Динаміка
Спуск десантника в неоднорідній атмосфері.
На попередніх двох сторінках ми вивчали рух тіла в рідині в ламінарному режимі (сила тертя була пропорційна швидкості). Тепер ми вивчимо рух тіла в рідині в турбулентному режимі (сила тертя пропорційна квадрату швидкості).
Спуск десантника в рівномірній атмосфері
Коли десантника кидають з літака, ми припускаємо, що його падіння вільне, вага єдина сила, що діє на нього, прискорення постійне, а рівняння руху - це ті, що вивчаються на сторінці падаючих тіл.
Коли ви відкриваєте парашут, на додаток до ваги діє сила тертя, пропорційна квадрату швидкості.
Вільне падіння перед відкриттям парашута
Десантник піддається дії власної ваги. Повітряна тяга вважається незначною, оскільки щільність повітря набагато менша, ніж щільність тіла. З іншого боку, ми вважаємо, що тертя парашутиста з повітрям невелике.
Коли парашут відкрили
Константа пропорційності k=ρAδ/ два
- р - щільність повітря. Хоча щільність повітря змінюється залежно від висоти, у цьому приблизному розрахунку буде використано його значення на рівні моря 1,29 кг/м 3. .
- ДО - площа фронтального перерізу, що зазнає впливу повітря,
- d - коефіцієнт, який залежить від форми предмета
У наступній таблиці наведено коефіцієнти опору для різних об'єктів
| Форма об’єкта | Приблизне значення d |
| Круговий диск | 1.2 |
| Сфера | 0,4 |
| Літак | 0,06 |
Оскільки десантник менш аеродинамічний, ніж куля, але більш аеродинамічний, ніж передній диск, ми приймаємо за коефіцієнт форми середнє значення, наведене для цих двох фігур у таблиці, тобто, d = 0,8.
Коли парашутист у вільному падінні відкриває парашут, він різко зменшує швидкість, поки не досягне постійної граничної швидкості. вл, що отримується, коли вага дорівнює силі тертя, тобто коли прискорення дорівнює нулю.
Значення граничної швидкості не залежить від початкової швидкості парашутиста в момент відкриття парашута, як ми бачимо на малюнках.
Рівняння руху
Ми можемо написати рівняння руху, коли парашут відкрився у формі
Інтегруємо рівняння руху, щоб отримати швидкість v мобільного телефону в будь-який момент т. Початковими умовами є: v0 - швидкість парашутиста в момент, коли t0 відкривається парашут.
Для інтеграції вноситься зміна v=звл.
Зміни скасовано, і це очищає v як функція часу (t-t0), Досягається після деяких операцій із виразом.
Ми також можемо отримати вираз положення мобільного як функцію швидкості, вносячи зміну змінної
Рівняння руху стає
Це може бути інтегровано негайно
Висота х парашутиста як функція його швидкості v є
Ми очищаємо швидкість v залежно від посади х десантника.
Діяльність
Вводиться
- Маса м десантника у контролі редагування під назвою Маса десантника
- Парашутна зона в елементі керування під назвою Парашутна зона
Натисніть кнопку з назвою Починається
Натисніть кнопку з назвою Відкриті парашути щоб парашутист загальмував вільне падіння, відкриваючи парашут.
Червоне коло представляє парашутиста у вільному падінні, те саме коло, оточене синім контуром, вказує на те, що він відкрив парашут. Сили на мобільному представлені:
- Червоним кольором - постійна сила ваги.
- Синім кольором сила тертя, пропорційна квадрату швидкості.
Коли обидві стрілки рівні, швидкість парашутиста є постійною і дорівнює граничній швидкості. Зверніть увагу, що гранична швидкість не залежить від висоти, на якій відкривається парашут.
Визначити залежність кінцевого значення швидкості від ваги парашутиста та площі парашутиста.
- Вага десантника підтримується постійною, збільшуючи площу парашута
- Парашутна зона підтримується постійною, збільшуючи вагу парашутиста.
- Маса десантника м= 72 кг,
- Парашутна зона ДО= 0,6 м 2
- Парашутист починає відпочивати з положення х= 2000 м
- Відкрийте парашут у положенні х= 1000 м, над землею.
Обчисліть швидкість, з якою вона досягає землі
Дані для розрахунку граничної швидкості вл є:
- Щільність повітря р = 1,29 кг/м3
- Коефіцієнт форми d = 0,8
Застосовуючи рівняння падіння тіл, ми обчислюємо швидкість, коли десантник досягає положення х= 1000 м
1000 = 2000-9,8t 2/два
v= -9,8т
Це початкова швидкість для наступного етапу руху, v0 =-140 м/с у положенні x0= 1000 м
Швидкість десантника в положенні х= 0, коли він досягає землі, це
Спуск десантника в неоднорідній атмосфері.
Ми перевіримо, що парашутист, який відкриває парашут у вихідному положенні, його швидкість зростає з часом, поки він не досягне постійної граничної швидкості.
Ми збираємось перевірити, що в неоднорідній атмосфері поведінка є більш складною. Швидкість парашутиста зростає до досягнення максимальної швидкості, а потім зменшується, поки він не досягне землі.
Зміна тиску з висотою
В ізотермічній атмосфері коливання тиску як функція висоти х дається законом Лапласа.
P0 - тиск атмосфери на рівні моря
М - молекулярна маса повітря 28,8 г/моль = 0,0288 кг/моль
g - це прискорення сили тяжіння
k =1,3805 10 -23 Дж/К - постійна Больцмана
Т - температура атмосфери в кельвінах
НС= 6,0225 · 10 23 - число Авогадро, кількість молекул, які вміщуються в одному молі
Хоча атмосфера не є ізотермічною, зміна тиску з висотою може бути апроксимована до спадної експоненції для ефективної температури 254 K.
де P0= 1 атм - тиск на рівні моря. Тиск на висоті х= 10000 м - це всього 0,26 атм.
Рівняння руху
Рівняння руху таке
Ми можемо написати це рівняння альтернативно
Де k0 - значення константи пропорційності сили тертя на рівні моря, де тиск P0, і константа λ= 7482,2 м -1 .
Це рівняння допускає рішення з точки зору нескінченного ряду, див. Статтю, цитовану в посиланнях. Інтерактивна програма вирішує це числовими процедурами.
Максимальна швидкість, яку досягає парашутист.
Ми спостерігаємо, що десантник збільшує свою швидкість, падаючи, досягаючи максимуму, а потім, швидкість зменшується, поки він не досягне землі.
Коли максимальна швидкість досягнута dv/dx= 0. Залежність між максимальною швидкістю vm і висота хм до якого це відбувається
де вл - це обмеження швидкості, яке парашутист досяг би в рівномірній атмосфері.
Можна розрахувати хм, числовими процедурами, якщо ми маємо аналітичне рішення v = v(х), що через свою складність ми опускаємо на цій сторінці.
Діяльність
- Маса м десантника в елементі управління під назвою Маса
- Парашутна зона в елементі керування під назвою Площа
- Висота (у км), з якої запускається десантник, діючи на заголовку смуги прокрутки Висота.
Натисніть кнопку з назвою Починається
Десантник відкриває парашут із вихідного положення.
У лівій частині аплету тиск повітря представлений як функція висоти, відповідно до моделі ізотермічної атмосфери.
Далі ми спостерігаємо рух десантника на кольоровому фоні, який представляє тиск як функцію висоти на червоній шкалі інтенсивності. Білий колір відповідає нульовому тиску, а червоний - тиску на рівні моря.
Нарешті, з правого боку швидкість парашутиста відображається як функція висоти. Власне, вона представлена
На горизонтальній осі 1-x/x0, де x0 - висота запуску
На вертикальній осі в/вл, де vl - постійна гранична швидкість, яку досягає парашутист в рівномірній атмосфері.
Ми спостерігаємо, що десантник під час падіння збільшує швидкість, досягаючи максимуму. Швидкість зменшується і досягає значення, близького до вл коли воно досягає землі, на графіку значення в/вл= 1.
Читачеві пропонується зобразити на папері висоту, на якій парашутист досягає максимальної швидкості хм залежно від початкового вихідного положення x0. Використовуйте кнопки Призупинити/продовжити Y Він пройшов щоб наблизитися до позиції хм.
- Маса десантника м= 72 кг,
- Парашутна зона ДО= 0,6 м 2
- Парашутист починає відпочивати з положення х0 = 30000 м
Обмеження швидкості вл парашутист досяг би в єдиній атмосфері
Ми спостерігаємо, що на висоті хм= 23996 м досягнуто максимальної швидкості. З рівняння, яке стосується хм Y vm отримуємо vm.
Інтерактивна програма надає нам цінність vm= 238,5 м/с
Список літератури
Мохаззабі П. Висотне вільне падіння. Am. J. Phys. 64 (10) жовтень 1996 р., С. 1242-1246