Сьогодні ми пропонуємо невеликий виклик, пов'язаний з однією з найцікавіших галузей Економіка (особливо для тих з нас, хто походить зі світу науки і техніки), що є дослідженням вибору з невизначеністю. Йдеться про додавання теорія ймовірностей до звичних економічних моделей і вивчення азартні ігри та лотереї (концепція, яка в основному застосовна до будь-якої реальної життєвої ситуації, оскільки результат нашого вибору зазвичай залежить від зовнішніх випадкових факторів).

євро якщо

Починаємо з очікуване значення азартної гри. Це не що інше, як середній прибуток, який ми отримаємо, граючи у зазначену гру. Наприклад, припустимо гру, в якій ми отримуємо сім євро, якщо ми кидаємо 6 на плашку, і один євро, якщо ми кидаємо будь-яке інше число. Існує 1/6 ймовірності отримати сім євро та 5/6 отримати євро. Тому очікувана цінність цієї гри буде 1/6 7 + 5/6 1 = 2. Тобто, якщо ми будемо грати багато разів, то в підсумку отримаємо в середньому два євро за спін.

З математичної точки зору здається очевидним, що гра є «справедливою», якщо ціна, яку ми платимо, дорівнює очікуваній вартості. Якщо ми платимо два євро щоразу, коли граємо, ніхто не обманює нас і не отримує надзвичайних прибутків. Банк не заробляв би гроші, сплачуючи два євро за спін, оскільки в середньому вони платили б два євро за спін. Ці міркування видаються переважно логічними. І все ж близько 300 років тому, Ніколас Бернуллі виявили велику тріщину, відображену в Петербурзький парадокс.

Бернуллі поставив перед собою такий виклик: припустимо, гра, що складається з підкидання монети і отримання якомога більшої кількості голів поспіль, поки хвости не вийдуть і гра не буде зупинена. Кожного разу, коли виходить нове обличчя приз, поки хрест не буде намальований, а потім гравець бере весь накопичений виграш.

Тобто, якщо перший хід - хвости, нічого не виграється; якщо перший - голови, а наступний - хвости, ви виграєте два євро; Якщо з’являються дві голови та один хвіст, виграються чотири тощо. Наприклад, якби хтось мав таке щастя, щоб отримати десять голів поспіль перед тим, як отримати хвости, вони виграли б 2 10 євро, тобто 1024 євро.

Яка очікувана цінність цієї гри? Побачимо, можливість отримати обличчя становить 1/2, і він має приз 2 євро; взяти два обличчя - (1/2) · (1/2), а приз - 4 євро; той, хто отримає три обличчя (1/2) · (1/2) · (1/2), і виграють 8 євро. неважко помітити, що очікуване значення становить 2/2 + 2 2/2 2 + 2 3/2 3 +. = 1 + 1 + 1 + 1 +. до нескінченності!

Оновлення: У попередньому параграфі ймовірності насправді правильні, якщо врахувати, що перший рулон - це не хвости. Власне, усі наведені ймовірності потрібно було б розділити на 2, тому ймовірність малювання голови насправді становила б 1/4 (голови у першої, хвости у другої, а виграш розрахований). Але це зовсім не впливає на наші міркування: половина нескінченності все одно така ж нескінченність!)

Парадокс призводить до того, що ми маємо азартна гра, очікувана цінність якої нескінченна. І все-таки абсурдно думати, що "нескінченність" може бути справедливою ціною. Насправді, якби ми провели опитування, цілком ймовірно, що мало хто бажає взяти участь, заплативши більше п’яти-шести євро. Здається, що наші початкові міркування про "справедливу ціну" азартних ігор мають певний вад. Але який?

Рішення, тим часом, ми тим часом запрошуємо вас трохи розбити мізки (без пошуку в Вікіпедії та публікації результатів;)). Підказка: гроші не варті того ж для математиків, скільки для звичайних смертних.