делікатну роль при їх написанні. Якщо імені не вказано, вважається, що це одиниці.

Двадцять тисяч триста чотири (одиниці) записуються, ставлячи 2, куди йдуть десятки тисяч, 3 куди йдуть сотні та чотири, де йдуть одиниці. Решта позицій заповнюються нулями, пам’ятаючи, що зліва від 2 вони не потрібні або праворуч від десяткової коми: 20 304

З іншого боку, 315 тисячних записується, ставлячи 5 на тисячні місця, 1 одне місце ліворуч і ще 3 ліворуч. Важливо писати нуль перед десятковою комою, якщо число менше одиниці, щоб воно було чіткішим і не плуталося з цяточкою або чимось іншим.

Якщо вони були лише 15 тисячними, це записується, ставлячи 5 на тисячні місця, 1 одне місце ліворуч та заповнюючи нулі до місця одиниць.

Якщо вчитель перевіряє наші здібності і просить нас перетворити 93,6 сотих у десятки, то що нам потрібно зробити: поставити 3 на соте місце (десяткова крапка йде відразу після позиції, що відповідає назві, яку вони нам дали: соті З це всі інші номери розміщуються, наприклад:

Згодом число зчитується лише шляхом перестановки десяткової коми у позиції, що відповідає другій назві, яку вони нам дали: десятки, заповнивши потрібні нулі в ту чи іншу сторону. Отже, 93,6 сотих дорівнює 0,0936 десятки

Спробуймо назад: скільки десятих - 7,04 сотні?

7,04 сотні - це 7040 десятих

Як і все, це легко зробити, якщо ти розумієш, чому це працює так, і дбаєш про деталі, особливо про розташування всіх нулів, які дозволяють відрізнити 12 від 102, від 0,012 тощо.

З невеликою практикою, більше не потрібно мати таблицю в якості посилання, і лише точка "переміщується" вліво або вправо відповідно до запитуваного перетворення.

Закрити

Наша числова система - це диво, лише 10 цифр, знаючи значення кожної позиції і маючи достатньо місця, ми можемо написати будь-яке число, яке ми можемо уявити або обчислити.

Визначення його характеристик дозволяє нам скористатися ними при виконанні операцій з числами, наприклад, ми можемо зрозуміти, чому це множення виглядає так:

68
х 3 7
476
20 4 0
2516

Місце "об'їжджають" 4 тому що він множиться 3 0 x 8 = 2 4 0, не тільки 3 .

Якщо під час викладання там сказано лише "ти проходиш місце", і не пояснено чому, студент може це забути. Я бачив, що деяких студентів просять поставити якийсь символ, щоб пам'ятати, що вони повинні починати з одного місця зліва за раз. Краще пояснити, що він множиться на двадцять і поставити нуль на своє місце, вам не здається? Те саме стосується множення на більше цифр, всі місця, які переживають, можуть бути заповнені нулями праворуч, що, хоча вони і не впливають на суму, дуже допомагають зрозуміти, що робиться.

До речі, з усіх числових комбінацій, які ми повинні засвоїти, щоб мати гарне значення числа (див. Запис тут), ті, що ведуть до 10 є особливо важливими і потрібні частіше, оскільки вони є основою нашої системи числення.

Як завжди, я ціную, що ви знайшли час, щоб прочитати, зрозуміти та поділитися. Будь-які питання, ви можете написати це в коментарях. Я відповім.

PD1: Мені ще не вдалося вставити в цей розділ кнопку, яка дозволяє вам стежити за блогом ... Вибачте за незручність переходу на головну сторінку для цього.

PD2: Я хочу подякувати цим двом сторінкам, на які я постійно покладаюсь, щоб писати щоденник: https://pixabay.com/ http://webresizer.com/

Деякі дані я отримав із wikipedia. Я зробив кілька зображень у програмі Word.