Матеріал з каучуку не відповідає закону Гука. На цій сторінці ми вивчаємо поведінку повітряної кулі, надутої газом He.

Ми розглядаємо випадок з повітряною кулею, яка заповнюється газом гелієм на рівні моря і випускається. Ми збираємось вивчити рух сходження на земній кулі.

Це приклад, який включає динаміку частинок, рідин та термодинаміку

Тиск всередині повітряної кулі

Коли недеформований балон радіусом r0 надувається до радіуса r> r0, поверхня балона набуває пружну енергію завдяки деформації. Вираз пружної енергії, коли повітряна куля знаходиться в середовищі при температурі Т, становить

U = 4 π r 0 2 k R T (2 r 2 r 0 2 + r 0 4 r 4 - 3)

де k - константа в одиницях моль/м 2, R = 8,3143 Дж/(K моль) - газова константа .

Робота, необхідна для збільшення радіуса аеростата ra r + dr під дією різниці тисків ΔP між внутрішньою Pint і зовнішньою Pext, є добутком різниці тисків ΔP і збільшення обсягу d V = d (4 3 π r 3) = 4 π r 2 др

Ця робота інвестується у збільшення пружної енергії поверхні повітряної кулі.

d W = (d U dr) dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr 4 π r 2 Δ ​​P dr = 16 π k RT (r - r 0 6 r 5) dr Δ P = 4 k RT r 0 (r 0 r - r 0 7 r 7) P int ⁡ - P ext = 4 k RT r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = rr 0

На малюнку зображено графік функції

f (λ) = (1 λ - 1 λ 7)

куля

Різниця тиску швидко зростає з коефіцієнтом λ = r/r0, досягає максимуму, а потім зменшується як 1/λ для великих значень λ.

Отримаємо крайність функції, встановивши похідну функції f (λ) рівною нулю

- 1 λ 2 + 7 1 λ 8 = 0 λ 6 = 7 λ = 1,383

Надування повітряної кулі

Спочатку аеростат знаходиться в середовищі при атмосферному тиску Pext = P0 і при температурі T0, він містить n0 молей газу гелію і його радіус r0. Тиск газу всередині балона дорівнює P0. Рівняння ідеального газу:

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0

Повітряну кульку ми з’єднуємо з газовим балоном, який постачає його молями Δn. Кількість молей газу всередині балона дорівнює n = n0 + Δn. Тиск усередині сферичної кулі радіусом r дорівнює Р.

З рівняння ідеального газу ми маємо

P 4 3 π r 3 = n R T 0 = n n 0 P 0 4 3 π r 0 3 P λ 3 = P 0 n n 0

Оскільки різниця тисків між внутрішньою і зовнішньою сторонами аеростата становить

P - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7)

Поєднуючи ці два рівняння, ми обчислюємо радіус λ = r/r0 аеростата

n n 0 1 λ 3 - 1 = 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

дійсний корінь многочлена

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

Після обчислення λ за допомогою чисельної процедури різниця тисків між внутрішньою та зовнішньою частинами аеростата становить

Δ P = P 0 16 π k r 0 2 3 n 0 (1 λ - 1 λ 7)

Приклад.

  • Атмосферний тиск, P0 = 101300 Па
  • Температура навколишнього середовища, T0 = 30º = 303 K
  • Початковий радіус аеростата r0 = 42 см
  • Встановлено значення константи k = 0,46235

Кількість вихідних молей газу

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12.5

Щоразу при включенні інжекційного насоса газ, що міститься в балоні, збільшується на 5 молей.

Для обчислення нового радіуса земної кулі вам потрібно розв’язати рівняння

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = 12,5 + i · 5 12,5 b = 16 π · 0,4623 · 0,42 2 3 · 12,5 = 0,10931 i = 1,2,3. Δ P = 101300 · 0,10931 (1 λ - 1 λ 7) = 11073,1 (1 λ - 1 λ 7) Па

деякою числовою процедурою, а потім ми обчислимо різницю тисків ΔP між внутрішньою та зовнішньою частинами аеростата.

Ми отримуємо тиск у см води, помноживши h на два, як ми бачимо в моделюванні нижче

Діяльність

Кнопка з назвою Новий

Кнопка з назвою Починається

У балон вводять 5 молей газу

Інтерактивна програма обчислює радіус r аеростата в см і різницю тисків ΔP між внутрішньою і зовнішньою частинами аеростата в Па. Манометр вимірює різницю тиску в см води. Наприклад, різниця тисків 4473,3 Па є еквівалентною

Δ P ρ g = 4473,3 1000 9,8 = 0,4564 м = 2 22,8 см

Кнопка з назвою Починається а повітряна куля надувається ще 5 молями газу тощо.

Повітряна куля, яка піднімається

Сферична куля заповнена n молями газу гелію на рівні моря, де тиск P0 і температура T0. Якщо Пінта - це тиск всередині повітряної кулі

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T 0

Різниця тиску між внутрішньою та зовнішньою частинами аеростата становить

P int ⁡ - P 0 = 4 k R T 0 r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

Корінь рівняння - радіус земної кулі на рівні моря

λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

Зміна тиску з висотою в лінійній атмосфері

Будемо вважати, що температура T лінійно знижується з висотою і.

T = T 0 (1 - y y 0)

Зміни тиску з висотою виводяться з основного рівняння статики рідини

поруч із рівнянням ідеального газу

P V = m M A R T P = ρ M A R T

де МА = 0,0289 кг/моль - молекулярна маса повітря.

d P = - PMA gy 0 RT 0 1 y 0 - ydy ∫ P 0 P d PP = - MA gy 0 RT 0 ∫ 0 y 1 і 0 - ydy ln ⁡ PP 0 = η (ln ⁡ (y 0 - y) - ln ⁡ y 0) η = MA gy 0 RT 0 P = P 0 (1 - yy 0) η

  • MA = 0,0289 кг/моль - це молекулярна маса повітря.
  • R = 8,3143 Дж/(К моль) - газова постійна .
  • Для регулювання лінійної залежності температури T від висоти та певного дня року беремо T0 = 303 K на рівні моря та y0 = 49 км = 49000 м

У міру підняття повітряної кулі різниця тиску між внутрішньою та зовнішньою частинами збільшується, а отже радіус аеростала змінюється.

На висоті і тиску P, а температурі T. Для розрахунку нового радіуса земної кулі ми використовуємо рівняння, подібні до тих, що використовуються для розрахунку радіуса земної кулі на рівні моря.

P int ⁡ 4 3 π r 3 = n R T P int ⁡ - P = 4 k R T r 0 (1 λ - 1 λ 7) λ = r r 0

Отримуємо рівняння

3 n RT 0 (1 - рр 0) 4 π r 3 - P 0 (1 - рр 0) η = 4 k RT 0 (1 - рр 0) r 0 (1 λ - 1 λ 7) nn 0 P 0 λ 3 (1 - рр 0) - Р 0 (1 - рр 0) η = 16 π k P 0 r 0 2 3 n 0 (1 - рр 0) (1 λ - 1 λ 7) nn 0 1 λ 3 - ( 1 - рр 0) η - 1 = 16 π кр 0 2 3 п 0 (1 λ - 1 λ 7) (1 - рр 0) η - 1 λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = nn 0 b = 16 π kr 0 2 3 n 0

Вирішуючи це рівняння, отримуємо радіус r повітряної кулі або λ на висоті y.

Коли y = 0 на рівні моря, ми отримуємо рівняння з попереднього розділу.

  • MA = 0,0289 кг/моль - це молекулярна маса повітря.
  • R = 8,3143 Дж/(К моль) - газова постійна .
  • Встановлено значення константи k = 0,46235
  • Беремо T0 = 303 K на рівні моря і y0 = 49 км = 49000 м
  • Атмосферний тиск на рівні моря (y = 0), P0 = 101300 Па
  • Початковий радіус повітряної кулі, r0 = 42 см
  • Балон заповнений 45 молями He, ми хочемо обчислити радіус аеростата на висоті y = 1000 м

Баланс

Припустимо, що маса аеростата, включаючи газ і баласт, дорівнює М.

Повітряна куля припиняє свій підйом, коли вага врівноважується тягою.

Тяга - це вага повітря, витісненого аеростатом

E = ρ airg 4 3 π r 3 = MAPRT g 4 3 π r 3 = MAP 0 RT 0 (1 - рр 0) η - 1 g 4 3 π r 3 E = MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0 ) η - 1

При рівновазі вага дорівнює тязі, Mg = E.

Поєднав рівняння, яке отримує радіус аеростата на висоті, і рівняння рівноваги на цій висоті.

M = MA n 0 b + a λ 4 - b λ 6 λ 7 b λ 6 + (MMA n 0 - a) λ 4 - b = 0 x 3 + 1 b (MMA n 0 - a) x 2 - 1 = 0 x = λ 2

Після отримання λ = r/r0 максимальна висота очищається в першому рівнянні.

Приклад:

  • Атмосферний тиск на рівні моря (y = 0), P0 = 101300 Па
  • Початковий радіус повітряної кулі, r0 = 42 см
  • Встановлено значення константи k = 0,46235

Кількість вихідних молей газу

P 0 4 3 π r 0 3 = n 0 R T 0 n 0 = 12.5

  • Аеростат заповнений n = 45 молей газу гелію
  • Вага аеростата, включаючи газ та баласт, становить M = 1,12 кг
  • MA = 0,0289 кг/моль - це молекулярна маса повітря.
  • Беремо T0 = 303 K на рівні моря і y0 = 49 км = 49000 м

Куля відпущена. Обчисліть максимальну висоту, яку вона досягає

Ми маємо вирішити кубічне рівняння

x 3 + 1 b (M M A n 0 - a) x 2 - 1 = 0 x = λ 2 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0

З наданими даними,

це рівняння має дійсний корінь і дві складні спряжені. За допомогою калькулятора для виконання операцій, зазначених на сторінці під назвою «Коріння кубічного рівняння», отримуємо реальне рішення x = 4,6174, або, λ = 2,1488.

У попередньому розділі ми вирішили задачу, враховуючи висоту та обчислюючи радіус аеростата. Тепер ми вирішуємо обернену задачу, враховуючи радіус або λ, обчислюємо висоту і в якій куля залишається в рівновазі

(1 - y y 0) η - 1 = b + a λ 4 - b λ 6 λ 7 η = M A g y 0 R T 0

отримуємо y = 11143 м

Рух повітряної кулі від землі до рівноважної висоти

Сили на аеростаті:

  • Вага, мг
  • Поштовх, Е
  • Сила тертя Fr пропорційна квадрату швидкості.

Будемо вважати, що в усі часи три сили збалансовані, час, необхідний для досягнення граничної швидкості, дуже малий, починаючи з дуже близької швидкості.

Будемо вважати, що сила тертя пропорційна квадрату швидкості, як у випадку з парашутом. Константа пропорційності сили тертя становить

  • ρ - густина повітря, яка змінюється з висотою і.
  • A - площа фронтального перерізу, що зазнає впливу повітря, для сфери A = πr 2
  • δ - коефіцієнт, який залежить від форми предмета, для сфери δ = 0,4

Рівняння руху таке

MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0) η - 1 - M g = 0,2 MAP 0 RT 0 (1 - yy 0) η - 1 π r 2 v 2 MA n 0 g λ 3 (1 - yy 0) η - 1 - M g = 0,3 MA n 0 2 r 0 (1 - yy 0) η - 1 λ 2 v 2

Диференціальне рівняння першого порядку має бути розв’язане з такою початковою умовою: у момент часу t = 0, y = 0, частина рівня моря.

d y d t = 20 3 g r 0

Для кожного значення y ми повинні розрахувати радіус r аеростата або фактор λ = r/r0, вирішуючи рівняння.

(1 - y y 0) η - 1 λ 7 + b λ 6 - a λ 4 - b = 0 a = n n 0 b = 16 π k r 0 2 3 n 0 η = M A g y 0 R T 0

Приклад:

  • Аеростат заповнений n = 45 молей газу гелію

Обчисліть початкову швидкість повітряної кулі, коли y = 0.

За допомогою інтерактивної програми в попередньому розділі ми обчислюємо початковий радіус земної кулі на рівні моря.

Побудуємо графік швидкості аеростата dy/dt як функції висоти та аеростата до досягнення рівноважної висоти. Ми доповнюємо попередній сценарій з тими ж даними:

  • MA = 0,0289 кг/моль - це молекулярна маса повітря.
  • R = 8,3143 Дж/(К моль) - газова постійна .
  • Встановлено значення константи k = 0,46235
  • Беремо T0 = 303 K на рівні моря і y0 = 49 км = 49000 м
  • Атмосферний тиск на рівні моря (y = 0), P0 = 101300 Па
  • Початковий радіус повітряної кулі, r0 = 42 см
  • Аеростат заповнений 45 родимками He

Діяльність

  • Маса М аеростата, включаючи газ і баласт, у контролі названа Маса
  • Кількість n молей газу, яким повітряна куля надута, у контролі названа Родимки.

Кнопка з назвою Новий

Якщо тяга більша за вагу, повітряна куля піднімається. На аеростат також діє сила тертя, пропорційна квадрату швидкості, яка постійно підтримує аеростат у рівновазі (прискорення дорівнює нулю). Однак швидкість змінюється, оскільки тяга змінюється з висотою аеростата.

На лівій стороні змінюється тиск із висотою,

P = P 0 (1 - y y 0) η

дані про температуру подаються у градусах Цельсія.

T = T 0 (1 - y y 0)

Червона смуга вказує на те, що щільність повітря зменшується з висотою, темно-червоний колір вказує на більш щільне повітря, а світло-червоний колір на менш щільне повітря.

ρ = ρ 0 (1 - y y 0) η - 1

У смузі повітряна куля рухається, а сили, що діють на неї, відображаються стрілками:

  • Вага, чорний
  • Поштовх, червоним кольором
  • Сила тертя, синього кольору

У верхньому правому кулі відображається аеростат, оскільки його радіус збільшується при підйомі.

У нижньому правому куті швидкість повітряної кулі представлена ​​як функція висоти.

Ми спостерігаємо, що швидкість залишається майже постійною і дорівнює початковій швидкості протягом більшої частини шляху підйому і швидко зменшується в районі максимальної висоти, якої вона досягає.

Список літератури

Теоретичне питання 2. Міжнародні змагання з фізичної олімпіади 2004 р. У Південній Кореї.

Merritt D. R., Weinhaus F. Крива тиску для гумової кулі. Am. J. Phys. 46 (10) жовтень 1978 р. С. 976-977