Динаміка
Діяльність
На сторінці під назвою "Простий маятник" ми вивчали цей пристрій, утворений частинкою маси м утримується нерозтяжною ниткою незначної маси в довжину л.
На цій сторінці ми встановлюємо простий маятник на мобільну платформу маси М ковзання без тертя по горизонтальній площині.
Рівняння руху простого маятника
Припустимо, що це простий маятник маси м і довжина л відхиляє кут θ0 з положення рівноваги і звільнений.
Принцип збереження енергії
Ми застосовуємо принцип збереження енергії для обчислення швидкості частинки, коли маятник знаходиться в кутовому положенні θ.
Встановлюємо нульовий рівень потенційної енергії на осі обертання O
Оскільки частинка описує круговий рух радіуса л, швидкість v=л(dθ/dt). Термін у дужках - це кутова швидкість обертання.
Другий закон Ньютона
На малюнку показано сили, що діють на частинку маси м та дотичні компоненти в= л(d 2 θ/dt 2 ) і нормальний an=v 2/l =л(dθ/dt) 2 його прискорення.
Ми застосовуємо другий закон Ньютона
мат = -mg сен θ
людина =Т-мгКосθ
Перше рівняння записується у диференціальній формі
Це диференціальне рівняння другого порядку вирішується числовими процедурами з початковими умовами т= 0, θ = θ0, (dθ/dt) = 0
Друге рівняння дозволяє розрахувати натяг мотузки Т відома швидкість v частинки. Швидкість v обчислюється із застосуванням принципу збереження енергії
Рівняння руху простого маятника на мобільній платформі
Ми вивчаємо горизонтальний рух маятника та платформи. Горизонтальна зовнішня сила дорівнює нулю, а тому центр мас не рухається, якщо спочатку він був у стані спокою. Припустимо, що спочатку маятник знаходиться в положенні рівноваги, у стані спокою, над центром маси платформи. Його проекція на горизонтальну вісь X вказує на початок координат O. Отже, початок координат O - це положення центру мас ізольованої системи, яке залишиться в стані спокою, якщо спочатку воно було в стані спокою.
Положення центру мас системи є початком Xc= 0
Нехай маятник зміщений від рівноваги на кут θ0 направо.
Позиція ц.м. платформи є xb.
Положення масової частинки м є xp=-xb+лСенθ.
Положення центру мас становить Xc= 0
Зв'язок між кутовим положенням θ маятника та положення c.m. від платформи xb є
Швидкість центру мас системи становить Vc= 0
Компоненти швидкості частинки відносно інерційного спостерігача, розташованого в горизонтальній площині, складають
горизонтальний: vcos θ +Vb
вертикальний: vСенθ
Зв'язок між швидкістю v частинка і швидкість Vb платформи є
(1)
Принцип збереження енергії
Якщо встановити нульовий рівень потенційної енергії на осі обертання маятника. Принцип збереження енергії написаний, див. Попередній малюнок.
(два)
Підставляємо (1) Vb на основі v, і ми очищаємо v=л(dθ/dt) з (2)
Прискорення центру мас системи становить Ac= 0
Горизонтальна та вертикальна складові прискорення частинки щодо інерційного спостерігача, розташованого в горизонтальній площині, є
вcos θ-anсенθ +ab
ancos θ+всенθ
Взаємозв'язок між тангенціальними компонентами в і нормальний an прискорення і прискорення частинок ab платформи є
(3)
Другий закон Ньютона
Сили на частинку:
Напруга Т
Вага мг
Сили на платформі:
Напруга Т мотузки
Тангенціальна та радіальна складові прискорення частинки щодо інерційного спостерігача, розташованого в горизонтальній площині,
Рівняння руху в тангенціальному напрямку дорівнює
м (при + abКос θ ) =-мгсен θ (4)
Рівняння руху в нормальному напрямку дорівнює
м(an-abСенθ) =Т- мгcosθ (5)
Рівняння руху платформи є
ТСенθ=Маб (6)
Підставляємо ab від (3) до (4) та враховуючи це an=л(dθ/dt) 2 і в= л(d 2 θ/dt 2 ) приходимо до наступного диференціального рівняння другого порядку
Що вирішується числовими процедурами з наступними початковими умовами
т= 0, θ = θ0, (dθ/dt) = 0
Коли тісто М платформи дуже великий у порівнянні з масою м частинки, м/м→ 0 отримуємо диференціальне рівняння руху маятника.
Перевіримо, чи правильно диференціальне рівняння руху.
Застосування принципу збереження енергії дає нам диференціальне рівняння першого порядку
Ми отримуємо це рівняння відносно часу
і ми знову отримаємо диференціальне рівняння руху
Натяг мотузки
З рівнянь (5) та (6) вирішуємо натяг мотузки
Відома кутова швидкість обертання (dθ/dt) напруга знімається Т мотузки
Приклад: припустимо, маятник відхиляється θ0= 90є і звільнений. Коли він проходить через положення рівноваги θ= 0, натяг мотузки становить
Дещо вищий, ніж при фіксованій платформі T /(мг) = 3
Коли тісто М платформи дуже великий у порівнянні з масою м частинки, м/м→ 0 отримуємо
Приклад
Маса платформи М= 2 кг, маса частинки м= 1 кг, так що фактор М/м= 2,0
Довжина маятника, л= 1,0 м
Початковий кут відхилення маятника θ0= 90є
Платформа дрейфує вліво так, щоб положення c.m. ізольована система залишається у джерела
Обчислити положення xb платформа, швидкість v частинки, швидкість Vb платформа і натяг Т мотузки коли θ= 30є
Збереження імпульсу та енергії забезпечують нас двома рівняннями, які дозволяють нам обчислювати v Y Vb.
v= -4,75 м/с, Vb= 1,37 м/с
Напруга Т акорди обчислюється парою рівнянь
Т Сен θ =Маб (6)
м (an-abСен θ ) =Т- мгcos θ (5)
Т Sin30є = 2Аб (6)
1 (4,75 2 /1.0-abСен30є) =Т- 1 9,8 cos30є (5)
Виключення прискорення ab з платформи, ми очищаємо Т= 27,66 Н
Порівняння
На малюнку показано порівняння між коливаннями маятника (синього кольору) та коливань того самого маятника, встановленого на мобільній платформі (червоним кольором), маса якого М=м Період маятника на мобільній платформі менший.
На малюнку показано положення платформи xb як функція часу. Помічено, що він помітно відрізняється від простого гармонійного руху.
Діяльність
Стартовий кут θ0,, діючи на смужку прокрутки з назвою Кут
Частка маси платформи, маса частинки М/м, у контролі редагування з назвою Коефіцієнт
Довжина маятника була зафіксована на рівні л= 1м.
Натисніть кнопку з назвою Почніть і потім, Починається
Щоб розпочати новий досвід, натисніть кнопку з назвою Почніть
Порівняйте поведінку маятника, коли маса платформи М має порядок маси маятника м і коли він набагато старший. Наприклад, М/м= 2. і коли М/м= 100.
У верхній частині аплету наводяться відносні дані:
Список літератури
Проблеми з фізики для вчителів та студентів (Рішення до листопада 2004 р.), Вчитель фізики 43 (2005), с. s2-s3