Відображення та передача хвиль у струнах
теоретичне обгрунтування
Я. ВСТУП
II. ТЕОРЕТИЧНИЙ ФОНД
Почнемо з написання гармонічного розчину падаючої хвилі в середовищі 1:
;
де його амплітуда і
· Досягнувши точки з'єднання між двома струнами (x = 0), частина зазначеної хвилі буде відбита на середовище 1, а частина хвилі буде передана на середовище 2. Вираз цих хвиль буде:
де
· Граничні умови при об’єднанні (x = 0) дозволяють знайти співвідношення y .
Дві граничні умови, яким слід дотримуватися в точці стику, очевидні (x = 0).
а оскільки хвиля в середині 1 - це сума падаючого та відбитого,
З іншого боку, вертикальні сили, що діють від кожної хорди на точку з'єднання, повинні бути рівними і протилежними, оскільки, інакше диференціальний елемент маси у згаданому контакті набуває нескінченного прискорення.
Як ми можемо записати останнє рівняння як,
Ми можемо записати такі коефіцієнти як функцію різних змінних:
де і - характерні механічні імпеданси обох струн.
II.b. Відображення та передача імпульсів
· Математичний вираз для довільного імпульсу або форми хвилі є більш складним, ніж для випадку гармонічних хвиль, які, строго кажучи, вимагають нескінченного розширення. Рішення (за методом Д'Аламбера) для хвильового рівняння в одному вимірі виявляється довільною функцією f (x - ct), якщо врахувати зміщення вправо.
· Відбиті та передані збурення також можна поставити як довільні функції у відповідних змінних:
Прикордонні умови залишаються аналогічними:
· Інтегрування останнього рівняння приводить нас до:
Вирішуючи (1) та (3), отримуємо:
· Можна вважати, що знайдені зв'язки є дійсними лише в позиції x = 0. Це знайдений результат, але також вірно, що такі зв'язки є дійсними також при x = 0 для всіх моментів часу, коли частота імпульсів відбувається. Отже, співвідношення, яке відбиті та передані імпульси перевіряють (щодо інциденту) в мить для x = 0, буде перевірено пізніше для нових позицій, які вони займають у відповідних середовищах (середнє значення 1 для відбитого та середнього 2 для переданих), відповідно до їх швидкості поширення.
Таким чином, після надходження падаючого імпульсу до точки, що відокремлює середовище, величина зміщення відбитої хвилі в точці x = - c буде такою величиною, яку прийняв би інцидент, якби він продовжував свій шлях посередині, за коефіцієнтом, знайденим у рівнянні (4)
· Те саме міркування можна застосувати до переданої хвилі, але маючи на увазі, що в середовищі 2 швидкість поширення дорівнює C2, отже, для переданої хвилі. Безумовно: