Підготував: Ing. Рената Двончова
Спочатку визначимось, що таке коло.
У геометричних конструкціях із використанням лінійки та циркуля, крім прямої, найбільше значення має коло, яке можна визначити наступним чином:
Коло - множина всіх точок площини, що мають від цієї точки З tejtoroviny (центр кола) однакова відстань (рис.1). Називається пряма, одна точка якої є центром кола S, а інша довільна точка кола радіус кола - вказуємо мала літера його р.
Будь-яка пряма, кінцевими точками якої є дві різні точки кола, називається хордою кола. Рядок, який проходить через центр кола, називається діаметром кола і позначати його малими літерами d і виконується: 2r = d.
Наступна формула застосовується до довжини кола радіуса r:
Де r - радіус кола
- Число Людольфа, значення якого становить приблизно 3141 59
Сукупність усіх точок на площині для їх відстані в від центру заданого кола плотера р стосується:
в r ми називаємо зовнішнє коло
Рівняння кола:
Для аналітичного виразу кола ми можемо вивести такі речення:
V.1. Коло з центром у початку координат (S = O) і радіусом r має рівняння, яке називається за центральним рівнянням кола:
V.2. Коло з центром S (m, n) і радіусом r має рівняння у вигляді:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r 2
Ми також називаємо цю форму рівняння кола центральна форма рівняння кола.
а) Рівняння кожного кола можна виразити в загальному вигляді:
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
б) Зворотна теорема не застосовується, оскільки кожне рівняння цієї форми не повинно бути рівнянням кола. Це може бути лише в тому випадку, якщо рівняння можна перетворити у форму, подану в реченні 2.
Стан: A 2 + B 2> 4C
Напишіть рівняння кола, що має центр у початку координат і проходить через точку М
Оскільки M ≠ 0, шукане коло існує, і його рівняння має вигляд x 2 + y 2 = r 2 .
Точка M лежить на ній, тому її координати x = 2, y = - 3 задовольняють рівняння, тому виконується наступне:
Рівняння кола, яке ви шукаєте, матиме вигляд:
Рішення:
Оскільки A S, коло, яке ви шукаєте, насправді існує.
Підставимо в центральну форму координати центру: m = - 4; n = 5, то отримаємо таке рівняння:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = r 2 Знак + обумовлений тим, що
Ми маємо визначити його радіус = р. Точка A лежить на цьому колі, тому її координати x = 6;
y = 1 задовольняють рівняння, i. стосується:
(6 + 4) 2 + (1 - 5) 2 = r 2
відрегулюйте: 10 2 + (- 4) 2 = r 2
116 = r 2 r =
Рівняння кола задовольняє умовам нашої задачі, тому ми можемо представити його у середньому вигляді наступним чином:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = 116
ми можемо перетворити це рівняння в загальний вигляд, використовуючи формули:
(a + b) 2 = a 2 + 2.a.b + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2.a.b + b 2
x 2 + y 2 + 8x - 10y - 75 = 0
Доведіть, що рівняння х 2 + р 2 + 6x - 8y + 21 = 0 - це рівняння
коло, визначте його радіус і центр:
Якщо є коло k (S, r), яке ми маємо, то воно має рівняння:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r 2
ми приходимо до цього рівняння, модифікуючи дане рівняння у загальний вигляд таким чином:
x 2 + 6x + y 2 - 8y = - 21
члени з невідомими x та y додаються до квадрата, тоді як ті самі
ми також додаємо значення до іншої сторони рівняння:
x 2 + 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = - 21+ 9 +16
пристосуйте до формули
(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 4
З отриманого центрального рівняння кола визначимо тепер центр кола a
m = - 3; n = 4; S (-3,4); r = = 2
Напишіть рівняння кола, що проходить через точки:
Якщо є коло пошуку, то воно має рівняння:
x 2 + y 2 + Mx + Ny + L = 0
Припустимо, що точка A лежить на колі, тому підставляємо координати x, y у рівняння.
Те саме стосується і точок B і C. Отримуємо такі рівняння:
Підставляємо координати точки А:
7 2 + 3 2 + M.7 + N.3 + L = 0
49 + 9 + 7M + 3N + L = 0
58 + 7M + 3N + L = 0
Підставляємо координати точки В:
(- 2) 2 + 6 2 - 2M + 6N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
Підставляємо координати точки С:
5 2 + (- 1) 2 + 5.M - 1.N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
Ми записуємо отримані рівняння один під одним і отримуємо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими:
58 + 7M + 3N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
Рішення цієї системи рівнянь дає нам таке: M = - 4; N = - 6; L = - 12
Дані три точки визначають коло щодо цього рівняння:
x 2 + y 2 - 4x - 6y - 12 = 0
після пристосування до центральної форми:
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25
1./Напишіть рівняння кола, що має центр у точці S (-2,4) і проходить через точку A (1,5)
2./Визначте центр і радіус кола, задані рівнянням: x 2 + y 2 - 10x + 10y - 20 = 0
3./Напишіть рівняння кола, що проходить через точки:
Список літератури: Огляд математики середньої школи