Щоб визначити рівняння еліпса, почнемо з визначення еліпса!
Визначення:
Еліпс - це сума (геометричне положення) точок P на площині, які є сумою їх відстаней (напрямних радіусів r1 та r2) від двох заданих точок площини, фокусних точок F1 та F2) (2а). Ця відстань повинна бути більшою, ніж дві фокусні точки (2в).
На прикладеному малюнку ODB, що вписує теорему Піфагора у прямокутний трикутник: c 2 = a 2 -b 2 .
Розмістіть еліпс у системі координат так, щоб a 2а головною віссю довжини є "x", a 2б а його мала вісь падає на вісь "y". Тоді центром еліпса є початок координат, а координатами його фокусних точок є: F1 (-c; 0) і F2 (c; 0).
Для рівняння еліпса запишіть еліпс довільно P (x; y) відстань від двох фокусних точок. Згідно з визначенням еліпса, сума цих двох відстаней є постійною (2а) це повинно бути. З цього ми отримаємо рівняння еліпса.
Заява:
Центральне рівняння для точок P (x; y) еліпса, розміщених, як зазначено вище: \ (\ frac + \ frac = 1 \).
Доказ:
1. Відстань точки P (x; y) від точки фокусування F1 (-c; 0): d (P; F1):
Тут ми використовуємо вивчений взаємозв'язок для відстані між двома точками:
2. Відстань точки P (x; y) від точки фокусування F2 (c; 0): d (P; F2):
Сума двох відстаней дає рівняння еліпса:
Звичайно, це ще потрібно переробити, щоб отримати формулу в твердженні теореми!
Перегрупувати!
Зробіть квадрат обома сторонами!
Віднімаємо з обох сторін y 2 -т!
Розкрийте дужки!
Відніміть від рівняння відповідні доданки (x 2, c 2) по обидві сторони рівняння!
Додайте 2xc до кожної сторони рівняння!
Перегрупуйте і розділіть обидві сторони на 4!
Давайте квадрат!
Розкрийте дужки!
Відніміть від рівняння відповідні доданки (2a 2 xc) по обидві сторони рівняння!
Перегрупувати!
Виділіть x 2 ліворуч і 2 праворуч!
Використовуючи це a 2 -c 2 = b 2:
Поділіть обидві сторони рівняння на 2 b 2. (що не може бути нулем):
І це потрібно було довести.
Завдання:
Рівняння еліпса дорівнює \ (\ frac + \ frac = 1 \). Яка довжина напрямних радіусів належить точкам еліпса, які мають таку ж абсцису, що і фокусні точки?
(Короткий збірник завдань 3435. завдання.)
Рішення:
З наведеного рівняння a 2 = 25 і b 2 = 16 випливає, що половина довжини головної осі еліпса a = 5 Таким чином, довжина головної осі дорівнює 2a = 10, половина довжини малої осі: b = 4.
Використовуючи c 2 = відношення 2 -b 2 c = 3, 2c = 6 виходить. Це означає, що координати фокусних точок, точок фокусування F1 і F2: F1 (-3; 0), і F2 (3; 0).
Якщо ми проведемо паралельні точки з віссю у через точки фокусування, ми отримаємо точки, які мають однакову абсцису, що і точки фокусування (P1, P2, P3, P4).
Підставивши абсцису точок фокусування (a 3) на x у рівнянні еліпса, координати y можна обчислити з отриманого рівняння. З рівняння \ (\ frac + \ frac = 1 \) y1 = 3,2 і y2 = -3,2 виникає.
Значення направляючого радіуса r1 в цьому випадку дорівнює абсолютному значенню координати y отриманих точок, тому r1 = 3,2.
Оскільки довжина головної осі еліпса дорівнює сумі двох напрямних радіусів, то: r1 + r2 = 10. Звідси випливає, що значення іншого радіуса напряму в цьому випадку дорівнює: r2 = 6,8.
Коментарі закриті, але трекбеки та пінгбеки відкриті.
- Математики
- Стародавні математики
- Середньовічні математики
- Сучасні математики
- Методи мислення
- Набори
- Математична логіка
- Комбінаторика
- Графіки
- Алгебра
- Теорія чисел
- Набори чисел
- Ступінь, корінь, логарифм
- Алгебраїчні вирази
- Пропорційність, пропорційність
- Рівняння, нерівності, засоби
- Функції
- Елементарні функції та їх властивості
- Серія
- Диференціальний розрахунок
- Інтегральний розрахунок
- Геометрія
- Основні геометричні поняття
- Геометричні перетворення
- Трикутники
- Прямокутники
- Багатокутники
- Захворювання
- Вектори
- Тригонометрія
- Геометрія координат
- Топологія
- Просторова геометрія
- Статистика
- Теорія ймовірностей
- Про математику
- Помітні математичні завдання
- Математичні курйози