За яких умов твердження цього аристотелівського типу відповідають дійсності? Щоб відповісти на питання, варто ввести поняття. У межах загального терміну ми маємо на увазі сукупність окремих речей, які підпадають під цей термін. Сфера застосування людського терміна - це, наприклад, сукупність людей тощо. Посилаючись на ці набори, ми формулюємо умови істинності для кожного типу обстановки. Універсальні установки є найбільш проблемними; отже, почнемо переговори з них.
В історії логіки було багато суперечок щодо питання, чи слід часткова пара універсального твердження, і чи правильним є такий висновок з однієї передумови:
Кожні два з половиною люди, що ростуть, борються з проблемами хребта.
Отже: Деякі люди, що зростають на два з половиною метри, мають проблеми з хребтом.
Звичайно, якщо є два з половиною люди вище, і всі вони мають проблеми з хребтом, то це також правда, що деякі з них мають проблеми з хребтом. Однак що відбувається, коли таких людей немає. У цьому випадку, чи слід вважати наш універсальний підхід істинним чи хибним? Питання заходить дуже далеко. Тут ми погодимося на кілька спрощених відповідей.
1. Перша можливість полягає в тому, що ми вважаємо універсальне твердження істинним тоді і лише тоді, коли немає контраприкладу. Так, наприклад, усі смертні людини є істинними, якщо серед людей немає нікого, хто не належав би до смертних; отже, якщо частина терміна людина, що виходить за рамки смертного терміна, порожня. Це можна добре проілюструвати так званою діаграмою Венна:
Сфера застосування двох термінів повинна бути представлена колами, а різниця між людьми та смертними - тобто сукупністю людей, які не належать до смертних. На те, що цей діапазон порожній, свідчить сатира.
Якщо ми приймаємо цей перший варіант, наш висновок про високих людей не вважається правильним: якщо немає двох з половиною вищих людей,
Кожні два з половиною люди, що ростуть, борються з проблемами хребта.
ми повинні прийняти твердження як істинне, оскільки немає прикладів; на відміну від
Деякі люди понад два з половиною метри борються з проблемами хребта.
налаштування буде хибним. Це тлумачення також може характеризуватися тим, що ми не надаємо екзистенціальної ваги універсальним твердженням.
2. Друга можливість полягає в тому, що на додаток до справжніх універсальних установок, крім того, що вони не мають контра-прикладу, вони також потребують позитивного їх прикладу. Усі людські смертні речення можуть бути істинними тоді і тільки тоді, коли частина людського терміна, що не входить до сфери дії смертного терміна, порожня, переріз цих двох термінів не є порожнім. Діаграма Венна:
Тут символ +, намальований у розділі, означає, що цей діапазон не порожній. У цій інтерпретації висновок про високих людей вважається правильним. У цьому випадку ми говоримо, що ми приписуємо екзистенційну вагу універсальним твердженням. Рішення має складні та далекосяжні наслідки.
3. Третя можливість полягає в тому, що ми надаємо екзистенційну вагу не самим універсальним твердженням, а загальним поняттям: ми маємо справу лише з висновками, в яких обсяг цих термінів не є порожнім. Якщо ми приймемо таке тлумачення, навіть загальні заперечення матимуть екзистенційну вагу; правильним буде наступний висновок:
Жодна людина не безпомилкова.
Техбt: Деякі люди не є безпомилковими.
У цьому тлумаченні категоричні твердження не роблять припущень, але передбачають, що обсяг їх термінів не є порожнім. Тому нам навіть не потрібно відображати цю передбачувану інформацію окремо на їх діаграмі Венна; цифри слід розглядати з самого початку як особистість, що належить кожному колу. Діаграма Венна з параметрами буде такою ж, як і в Інтерпретації 1; але прочитайте його, як показано в Інтерпретації 2. Далі кожна діаграма Венна трактується як така, що включає принаймні одну унікальну річ у кожне коло.
Для простоти ми приймаємо варіант 3 нижче: припустимо, що в наших висновках кожен термін включає принаймні одну унікальну річ. 4.3. Однак у сучасній логіці предикатів, обговореній у цій главі, ми відмовляємося від екзистенціальної ваги та приймаємо рішення про варіант 1.
Звернімось до інших трьох типів налаштувань зараз! Жодна людина не призначена смертною, і це правда лише в тому випадку, якщо серед людей немає жодного, хто б також був серед смертних; отже, якщо обсяги людського і смертного термінів не перетинаються, несуміжні множини. Ми також можемо проілюструвати це спостереження діаграмою Венна:
Через екзистенційну вагу, яку приписують цим термінам, установка передбачає, що є люди, а є смертні; отже, два невизначені діапазони не є порожніми.
Встановлення якоїсь людини є смертним лише тоді, коли є ті, хто належить до людей, а також до смертних; тож якщо переріз двох доданків не порожній. Діаграма Венна типу може:
Структура якоїсь людини не є смертною тоді і лише тоді, коли серед людей є людина, яка не належить до смертних; тож якщо частина терміна людина, що виходить за рамки смертного терміна, не порожня. Діаграма Венна: