Два математики показують, що за певних умов рівняння Нав'є-Стокса дають результати, які не мають сенсу.

є-стокса

Рівняння Нав'є-Стокса є надзвичайно практичними, з нескінченними реальними додатками, і походженням однієї з найскладніших і найвідоміших суто математичних задач поки що невідомого рішення [NASA, фрагмент].

Рівняння Нав'є-Стокса фіксують кількома стислими словами одну з найбільш повсюдних особливостей фізичного світу: потік рідин. Рівняння, що відносяться до 1820-х років, сьогодні використовуються для моделювання всього, від океанічних течій до турбулентності внаслідок літака або потоку крові в серці.

Фізики вважають, що це рівняння з надійною бомбозахистом. Натомість математики дивляться на них із підозрою. Для математиків мало що означає, що вони, здається, працюють. Вони хочуть довести свою безпомилковість, що якою б рідиною вона не була, незалежно від того, наскільки далеко прогнозується її потік, математика рівнянь все одно працюватиме. Ця гарантія ухиляється від них. Перший (або перша команда), який покаже, що рівняння Нав'є-Стокса завжди працюють, або наведе приклад, що вони цього не роблять, виграє мільйон доларів, який Інститут математики Клеї пропонує тим, хто це робить, наприклад, один із так звані проблеми семи тисячоліть.

Математики створили багато способів спробувати вирішити проблему. Нова робота, опублікована в Інтернеті у вересні 2017 р., Порушує серйозні питання щодо того, чи зможе досягти успіху основний із цих підходів, який дотримувався з часом. Стаття Трістана Бакмастера та Влада Вікола з Принстонського університету є першим результатом, який виявив, що за певних припущень рівняння Нав'є-Стокса дають невідповідні описи фізичного світу.

Ось якою може бути складна нестабільність при еволюції двох рідин, які рухаються поруч одна з одною з різною швидкістю. Математики хочуть знати, чи завжди рівняння Нав'є-Стокса пропонують еволюцію і лише одну з початкового стану [Марк Сток].

"Ми отримуємо уявлення про проблеми, властиві цим рівнянням, і чому цілком можливо, що їх доведеться переосмислити", - говорить Бакмастер.

Робота Бакмастера та Віколя показує, що коли розв'язки рівнянь Нав'є-Стокса дозволяється щільно намалювати (більше нагадуючи ескіз, ніж фотографію), рівняння починають давати результати, які не мають сенсу: вони кажуть, що те саме рідина, починаючи з однакових стартових умов, може опинитися у двох (або більше) дуже різних станах. Це могло текти так чи інакше зовсім по-іншому. Якщо так, то рівняння не будуть надійно відображати фізичний світ, для якого вони були розроблені.

Рівняння, які вибухають

Щоб побачити, як рівняння можуть зазнати невдачі, давайте спочатку уявимо собі потік океанічної течії. Всередині них може бути безліч струмів, що перетинаються, причому одні частини рухаються в одному напрямку з однією швидкістю, а інші рухаються в інших напрямках з іншими швидкостями. Ці струми, що перетинаються, взаємодіють один з одним у постійно розвивається взаємній грі тертя та тиску води, яка визначає шлях течії потоку.

Математики моделюють цю взаємну гру з картою, яка повідомляє нам напрямок і величину струму в кожному положенні рідини. Ця карта, яку називають векторним полем, є знімком внутрішньої динаміки рідини. Рівняння Нав'є-Стокса роблять цей знімок і повертають його вперед у часі, тому вони повідомляють нам, як буде виглядати це векторне поле в кожен наступний момент.

Рівняння працюють. Вони описують потоки рідини так само надійно, як передбачає Ньютон майбутні положення планет; фізики використовують їх без зупинок, і знову і знову погоджуються з експериментальними результатами. Однак математики хочуть не лише анекдотичного підтвердження: вони хочуть довести, що рівняння є непорушними, що неважливо, з якого векторного поля ви починаєте, і що неважливо, як далеко в майбутньому ви починаєте. рівняння завжди дадуть нам унікальне векторне поле.

Це є предметом відповідної проблеми тисячоліття: вона запитує, чи мають рівняння Нав’є-Стокса рішення (де рішення є по суті векторними полями) для всіх вихідних точок та всіх моментів часу. Ці розчини повинні забезпечувати точний напрямок і величину струму в кожній точці рідини. Рішення, що надають інформацію такої нескінченно великої роздільної здатності, називаються "плавними" або "плавними". Завдяки плавному рішенню кожна точка в полі має відповідний вектор, який дозволяє нам «плавно» рухатися по полю, ніколи не застрягаючи в точці, яка не має вектора, точці, де ми не знаємо, куди рухатися наступний.

Плавні рішення є повним відображенням фізичного світу, але математично кажучи, вони можуть існувати не завжди. Математики, які працюють з рівняннями, такими як Нав'є-Стокс, стурбовані цим типом ситуації: рівняння Нав'є-Стокса приводяться в рух і спостерігається зміна векторного поля, але через скінченний проміжок часу рівняння говорять нам, що частинка рідини рухається нескінченно швидко. Це проблема. Рівняння передбачають вимірювання змін таких властивостей, як тиск, тертя та швидкість руху в рідині (у жаргоні вони беруть "похідні" цих величин), але неможливо отримати похідну нескінченного значення більше, ніж Він ділиться на нуль. Отже, якщо рівняння дають нескінченну величину, ми можемо сказати, що рівняння зазнали невдачі або що вони "вибухнули". Вони більше не описують подальші стани нашої рідини.

Те, що вони вибухають, також є вагомим свідченням того, що в наших рівняннях не вистачає чогось, що відповідає фізичному світу, який вони повинні описати. "Можливо, рівняння не охоплює всіх ефектів реальної рідини, тому що в реальній рідині ми не очікуємо", що частинки можуть колись рухатися з нескінченною швидкістю, говорить Бакмастер.

Щоб вирішити проблему тисячоліття, потрібно показати, що рівняння Нав'є-Стокса ніколи не вибухають і не знаходять обставин, за яких вони відбуваються. Однією із стратегій, якої дотримуються математики, є спочатку зменшити точність, з якою рівняння потрібні для опису реальності.

Від слабкого до м’якого

Коли математики вивчають рівняння, такі як Нав'є-Стокс, вони іноді починають з розширення визначення того, що вважається рішенням. М'які рішення вимагають максимальної інформації: у випадку Нав'є-Стокса вони вимагають, щоб вектор був присутній у кожній точці векторного поля, пов'язаного з рідиною. Але що робити, якщо вимоги послаблюються і встановлюється, що потрібно лише, щоб вектор можна було обчислити для деяких точок, або що цього було достатньо для отримання приблизних векторів? Такі типи рішень називаються «слабкими». Таким чином, математики можуть почати складати уявлення про поведінку рівняння, не проходячи всю роботу з пошуку плавних рішень (що на практиці може бути неможливим).

"З певної точки зору, слабкі рішення навіть простіше описати, ніж істинні рішення, тому що ви повинні знати набагато менше", - говорить Камілло Де Лелліс, співавтор Ласло Секеліхіді з кількох важливих статей, які заклали основу для роботи Бакмастера. і Віколь.

Існують градації слабкості слабких рішень. Якщо плавне рішення розглядати як математичне зображення рідини з нескінченно великою роздільною здатністю, тоді слабкі рішення будуть схожими на 32, 16 або 8-бітову версію цього зображення (залежно від того, наскільки слабким вони можуть бути).

У 1934 році французький математик Жан Лерей визначив важливий клас слабких рішень. Замість того, щоб працювати з точними векторами, "розв'язки Лере" приймають середнє значення векторів у малих околицях усередині векторного поля. Лерей довів, що завжди можна розв’язати рівняння Нав’є-Стокса, коли рішенням можна надати саме ту форму. Іншими словами, рішення Leray ніколи не вибухають.

Досягнення Лере встановило новий підхід до проблеми Нав'є-Стокса: почніть з рішень Лерея, які, як відомо, завжди існують, і подивіться, чи можете ви перетворити їх на м'які рішення, які ви хочете довести, що існують завжди. Це процес, подібний до того, як почати з грубого зображення і побачити, чи зможете ви точно відрегулювати роздільну здатність і отримати ідеальне зображення чогось реального.

"Однією з можливих стратегій було б показати, що ці слабкі рішення Leray є м'якими, і якщо ви покажете їх м'якими, ви вирішили проблему тисячоліття", - говорить Бакмастер.

Є ще один улов. Рішення рівнянь Нав'є-Стокса відповідають реальним фізичним подіям, і фізичні події відбуваються одним і єдиним чином. Оскільки це так, ви хочете, щоб рівняння мали єдиний набір рішень. Якщо рівняння дають кілька можливих рішень, вони не вдаються.

З цієї причини математики зможуть використовувати рішення Лере для вирішення проблеми тисячоліття лише за умови, що рішення Лере є унікальними. Те, що рішення Лере не були унікальними, означало б, що, згідно з правилами Нав'є-Стокса, абсолютно однакова рідина з абсолютно однаковими умовами початку могла потрапити у два різні фізичні стани, що не має фізичного сенсу і що з цього випливає, що роблять рівняння насправді не описувати те, що вони повинні описувати.

Новий результат від Бакмастера та Віколя перший вказує на те, що для певних слабких визначень рішень саме це може статися.

У новій статті Бакмастер та Вікол взяли до уваги рішення, навіть слабкіші, ніж у Лерея: вони базуються на тому ж принципі усереднення, що і у Лерея, але вони послаблюють додаткову вимогу (так звану енергетичну нерівність). Вони використовують метод, відомий як опукла інтеграція, який бере свій початок у роботі з геометрії математика Джона Неша і який Де Лелліс та Секелігіді нещодавно привели до дослідження рідин.

Використовуючи цей підхід, Бакмастер та Вікол показують, що ці дуже слабкі рішення рівнянь Нав'є-Стокса не є унікальними. Вони показують, наприклад, що якщо почати з абсолютно спокійної рідини, наприклад, склянки води, спокійно розташованої поруч із ліжком, можливі дві ситуації. Перший - очевидний: вода починається спокійною, а спокій триває вічно. Другий - фантастичний, але математично допустимий: вода починається спокійною, вивергається посеред ночі і повертається до спокою.

"Це свідчить про відсутність унікальності, оскільки принаймні два об'єкти можуть бути побудовані з початкових нульових даних", - говорить Нікол.

Бакмастер і Вікол демонструють існування багатьох не унікальних слабких рішень (не лише двох, описаних вище) рівнянь Нав'є-Стокса. Актуальність цього результату ще належить з'ясувати. У певний момент слабкі рішення можуть стати настільки слабкими, що вони вже не справді стосуються більш м’яких рішень, які вони хочуть наслідувати. Якщо так, результат Бакмастера та Віколя може не зайти дуже далеко.

'Його результат, безумовно, є попередженням, але можна стверджувати, що це попередження щодо слабшого поняття слабкого рішення. Є багато шарів [більш сильних рішень], в яких все-таки можна очікувати набагато кращих показників ”рівнянь Нав’є-Стокса, говорить Де Ллеліс.

Бакмастер і Віколь також мислять у верствах і зосередились на рішеннях Лерея, доводячи, що вони теж дозволяють фізику багато траєкторій, в якій одна і та ж рідина може приймати з одного і того ж положення в більш ніж одній майбутній формі.

“Ми з Трістаном вважаємо, що рішення Лере не є унікальними. Ми цього ще не показали, але наша робота закладає основи того, як можна вирішити проблему », - говорить Вікол.

Кевін Хартнет/Журнал «Кванта»