За останні десятиліття люди звикли, що за лічені хвилини можуть отримати що завгодно, будь то мова про їжу, одяг, наркотики. Для забезпечення стабільності якості товарів та їх місткості на ринку необхідно пристосувати виробничі потужності до цих умов. Однією з можливостей є автоматизація промисловості. Однак для того, щоб підтримувати високу якість і безпеку товару, необхідно створити правильну систему контролю, яка відповідала б вимогам, і тому необхідно досконало знати виробничий процес. Тут ми стикаємося з проблемою. Для того, щоб створити правильні механізми управління, нам потрібно створити правильну математичну модель, яка часто може бути дуже складною; іншими словами, його дизайн займе багато часу, а тому коштує компанії чималих грошей.
Щоб уникнути цих проблем, ми можемо використовувати моделі баз даних замість математичних моделей, які часто набагато простіші та трудомісткіші для створення. Все, що нам потрібно для розробки моделі даних, це вхідні та вихідні дані з процесу. Тут ми стикаємося з іншою проблемою. Дані реальних процесів певною мірою обтяжені шумом, і тому моделі, отримані з цих даних, є юридично неточними. З цієї причини нам спочатку потрібно якось обробити сигнал.
Сьогодні у нас є ряд методів, за допомогою яких ми можемо обробити отриманий сигнал, і одним з них є "гарантована оцінка параметрів".
Наступний приклад ілюструє, як працює метод гарантованої оцінки параметрів (GPE). Уявімо, що ми отримали дані процесу, які в даному випадку будуть функцією з постійними значеннями. Ми знаємо, що датчик має вказану похибку вимірювання. Ми не знаємо математичного припису процесу, з якого ми отримали дані, і тому ми вирішили апроксимувати ці дані лінійною функцією, і ми також хочемо, щоб отримана лінія знаходилася в межах похибки вимірювання датчика. Оскільки ми знаємо вхідні та вихідні дані, єдиними невідомими в рівнянні є розділ та директива. Висловімо, наприклад, директиву (P2) як функцію розділу (P1), і для кожного вимірюваного даних будуємо два рядки, де екстремальне значення похибки вимірювання враховується у вихідних даних (залежна змінна ). Ці рядки окреслюють область відповідних комбінацій параметрів моделі, директиви та розділу, за допомогою яких ми можемо описати дані та гарантуємо, що правильне рішення лежить десь усередині цієї області.
Фіг. 1 - Метод оцінки гарантованих параметрів - лінійна регресія виміряних даних (ідеалізовано).
Таким чином ми отримали не тільки інформацію про параметри моделі, але й інформацію про складність або. простота моделі. На фіг. 1 ми бачимо, що параметр P2, тобто напрямок лінії, містить нуль у своєму інтервалі, і, отже, для деяких комбінацій параметрів ми отримали б нульовий напрямок - наш лінійний опис потенційно непотрібно ускладнений, і дані можна добре описати постійна функція.
У попередньому прикладі ми розглядали виміряні дані, які були ідеалізовані, тобто датчик вимірював однакове значення в кожній точці, шуму не виявлено. Якби наші вимірювання містили шум, і ми припускали ту саму процедуру, що і в попередньому прикладі, результат був би більш-менш однаковим, з тією різницею, що розрахунковий інтервал значень параметрів зменшується.
Рис.2 - Метод оцінки гарантованих параметрів - лінійна регресія вимірюваних даних із шумом.
Таким чином, ми маємо порівняно простий метод, за допомогою якого ми можемо отримати інформацію про параметри та складність моделі та використовувати ці властивості для ідентифікації моделей даних, особливо при визначенні порядку моделі, і це питання набагато складніше, ніж проблема визначення параметрів моделі.
На фіг. 3 ми можемо побачити сигнали двох різних моделей, які були навчені на різних даних. На малюнку ліворуч зображена модель FIR, навчена даним з перехідної функції 1. порядку з коефіцієнтом підсилення Z = 8 і постійною часу T = 2, яка збуджувалася кроковою зміною. Малюнок праворуч представляє подібну модель FIR з тією відмінністю, що дані, за якими навчалась модель, походять від псевдовипадкової функції переходу в двійковій послідовності (PRBS). Можна зробити висновок, що модель, яка пройшла навчання в PRBS, значно краща за якістю. Окрім наближення до реальної вартості самого процесу, дисперсія мінімальної та максимальної реалізації результату значно менша, тому ми маємо менше обмеження реального ходу даних.
Іншим показником, на основі якого ми можемо оцінити якість моделі, є т. Зв Парето фронт. За допомогою черги Парето ми продемонстрували попередню підготовку моделі до її точності щодо порядку моделі. В рамках семестрового проекту ми також порівняли результати з фронту Парето та стандартних критеріїв. Існує кілька цих критеріїв - AIC (інформаційний критерій Akaike), BIC (інформаційний критерій Байєса) та AICc (AIC з корекцією); і пов’язати точність моделі із її порядком. Для порівняння цих методів нам довелося побудувати серію тестів для двох типів моделей, де ми змінили такі величини, як посилення шуму та розподіл шуму. Одна з моделей апроксимувала дані, отримані з моделі FIR, яка була збуджена псевдовипадковою двійковою послідовністю, а інша модель була навчена даним із процесу, описаного при передачі 1-го порядку з коефіцієнтом підсилення Z = 8 і постійною часу T = 2, також збуджений PRBS.
Фіг. 4 - Порівняння фронту Парето (ліворуч) та стандартних критеріїв (праворуч) моделі, підготовленої за даними моделі FIR 8-го порядку, побудованої за допомогою PRBS.
З результатів ми виявили, що посилення шуму та його розподіл не мали значного якісного впливу на окремі методи. Але, як ми бачимо на фіг. 4, стандартні критерії не пропонують єдиного рішення для вибору порядку замовлення (найкраще = мінімум на графіку). На відміну від цього, фронт Парето показує, що якби ми хотіли трохи підвищити точність моделі, ми отримали б модель із на порядок більшою префітацією. Тому модель 8-го порядку видається найкращим варіантом.
Фіг. 5 - Порівняння черги Парето (ліворуч) та стандартних критеріїв (праворуч) моделі, навченої даними з перехідної функції 1-го порядку з коефіцієнтом підсилення Z = 8 та постійною часу T = 2, збудженою за допомогою PRBS.
При вивченні результатів моделі, підготовленої за даними передачі процесу 1-го порядку, можна помітити наступне. Як і в першому випадку, стандартні критерії дають незрозумілі результати і показують, що модель 7–12-го порядку може бути такою ж хорошою. З іншого боку, фронт Парето показує, що якби ми поступово збільшували порядок моделі, тобто точність моделі, попередній вибір моделі не збільшився б, поки ми не натрапимо на лінійний прохід (модель 7-го чи 8-го порядку), де будь-яке вдосконалення моделі точності вже означало б значне збільшення попередньої підготовки.
Отримання моделі даних, яка б добре описувала виміряні дані, на перший погляд може здатися не складною, але, як ми показали, проблема, пов’язана з нею, порівняно складна. Ми пояснили простий метод гарантованої оцінки параметрів, який не тільки пропонує нам інформацію про параметри моделі, але також надає інформацію про складність моделі. Однак перевірка правильності моделі представляється більш складною справою, особливо якщо кожен метод пропонує різний результат, як це було у випадку зі стандартними критеріями, тоді як метод із фронтом Парето дає чіткі та послідовні результати.