Передмова Автори цієї книги змогли в найбільш виразній формі діалогу глибоко проаналізувати майже всі питання програми, особливо ті, що важко зрозуміти. У книзі робиться детальний аналіз найбільш характерних помилок, які допускають студенти. Текст написаний єдиним, простим та розважальним способом, складні питання обговорюються з різних точок зору, добре деталізовані малюнки (яких у книзі багато) допомагають глибше зрозуміти ідею авторів. Автори цієї роботи - викладачі Московського інституту електронного машинобудування. Високі оцінки авторів у поєднанні з жвавістю та зрозумілістю викладу роблять цю книгу дуже корисною для студентів на початковому етапі навчання з фізики. два
Глава 1 Не нехтуйте кінематикою! Проблема про те, як тіла рухаються в просторі та часі, представляє великий інтерес як з точки зору фізики, так і з практичної точки зору. 1. ТИ ЗНАЄШ, ЯК ГРАФІЧНО АНАЛІЗУВАТИ КІНЕМАТИКУ Прямолінійного руху? ВЧИТЕЛЬ: Ви вже обговорювали графіки швидкості та пройденого шляху в залежності від часу для рівномірно прямолінійного руху. У зв'язку з цим я задаю вам наступне запитання. Припустимо, що графік швидкості-часу має вигляд, представлений на малюнку 1, з цього побудуйте графік пройденого шляху як функцію часу. СТУДЕНТ: Я ніколи не малював таких графіків. ВЧИТЕЛЬ: Це зовсім не складно. Давайте міркувати разом. Поділимо загальний витрачений час на три інтервали: 1, 2 та 3 (див. Рисунок 1). Як рухається тіло протягом інтервалу 1? Якою буде формула шляху, пройденого за цей інтервал? 3
СТУДЕНТ: У інтервалі 1 рух тіла рівномірно прискорюється без початкової швидкості. У цьому випадку формула пройденого шляху така: s (t) = при 2/2 (1), де a - прискорення тіла. Рисунок 1 ВЧИТЕЛЬ: Чи не могли б ви, використовуючи графік швидкості, знайти прискорення? СТУДЕНТ: Так, прискорення, яке є зміною швидкості, в одиниці часу, дорівнює співвідношенню між відрізками AB: OB. ВЧИТЕЛЬ: Добре. Тепер проаналізуйте інтервали 2 і 3. УЧЕНЬ: У інтервалі 2 тіло має рівномірний рух зі швидкістю v, яку воно досягло в кінці інтервалу 1. Формула пройденого шляху: s = vt ВЧИТЕЛЬ: Ваша відповідь не є точним. Ви не врахували, що рівномірний рух розпочався в момент i, а не в початковий момент. Для 4
цього разу тіло вже пройшло шлях, рівний 1 т 2/2. У інтервалі 2 залежність пройденого шляху від часу має такий вираз: s (t) = при 1 2/2 + v (t 2 - t 1) (2) Враховуючи це спостереження, напишіть формулу для проходження шляху за інтервал 3. СТУДЕНТ: У інтервалі 3 рух рівномірно загальмовано. Якщо я правильно зрозумів, у цьому випадку формула пройденого шляху повинна мати такий вираз: s (t) = при 2 1/2 + v (t 2 - t 1) + v (t - t 2) - a 1 (t - t 2) 2/2 де at - прискорення в інтервалі 3. Це в два рази менше прискорення a в 1, оскільки інтервал 3 вдвічі довший за 1. ВЧИТЕЛЬ: Його формула полягає в тому, що ви можете спростити біт s (t) = при 1 2/2 + v (t - t 1) - a 1 (t - t 2) 2/2 (3) Тепер ви можете просто додати результати, отримані в (1) (3). Малюнок 2 5
СТУДЕНТ: Так, я розумію. В 1 графіком пройденого шляху є парабола, у 2 - це пряма лінія і, нарешті, в інтервалі 3 це знову парабола, але обернена (опукла вгору). Це мій графік (малюнок 2). ВЧИТЕЛЬ: Ваш малюнок не зовсім правильний. Крива пройденого шляху не повинна бути ламаною, вона повинна бути представлена плавною лінією, тобто параболи потрібно сплутати з прямою. Крім того, вершина другої параболи повинна відповідати моменту часу t. Цей графік є правильним (рисунок 3). Малюнок 3 СТУДЕНТ: Поясніть, будь ласка. ВЧИТЕЛЬ: Давайте проаналізуємо частину іншого графіка шляху, пройденого за певний інтервал часу (рис. 4). Середня швидкість тіла в інтервалі від t до t + t дорівнює 6
де кут, який хорда AB робить з горизонталлю. Щоб розрахувати швидкість тіла в момент часу t, ми повинні знайти межу середніх швидкостей, коли t 0 На межі хорда стає тангенсом кривої в точці A (див. Пунктирну лінію на рисунку 4). Значення швидкості в мить t буде дорівнює нахилу дотичної в точці А. Отже, швидкість тіла в будь-який момент часу може бути знайдена за схилами дотичних до графіка пройденого шляху. Повернемось тепер до графіка (рис. 2). З цього робиться висновок, що в момент часу t 1 (а в момент часу t 2) швидкість тіла має два різні значення: якщо ми підійдемо до t зліва, швидкість буде дорівнює tg 1, тоді як якщо ми підійдемо в цій самій точці справа швидкість буде мати значення, рівне tg 2 Рисунок 4 7
Розділ 2 Поняття сили - одне з основних понять фізики. Чи знаєте ви, як правильно використовувати це поняття? Ви добре знаєте закони динаміки? 2. МОГИ ВИ. ВКАЖІТЬ, ЩО СИЛИ ДІЮТЬ НА ТІЛО? СТУДЕНТ: Механічні проблеми здаються мені найскладнішими. На якій основі слід починати своє рішення? ВЧИТЕЛЬ: У більшості випадків слід починати з аналізу сил, що діють на тіло. Розглянемо кілька прикладів (рисунок 7): а) тіло кинуто під кутом до горизонталі; б) тіло ковзає по похилій площині; в) тіло, прив’язане до мотузки, обертається на вертикальній площині; г) простий маятник. Поясніть і складіть схему сил, прикладених до тіл у кожному з вищезазначених випадків. СТУДЕНТ: Це мій графік (рисунок 8). У першому випадку: P - вага тіла, F - сила запуску. У другому випадку: P - вага; F, сила ковзання; F r, сила тертя. У третьому випадку: P - вага; F c. доцентрова сила; Т, натяг струни. У четвертому випадку: P - вага; F - сила реституції; Т, натяг мотузки. 10
Рисунки 7 та 8 ВЧИТЕЛЬ: Ви помилялись у всіх випадках. Це правильна схема (рисунок 9). Потрібно дуже добре розуміти, що всі сили з’являються в результаті взаємодії тіл. Отже, щоб зобразити сили, що діють на тіло, ми повинні спочатку відповісти на запитання: Які тіла взаємодіють з об’єктом, що розглядається? Таким чином, у першому випадку Земля приваблює розглянутий об’єкт, і це єдине тіло, яке взаємодіє з ним (рисунок 9, а). Тому тіло піддається дії лише однієї сили: власної ваги. Якщо взяти до уваги опір повітря або дію вітру, наприклад, тоді слід було б ввести інші додаткові сили. "Сили запуску", подібні до тієї, яку ви вказуєте на своїй діаграмі, у природі не існують, оскільки відсутня взаємодія, яка веде до присутності такої сили. СТУДЕНТ: Але якщо запускати тіло, на нього обов’язково повинна діяти сила. одинадцять
ВЧИТЕЛЬ: Це правда. Кидаючи тіло, ви застосовуєте до нього певну силу. Однак у випадку, який розглядався раніше, аналізується рух тіла після кидка, тобто після зникнення дії його сили, яка повідомляла тілу певну початкову швидкість запуску. Неможливо «накопичити» сили; як тільки взаємодія тіл закінчується, сили зникають. Рисунок 9 СТУДЕНТ: Але якщо на тіло нічого не діє, крім його ваги, чому тоді воно не падає вертикально, а навпаки, описує певну траєкторію? ВЧИТЕЛЬ: Вам здається дивним, що в цьому випадку напрямок руху тіла не збігається з напрямком сили, що діє на нього. Однак все це повністю відповідає другому закону Ньютона. Ваше запитання свідчить про те, що ви не ретельно продумували закони динаміки Ньютона. Я пропоную зупинитися на цьому пізніше (див. 4), поки що я продовжую аналіз попередніх чотирьох прикладів руху тіла. 12
УЧЕНЬ: З тілом 2 взаємодіє: Земля, похила площина та струни AB і CD. Сили, прикладені до тіла 2, вказані на малюнку 13, b. Малюнок 13 ВЧИТЕЛЬ: Чудово. А тепер проаналізуйте тіло 3. СТУДЕНТ: Тіло 3 взаємодіє лише із Землею та CD-струною. Сили, прикладені до зазначеного тіла, вказані на малюнку 13, c. ВЧИТЕЛЬ: Після знаходження сил, прикладених до кожного з тіл, ви “повинні написати рівняння руху для кожного з них, а потім розв’язати отриману систему рівнянь. УЧЕНЬ: Ви вказали, що набір тіл також можна проаналізувати. ВЧИТЕЛЬ: Так, тіла 1, 2 і 3 також можна розглядати разом, як єдину систему. У цьому випадку не потрібно звертати увагу на натяг струн, оскільки зараз це вважаються внутрішніми силами, тобто вони становлять 17
Я перекидаюся, змушуючи тіло повертатися. Рух матеріальної точки може бути лише поступальним. Побачимо приклад: припустимо, що дві сили діють на тіло в різних точках: F 1 у точці A та F 2 у B, як показано на малюнку 14 а. Застосуємо силу F 2 до точки A; рівний і паралельний F 2, такий самий, як сила F 2; дорівнює F 2, але у зворотному напрямку (див. малюнок 14 b). Малюнок 14 Як сили F 2; і F 2, виключають один одного, їх введення не викликає жодних фізичних змін. Однак фігуру 14, b можна обробити наступним чином: сили F 1 і F 2 прикладені до точки A, що може призвести до зміщення тіла. Крім того, пара сил діє на одне і те ж тіло (сили F 2 і F 2), які змушують об'єкт обертатися. Іншими словами, силу F можна перенести в точку A, якщо ми одночасно додаємо відповідний момент повороту. 19
СТУДЕНТ: Я розумію. Оскільки тіло перебуває в стані спокою, це тоді сила статичного тертя. Це повинно визначатися з умов рівноваги сил, що діють у напрямку, паралельному похилій площині. У цьому випадку існує дві сили: сила тертя F r і сила, яка змушує тіло P sin a ковзати. З цієї причини правильна відповідь - F r = P sin a. ВЧИТЕЛЬ: Саме так. На закінчення проаналізуємо наступну задачу, представлену на рисунку 17. Блок, маса якого дорівнює m, лежить на іншому з масою M; максимальне значення сили статичного тертя між двома блоками представляється коефіцієнтом k 0, тертям між блоком М і поверхнею Землі нехтують. Просимо знайти мінімальну силу F, яку потрібно прикласти до M, щоб верхній блок почав ковзати по першому. Рисунок 17 СТУДЕНТ: По-перше, я припущу, що сила F досить мала: тіло m не рухається відносно M. У цьому випадку два тіла мають прискорення a = F/(M + m) ВЧИТЕЛЬ: Правильно. Яка сила передається цим прискоренням тілу m? СТУДЕНТ: Сила статичного тертя F r = ma = F r m/(M + m). 24
На малюнку 18 вектори швидкості тіла v 1 і v 2 представлені для двох дуже близьких моментів часу t і t + Dt. Зміною швидкості в часі Dt є вектор. За визначенням, прискорення (12) або, більш суворо, (13) З цього випливає, що вектор прискорення спрямований вздовж вектора Dv. що представляє зміну швидкості за досить малий інтервал часу. На малюнку 18 видно, що вектори швидкості та варіації швидкості можуть мати абсолютно різні напрямки. Це означає, що в цілому вектори прискорення та швидкості також можуть орієнтуватися по-різному. Це зрозуміло? СТУДЕНТ: Так, це я розумію. Наприклад, при круговому русі тіла його швидкість спрямована по дотичній до окружності, тоді як прискорення спрямоване радіально і до центру. (Я маю на увазі доцентрове прискорення.) ВЧИТЕЛЬ: Ваш відповідний приклад служить для уточнення формули (11) та пояснення того, що напрямок сили збігається з напрямком прискорення, а не з напрямком 29
Рисунок 20 Я хочу розглянути ще один приклад, який ілюструє вищезазначене. Це зображено на малюнку 20: на кульку, що звисає з нитки, діють дві сили: вага і натяг нитки. Якщо ми відхилимо кульку від положення рівноваги, а потім відпустимо, вона почне коливатися. Якби ми повідомляли відхиленому кулі певну швидкість, спрямовану перпендикулярно площині, на якій відбулося відхилення, тоді черевик рухався б рівномірно по колу. Як бачите, відповідно до початкових умов, куля або коливається (див. Рисунок 20, а), або він рівномірно рухається по колу (див. Малюнок 20, б), отже, в обох випадках на кульку діють лише дві сили: його вага та натяг нитки. СТУДЕНТ: Я не думав про закони Ньютона в цьому плані. ВЧИТЕЛЬ: Ось чому не дивно, що, пояснюючи питання про сили, що діють на тіло, іноді вони виходять з факту характеру руху тіла, а не з яких тіл, які взаємодіють із даним тіло. Пам'ятайте, що ви теж це робили. З цієї причини, коли ви намалювали малюнки 8, c і 8, d, вам здавалося, що сукупність сил 32
Рисунок 21 Отже, ми повинні розкласти вагу P тіла в напрямку результуючої і в напрямку, перпендикулярному до неї (тобто вздовж дроту), і зрівняти сили, перпендикулярні результуючій, тобто силам діючи в напрямку нитки (фігура 21, а). Звідси T 1 = P cos a У другому випадку результуючою є доцентрова сила, яка спрямована горизонтально. Тому необхідно розкласти натяг нитки T різьби в горизонтальному та вертикальному напрямках і зрівняти перпендикуляр до результуючої, тобто вертикально спрямовані скрутки (рис. 21, b). Звідти отримуємо T 2 cos a = P або T 2 = P/cos a 34