У півфіналі змагань стартує 8. Трійка найкращих фіналістів пройде у фінал. Скількома шляхами може розвиватися людина, що перемагає?

binom frac

У цьому завданні порядок байдужий. Усі троє просуваються вперед. Тоді питання полягає в тому, як відібрати 3 із 8 осіб у випадках, коли замовлення байдуже?

Завдання подібне до кількості побачених варіацій, але в цьому питанні лише вибір завдання, макет - ні.

Тож ми можемо думати подібно, як ми бачили у варіаціях.
Було 8 шансів на перше місце, 7 на друге місце та 6 на третє місце, коли порядок також був важливим.

Однак, якщо ми нехтуємо порядком, отримане число потрібно розділити на кількість можливих макетів вибраних елементів, тож результат: \ (\ frac = \ frac = 56 \)

Питання можна сформулювати більш загально:

Існує безліч способів вибору "N" з різних предметів "К" штук, якщо порядок відбору байдужий?

Це питання також можна сформулювати так:
"N" скільки штук набору елементів "К" має підмножину елементів.

Визначення:

Підмножини набору елементів "n" з елементом "k" називаються комбінаціями класів елемента "n" і позначаються \ (> \) (n≥k).

Пункт:

«N» - кількість комбінацій класів «k» -ad різних класів: \ (> = \ binom = \ frac \), n≥k.

Доказ.

З комбінації класу k-ad заданих n елементів ми можемо створити варіації класу k-ad, упорядкувавши та переставивши елементи кожної комбінації.
Це означає, що: \ (P_ ·> = = \), тобто \ (> = \ frac >>> \)

Визначення:

Ми вводимо нове позначення для результуючого виразу \ (\ frac \): \ (\ binom \), який читається як k під n і також називається біноміальним коефіцієнтом.

Природно, що “n"Від пункту"k"Шматок можна вибрати так само, як і"n"Від пункту"(n-k)”Шматок не вибрано. Це властивість симетрії біноміальних коефіцієнтів: \ (\ Біном = \ біном \).

З визначення \ (\ binom \):

) \ (\ Binom = n \) Оскільки 1 з n об'єктів може бути обраний n способами.
З іншого боку: \ (\ binom = \ frac = n \)
\ (\ Binom = \ binom \) Властивість симетрії.

б) \ (\ Binom = 1 \) Оскільки існує лише один спосіб виділення всіх n об'єктів.
І \ (\ binom = 1 \) Зрештою, є лише один спосіб вибрати один.

в) За визначенням: \ (\ Біном = 1 \)

Завдання:

Дано площину з двадцятьма точками, будь-які три з яких не вміщуються на прямій. Скільки визначено трикутників?

Рішення:

Вибираючи будь-які три із заданих 20 точок, ми завжди отримуємо трикутник відповідно до умови, оскільки будь-які три точки не потрапляють у пряму.
Ті самі три точки визначають один і той же трикутник у будь-якому порядку вибору, тому кількість утворених таким чином трикутників дорівнює 3-d комбінації класу 20.

Отже, 20 точок у площині, будь-які 3 з яких не вміщуються на прямій, визначають 1140 трикутників.

(Підсумкове завдання збору завдань 4039.)

Коментарі закриті, але трекбеки та пінгбеки відкриті.

  • Математики
    • Стародавні математики
    • Середньовічні математики
    • Сучасні математики
  • Методи мислення
    • Набори
    • Математична логіка
    • Комбінаторика
    • Графіки
  • Алгебра
    • Теорія чисел
    • Набори чисел
    • Ступінь, корінь, логарифм
    • Алгебраїчні вирази
    • Пропорційність, пропорційність
    • Рівняння, нерівності, засоби
  • Функції
    • Елементарні функції та їх властивості
    • Серія
    • Диференціальний розрахунок
    • Інтегральний розрахунок
  • Геометрія
    • Основні геометричні поняття
    • Геометричні перетворення
    • Трикутники
    • Прямокутники
    • Багатокутники
    • Захворювання
    • Вектори
    • Тригонометрія
    • Геометрія координат
    • Топологія
    • Просторова геометрія
  • Статистика
  • Теорія ймовірностей
  • Про математику
  • Помітні математичні завдання
  • Математичні курйози

Важливі поняття