Дисертація вчителя Що і як учень 9 класу середньої школи дізнається про функції? Автор: Bogye Tamara Студент магістратури, історія математики Науковий керівник: Ева Вашарелі, керівник центру Доцент ELTE TTK Центр викладання та методики математики Eötvös Loránd University Будапешт, 2014.

Набір завдань

Зміст Вступ. 3 1. Функції в навчальних програмах. 5 1.1. Національна основна навчальна програма. 5 1.1.1. Математика як область грамотності в NAT. 7 1.1.2. Завдання розвитку в галузі математичної освіти. 8 1.1.3. Функції NAT. 9 1.2. Рамкові навчальні програми. 11 1.2.1. Функції в 9 класі рамкової навчальної програми гімназії. 12 1.3. Місцева навчальна програма. 16 1.4. Навчальна програма. 18 2. Роль функцій у випускному. 19 2.1. Дворівневий випускний. 19 2.2. Середній випускний. 20 2.2.1. Функції на середньому рівні. 20 2.3. Поглиблений рівень випускного. 22 3. Тема функцій деяких підручників, що перебувають в обігу. 24 3.1. Впровадження системи координат. 25 3.2. Введення та обговорення поняття функцій. 27 3.3. Лінійні функції. 30 3.4. Це функція прямої та зворотної пропорційності. 32 3.5. Абсолютне значення, квадратна і квадратна коренева функції. 34 3.6. Властивості функції. 37 3.7. Перетворення функції. 37 3.8. Додатковий навчальний план із цілими, дробовими, знаковими та додатковими функціями. 37 3.9. Резюме. 38 4. Банк завдань. 40 5. Програма побудови графіків функцій. 51 6. Підсумок. 53 7. Подяки. 54 Список літератури. 55 Додатки. 57 2

Функції є частиною навчальної програми, інструментом для різних професій. Математика - це своєрідний спосіб мислення та творчої діяльності, і як такий джерело радості мислення, демонстрація порядку та естетики. Як пріоритетний напрямок розвитку математичної грамотності, NAT визначає розвиток звукової рахування та навичок спілкування як пріоритет. Під час процесу вивчення математики учні в основному повинні вміти обирати та застосовувати моделі, методи, способи мислення та описи, що відповідають даному явищу. Викладання математики також служить для розвитку кількох ключових компетентностей, а отримані знання можна ефективно використовувати в різних сферах життя. 1.1.2. Завдання розвитку в галузі математичної грамотності Magyar Közlöny № 66 Page 55 8

Функції навчальних програм 9 для 12 класів: 4. Функції, елементи аналізу 4.1. Серія Серія: арифметичні та геометричні ряди. Відсотки, інвестиції та кредит. 4.2. Визначення та представлення функцій Ілюстративне поняття функції. Визначення та представлення функції в системі координат. Лінійна та квадратна функції, обернена пропорційність. Експоненціальна, логарифмічна, тригонометрична основні функції. 4.3. Уявлення про перетворення функцій. 4.4. Характеристика функцій Зчитування набору значень, нульової точки, крайнього значення, монотонності, періодичності з графіка. З цього переліку зрозуміло, з якими знаннями могли зіткнутися учні до 9 класу на тему функцій, і що ще є завданням середньої школи. Однак NAT не детально описує, в якому класі, який детальний зміст та вимоги, це зроблено в Рамкових навчальних програмах. 10

Функції навчальних програм Використовуйте комп’ютер для візуалізації лінійного процесу. Функція абсолютного значення. Графік та властивості функції x ax b (a 0). Функція квадратного кореня. Графік та властивості функції x x (x 0). Функція оберненої пропорційності. графік та властивості x x (ax 0). Використання функцій. Графічне рішення рівняння, система рівнянь. Згадайте знання (властивості функції). Згадайте знання (властивості функції). Згадайте знання (властивості функції). Створення функціональної моделі реальних процесів. Аналіз процесу шляхом вивчення функції, порівняння результату з реальністю. Вивчення обґрунтованості моделі. Використання комп’ютера (наприклад, програми для малювання функцій). Спільна увага; наступні два або більше аспекти одночасно. Розв’язання заданої задачі двома різними способами. Порівняння алгебраїчних та графічних методів. Фізика: Час рельєфу математичного маятника. Фізика: ідеальний газ, ізотерма. Інформатика: використання програм моделювання предметів. Фізика: кінематика. Інформатика: використання програм моделювання предметів. Фізика; хімія; біологічна наука про здоров’я; географія: обчислювальні завдання. 14

Роль функцій у градації. Якщо це так, то задане питання очікує певного знання знань, визнання зв’язків кількох понять і теорем та свідомого застосування багатоступеневої послідовності логічних кроків. Отже, вони представлені в Додатку лише на рівні переліку. 23

Банк завдань а) б) На цьому прикладі ми можемо практикувати визначення функції або використовувати її для перевірки знань. III. Чи існує лінійна функція, графік якої паралельний осі -t? Обґрунтуйте свою відповідь! Це питання також просте, його рішення базується на точному визначенні функції. 41

Банк завдань XII. а) Використовуйте малюнок вище, щоб вирішити, яке з наступних завдань є яйцем чебрецю, і запишіть його у відповідному місці. Вибирайте функцію з не огіркових яєць вільно. Підкресліть призначення обраної функції пером. Складіть свій графік! Тоді визначте його інтервал інтерпретації, набір значень, нульове положення, можливе крайнє значення, монотонність! Яйце зозулі: б) Напишіть правило призначення для кожної функції на основі графіків на малюнку. Тут я б використав це завдання для відпрацювання, систематизації та контролю властивостей функцій та перетворень функцій. Частина а) студент отримує якусь свободу завдяки можливості вибрати, яку функцію він хотів би охарактеризувати, і хотів би представити його графік. Я передбачав, що це буде більш грайливе завдання, оскільки в книгах сімей підручників є безліч прикладів, заснованих на подібних знаннях. 46

Банк завдань XIII. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Заповніть ТОТО нижче! Нахил функції f (x) = 1-2x: Графік функції на осі y Графік функції Графік функції на графіку функції Вісь функції Графік функції проходить через наступну точку Нулем функції є Графік лінійної функції паралельний з графіком наступної функції 1 2 X Точка точки Точка точка перетинається перетинає перетинає перетинає вгору відкрита відкрита гіпербола парабола парабола є 1 зміщена на 1 зміщена на 1 зміщена вісь осі вздовж осі вздовж позитивного діапазону від'ємне позитивне Діапазон напрямку Діапазон Напрямок Діапазон Суворо Строго Монотонний Монотон зменшується зі зростанням обох. - ви. -ви. 47

Банк завдань Між 10-ю грошима на нашому банківському рахунку та сумою відсотків за неї Рішення рівняння 11 - це 12-е зображення непарних функцій A симетрично відносно координатної площини Нахил постійної 13-ї функції дорівнює 13 + 1. Дві функції рівні, якщо існує пряма пропорційність. існує обернена пропорційність. 0 1 інтерпретація їх діапазону готовності до вартості однакова. матч. Жоден з них. обидва. вісь. інтервал їх інтерпретації однаковий, і дві функції присвоюють однакове значення кожному елементу. TOTÓ просить знання основних понять в ігровій формі. Це може бути добре, якщо організувати міні-конкурс за допомогою учнів. Думаю, це завдання можна було б використати на підсумковому уроці, оскільки в ньому є запитання щодо всієї теми. XIV. Давид залишив свою машину на стоянці торгового центру в Будапешті, поки він робив покупки. Перші 2 години паркування в підземному гаражі безкоштовні на день. Потім, через 2 години, плата за кожну розпочату годину становить 200 форинтів, але максимальна щоденна плата може становити лише 1600 форинтів. а) Скільки хвилин Давид припаркувався, якщо заплатив 800 форинтів охороні паркування? б) На якому графіку правильно відображається сума, яку потрібно сплатити, як функція годин, витрачених на паркування? 48

Банк завдань 1. 2. Завдання базується на правильному моделюванні повсякденного прикладу і пов’язане з темою крокових функцій. XV. На жаль, на домашньому аналоговому настінному годиннику зламалася секундна стрілка. Тож тепер лише покажчик показує цілі хвилини. Покажчик завжди стрибає вперед на одну хвилину. а) Побудуйте графік положення вказівника як функції пройденого часу! На яку відому функцію нагадує цей графік? 49

Банк завдань б) Якби ми побудували графік часу, що минув, як функції від положення вказівника, яку б ми отримали функцію? Останнє завдання також може бути пов’язане із знаннями, пов’язаними з кроковими функціями. Тут також робиться акцент на правильному моделюванні. Студентам важливо зрозуміти, що означає будувати графік минулого часу як функцію положення вказівника. Крім того, питання в частині б) може спричинити проблеми, оскільки, замислюючись над цим, ми не отримуємо функції. Для відповіді на це також важливо знати точне визначення функції. 50

Підсумок 6. Підсумок У своєму дослідженні я намагався пройти процес проектування роботи вчителя через функціональні знання 9 класу гімназій. Крім того, показати практичну, реальну, веселу сторону математики. Завдяки завданням, які можуть викликати інтерес учнів. І нарешті, покласти мобільний додаток в руки як учнів, так і студентів або навіть тих, хто зацікавлений, який можна дістати з кишені в будь-який час і в будь-якому місці. 53

Подяка 7. Подяка Я хотів би подякувати своєму керівнику Еві Васарелій за те, що він подбав про тему, яку я передбачав, і допомогла мені підготувати своє дослідження до самого кінця. Я також хотів би подякувати моєму братові Балазу Бодьє, без якого я б точно загубив у лабіринтах Затьмарення. Я також вдячний своїй сестрі Емесе Біанка Карай, яка була моєю духовною підтримкою навіть в останні хвилини робочого процесу. А також подяка іншим членам моєї родини, моїм друзям та моїм студентам, які весь час стояли поруч зі мною. 54

Бібліографія Бібліографія 110/2012. (VI. 4.) Декрет уряду: Про видачу, запровадження та застосування Національної базової навчальної програми 51/2012. (XII. 21.) про порядок видачі та затвердження рамкових навчальних планів Указ № 51/2012 про порядок видачі та затвердження рамкових навчальних планів. (XII. 21.) Додатки 3 і 6 Габор Абрагам - доктор Ержебет Коштоланіні Надь - Джуліанна Тот: Математика 9. Повсякденна наука, Максим Конівкіадо Кфт., Сегед, 2013. Габор Абрагам - Доктор Коштоланіне Наґян Ерцшебет 9. Додаткова навчальна програма Повсякденна наука, Максим Конівкіадо Kft., Сегед, 2013. Андраш Амбрус: Будапешт, 1995. Вступ до дидактики математики, видавець ELTE Eötvös, Амбрус Габріелла - Каталін Мюнкачі - Ева Сезереді - Ева Шерхеймелає Математика., Навчально-методичний центр математики, 2013. Міністр людських ресурсів 34/2014. (IV. 29.) Декрет EMMI про внесення змін до деяких указів міністрів, що регулюють державну освіту

Бібліографія Каталін Горвей - Лоран Палмай: Видавництво підручників, Будапешт, 1978 р. Математика для 1 класу гімназії, Йозеф Коштоланьї - Іштван Ковач - Клара Пінтер - д-р. Янош Урбан - Іштван Вінче: Різнокольорова МАТЕМАТИКА 9-ий підручник, Mozaik Kiadó Kft, Szeged, 2013. Józsefné Pálfalvi dr. Саролта Чеку: Математика в дидактичному плані, Видавництво Typotex, 2012. Йозеф Пеллер - Ласло Медьєсі: Елементарний аналіз функцій/векторний простір www.magyarkozlony.hu/ http://www.oktatas.hu/ http://www.ofi.hu/56

Додатки Додатки Додаток I A) 2014-2005. Проміжні весняні випускні математичні завдання за категоріями. Більшість завдань не можна пов’язати з одним типом, тому кожен приклад може зустрічатися в декількох категоріях. 1. Представлення 1.1 Серія завдань весна 2010 р. II. Частина 57

Додатки 1.2 Весняна 2009 р. Робоча група II. Частина 1.3 Цільова група весни 2005 року Частина I 58

Додатки 2. Правило призначення 2.1 Набір завдань весни 2014 р. Частина I 2.2 Набір завдань весни 2014 р. Частина I 59

Додатки 2.3 Цільова група весни 2013 р. Частина I 2.4 Цільова група весни 2009 р. II. Частина 60

Додатки 2.5 Цільова група весни 2005 р. Частина I 61

Додатки 3. Значення функції набору значень діапазону інтерпретацій 3.1 Набір завдань весни 2010 р. II. Частина 62

Додатки 3.2 Цільова група весни 2007 р. Частина I 3.3 Цільова група весни 2007 р. Частина I 63

Додатки 3.4 Цільова група весни 2007 р. Частина I 3.5 Цільова група весни 2005 р. I 64

Додатки 4. Властивості функції 4.1 Набір завдань Spring 2013 Частина I 4.2 Набір завдань Spring 2013 Частина I 65

Додатки 4.3 Цільова група весни 2012 р. Частина I 4.4 Цільова група весни 2010 р. II. Частина 66

Додатки 4.5 Весняна 2009 р. Робоча група II. Частина 4.6 Цільова група весни 2008 року Частина I 67

Додатки 4.7 Цільова група весни 2007 р. Частина I 4.8 Цільова група весни 2007 р. Частина I 68

Додатки 4.9 Цільова група весни 2006 р. Частина I 69

Додатки 5. Трансформації 5.1 Весняна 2014 р., Робоча група, частина I 70

Додатки 5.2 Цільова група весни 2013 р. Частина I 5.3 Цільова група весни 2010 р. II. Частина 71

Додатки 5.4 Цільова група II весни 2009 р. Частина 5.5 Цільова група весни 2005 р. Частина I 72

Додатки 6. Рішення рівняння/нерівності графічно 6.1 Набір завдань весни 2009 р. II. Частина 73

Додатки 7. Інтерпретація графіків 7.1 Набір завдань весни 2014 р. Частина I 7.2 Набір завдань весни 2013 р. Частина I 74

Додатки 7.3 Цільова група весни 2007 р. Частина I 7.4 Цільова група весни 2006 р. Частина I 75

Додатки 7.5 Весняна робоча група 2005 р. Частина I 76

Додатки Б) 2014-2005. вдосконалені весняні випускні математичні завдання. 1. Весняний цикл завдань 2014 р. У завданні властивості функції представлені насамперед із теми, яку я розглядав. 77

Додатки 2. Набір завдань весни 2012 р. У наведеному нижче прикладі поняття, згадані вже у 9 класі, представлені переважно у зв’язку з похідною функції. Видно, що в частині б) вона простіша, вимагає знання поняття нуль. 3. Серія завдань навесні 2011 р. У цій серії завдань завдання 7 є типом реального моделювання, де сума витрат залежно від кількості штук також повинна бути записана як функція від кількості штук. У частині б) очікуваним рішенням є пошук мінімуму за допомогою диференціального числення. 78

Додатки 4. Набір завдань весни 2010 р. Наступні два завдання виходять за рамки навчальної програми 9 класу, але включають поняття, які вже з’являються у 9 у зв’язку з функціями (нуль, набір значень). 79

Додатки 5. Серія завдань весни 2009 р. На додаток до інтеграції, наступне завдання також призначене для вимірювання того, чи може кандидат представляти функцію чи інтерпретувати графік на основі даної формули розгалуження. Наступна задача, головним чином підзадача б), містить рівняння, які можна вирішити графічно за допомогою функцій. 80

Додатки 6. Набір завдань весни 2008 р. Наступне завдання також вимагає знань 9 класу, пов’язаних із функціями. 7. Набір завдань весни 2007 р. У частині а) наступного завдання кандидат повинен нанести квадратичну функцію. Приклад - у першій частині. 81

Додатки Наступне завдання вимірює здатність учнів представляти функції. Крім того, приклад призначений для вимірювання здатності учнів інтерпретувати графіки. З них з’являються концепції 9 класу, чи ми думаємо про тип функції, мінімум чи монотонність. 8. Набір завдань весни 2006 р. Далі наведено простий, легший приклад, заснований на концепціях. 82

Додатки У наступному прикладі ви повинні використовувати перетворення функцій для представлення зазначеної функції. 9. Набір завдань весни 2005 р. У випадку наступного завдання видно, що визначення набору значень функції з’являється знову. Крім того, він призначений для вимірювання здатності кандидата представляти дану функцію. 83

Додатки 10. Наступний приклад значною мірою спирається на концепцію нуля. Останнє завдання - це також проблема реального моделювання. Площа прямокутника повинна бути записана за допомогою функції, а потім потрібно виконати обчислення екстремальних значень. 84