Уявіть, що ви повертаєтесь додому з Сан-Франциско, свіжий з конференції RSA. Ви розпаковуєте, ви відкриваєте шухляду комода, де зберігаєте нижню білизну, і що ви виявляєте? Шматок нижньої білизни, який вам не належить! Логічно ви запитаєте себе: яка ймовірність того, що ваш партнер зраджує вам?Теорема Байєса на допомогу!

майбутнє

Концепція теореми Байєса напрочуд проста:

Коли ви оновлюєте своє початкове переконання новою інформацією, ви отримуєте нове вдосконалене переконання.

Ми могли б висловити цю концепцію, майже філософську, за допомогою математики прогулянок по будинку наступним чином:

Нові та вдосконалені переконання = Початкові переконання x Нові об'єктивні дані

Висновок Байєса нагадує вам, що нові докази змусять вас переглянути свої старі вірування. Математики не поспішали призначати терміни кожному елементу цього методу міркування:

  • Апріорі - це ймовірність початкового переконання.
  • Ймовірність - це ймовірність нової гіпотези, заснованої на останніх об’єктивних даних.
  • Апостеріор - це ймовірність нового переглянутого переконання.

Звичайно, якщо застосувати висновок кілька разів поспіль, нова апріорна ймовірність прийме значення старої апостеріорної ймовірності. Давайте подивимось, як працює висновок Байєса, на простому прикладі, взятому з книги «Інвестиції: останнє ліберальне мистецтво».

Баєсів висновок у дії

Щойно ми закінчили кілька ігор настільної гри в кістки. Поки ми кладемо матеріал у коробку, я кидаю кубик і накриваю його рукою. «Наскільки ймовірно, що він отримав 6?» - запитую я вас. "Це легко", відповідаєте ви, "ймовірність становить 1/6".

Я заглядаю під руку і відкриваю вам: «Це парне число. Яка ймовірність того, що він залишається 6? Тепер ви оновите свою стару гіпотезу завдяки новій інформації, так що ви відповісте, що ймовірність стає 1/3. Підвищився.

Тоді я відкриваю вам ще більше: «І це не 4». Яка ймовірність 6 зараз? Ще раз вам потрібно оновити останню гіпотезу новою інформацією, і ви прийдете до висновку, що нова ймовірність становить 1/2. Вона знову зросла. ! Вітаю ! Ви щойно зробили аналіз байєсівського висновку! Кожні нові цільові дані змусили вас переглянути свою початкову ймовірність.

Давайте проаналізуємо, озброївшись цією формулою, передбачувану невірність вашого партнера.

Як застосувати байєсівський висновок, щоб з’ясувати, чи ваш партнер зраджує вам

Повернемося до запитання на початку: Ваш партнер зраджує вам? Доказом є те, що ви знайшли дивну білизну у своїй шухлядці (RI); гіпотеза, що ви зацікавлені в оцінці, - це ймовірність того, що ваш партнер зраджує вам (E). Теорема Байєса може пояснити цю підозру, до тих пір, поки ви знаєте (або готові оцінити) три величини:

Припускаючи хорошу роботу в оцінці цих значень, залишається лише застосувати теорему Байєса для встановлення задньої ймовірності. Для полегшення обчислень припустимо групу з 1000 пар, зображену як великий зелений прямокутник на наступному зображенні. Неважко зрозуміти, що якщо 40 з 1000 осіб обманюють свого партнера, і якщо з них половина забуде нижню білизну свого коханого в шухляді свого партнера, 20 людей забудуть нижню білизну (група 4). З іншого боку, з 960 з кожних 1000 людей, які не обманюють свого партнера, 5% також помилково залишили нижню білизну в шухляді свого партнера, або, що є тим самим, 48 людей (група 2). Додавши обидві суми, виходить, що 68 таємничих нижньої білизни виявилися розкиданими по шухлядах пар (група 2 + група 4).

Тож якщо ви знайдете підозрілу нижню білизну у своїй шухляді, Яка ймовірність того, що ваш партнер зраджує вам? Це буде пропорція між одягом, знайденим, коли пари невірні (4), поділена на загальну кількість знайденого одягу, як для пар, які обманюють, так і не (2 + 4). Без будь-яких обчислень очевидно, що дивний одяг швидше за все вірний партнер, ніж невірний. Насправді точне значення задньої ймовірності: Pr (E | RI) = 20/68 ≈ 29%.

Ми також можемо математично зібрати пропорції зображення попередньої фігури у відомому рівнянні Байєса:

Підставляючи відповідні числові значення, ми ще раз приходимо до ймовірності того, що ваш партнер зраджує вам: лише 29%! Як ви отримуєте цей дивно низький результат? Тому що ви виходили з низької апріорної ймовірності (базової ставки) невірності. Хоча його пояснення того, як цей одяг міг дістатись до вашої шухляди, досить неправдоподібні, ви виходили з того, що ваш партнер був вірним, що має велику вагу в рівнянні. Що до певної міри неможливо зрозуміти, адже хіба білизна у вашій шухляді не є доказом її вини?

Евристика нашої Системи I, пристосована для швидкого та інтуїтивного судження, заважає нам дійти найкращих імовірнісних висновків на основі наявних доказів. У цьому прикладі ми приділяємо надмірну увагу доказам (дивна білизна!) І забуваємо базову ставку (лише 4% обманюють). Коли нас вражають нові об’єктивні дані ціною попередніх знань, наші рішення будуть постійно неоптимальними.

Але ви професіонал Баєса, так? Ви дасте своєму партнеру перевагу сумнівів. Звичайно, ви можете попередити його про це в майбутньому не думайте про те, щоб купувати нижню білизну іншої статі, або дарувати вам нижню білизну, або запрошувати платонічні пари переночувати. За цих умов ймовірність того, що нижня білизна знову з’явиться у вашій шухляді, якщо це не обдурить вас, становитиме не більше 1%, тобто Pr (RI | ¬E) = 0,01.

Що робити, якщо через кілька місяців у вашій шухлядці знову з’явиться дивна білизна? Як зараз зміниться ваша віра в її невинність? У міру появи нових доказів байєсіанець оновить свою початкову оцінку ймовірності. Апостеріорна ймовірність того, що він зраджував вам вперше, яку ми розраховуємо на рівні 29%, стане апріорною ймовірністю того, що він зраджує вам цього разу. Байєсівці адаптують свою оцінку майбутніх імовірнісних подій у світлі нових доказів. Якщо ви повторно введете в попередню формулу нові змінні, Pr (E) = 0,29 і Pr (RI | ¬E) = 0,01, нова задня ймовірність того, що ваш партнер вдарить вас, становитиме 95%. Тепер ви можете попросити документи на розлучення!

Цей ілюстративний приклад, взятий із "Сигналу і шуму: мистецтво та наука передбачення", показує, що:

  • Ми засліплені свідченнями, коли вони дуже барвисті, яскраві та емоційні.
  • Коли наші початкові переконання дуже міцні, вони можуть бути напрочуд непроникними для нових доказів проти них.

У другій частині цієї статті ми дослідимо кілька тематичних досліджень, де баєсівський висновок успішно застосовується до кібербезпеки.