Призначення
Вікторина, як ми всі знаємо, великий космічний ентузіаст. У нього вдома чудовий бінокль, за яким він проводить значну частину вільного часу. Він побачить його аж до далекої галактики, де минулого разу бачив цікаву двійкову зірку. Він складався з двох однаково масивних зірок. Квік вирішив з’ясувати, з якою швидкістю спільний центр ваги бінарного файлу віддалявся від Землі. Для цього він виміряв частоту однієї спектральної лінії від спектра двійкової зірки. Коли і зірки, і Земля знаходились на одній лінії, він виміряв частоту \ (f_0 \). Коли лінія зірок була перпендикулярна напрямку Землі, Квік спостерігав пару спектральних ліній з частотами \ (f _ + \) та \ (f _- \). Тепер йому просто потрібно це скласти. Допоможіть йому з розрахунками.
Перше, що нам потрібно усвідомити, це те, чому Квік спостерігає різні частоти однієї і тієї ж спектральної лінії в різних положеннях зірок. Трохи задумавшись, ми приходимо до висновку, що єдиним розумним поясненням є ефект Доплера у зв'язку з рухом зірок. Вони обертаються навколо спільного центру ваги зі швидкістю \ (v \), яка, крім того, віддаляється від Землі зі швидкістю \ (u \). Таким чином, коли і зірки, і Земля знаходяться на одній лінії, обидві зірки віддаляються від Землі зі швидкістю \ (u \). Коли лінія зірок перпендикулярна напрямку Землі, тоді одна зірка рухається відносно Землі зі швидкістю \ (u + v \), а інша зі швидкістю \ (u-v \). Ось чому Квік спостерігає пару спектральних ліній.
Коли ми знаходимо причину різниці в частоті однієї і тієї ж спектральної лінії, може здатися, що ми вже перемогли. Все, що вам потрібно зробити, це кинути його в рівняння і вибухнути з них швидкість \ (u \). Чи ні? Нагадаємо, що зміна частоти ефекту Доплера описується рівнянням \ [f '= f \, \ frac >> \ text \ qquad (1) \]
де \ (c \) - швидкість хвиль, \ (w_ \) - швидкість спостерігача (приймача), а \ (w_ \) - швидкість джерела. Ми підбираємо знаки відповідно до напрямку, в якому рухаються спостерігач та джерело. Дозволені всі чотири комбінації.
У нашому випадку \ (c \) - швидкість світла. Але які у нас швидкості \ (w_ \) та \ (w_ \)? На перший погляд зрозуміло, що результат залежить від вибору системи відліку. Питання в тому, як ми обираємо систему відліку. Щоб відповісти на це, давайте розглянемо більш наочний приклад - два автомобілі, що рухаються навпроти один одного. Тоді у нас є вибір систем відліку, пов’язаних з окремими автомобілями, з бабусею, яка стоїть на зупинці, або з Йожеком, що біжить до автобуса, а також з будь-якою іншою системою відліку.
Декому може спасти на думку, що ми вибираємо систему відліку відповідно до частоти, яка нас цікавить, тобто якщо нас цікавить, яку частоту чує бабуся, ми описуємо ситуацію в системі бабусь. Але що тоді робить швидкість \ (w_r \) щодо 1, коли вона завжди повинна бути нульовою? Ця швидкість буде не просто такою, тому цей вибір може бути не правильним.
Насправді ми вибираємо систему відліку, пов’язану із середовищем, в якому поширюються хвилі. У разі звуку навколишнє середовище - це повітря. А як щодо світла? Теорія відносності говорить, що світло поширюється однаково у всіх системах відліку, тому у випадку світла результат не може залежати від вибору системи відліку. Однак це суперечить рівнянню 1, тому воно не може описати ефект Доплера для світла.
Рівняння 1 походить від перетворень Галілея, які не є релятивістськими. Якби ми використовували релятивістські перетворення Лоренца, ми отримали б інше відношення \ [f '= f \ sqrt> \ text \ qquad (2) \]
Ми не будемо виводити його тут, оскільки читач може легко знайти його у доступній літературі чи в Інтернеті. Зазначимо лише, що чисельник і знаменник мають однакову швидкість \ (w \), яка є взаємною швидкістю джерела та спостерігача, тому результат не залежить від вибору системи відліку. У цьому випадку допускаються лише дві комбінації знаків - ми завжди підбираємо різні знаки, і їх вибір залежить від того, чи об’єкти розсуваються, чи наближаються один до одного.
У нас за плечима найцікавіша частина завдання. Тепер ми можемо почати рахувати. Нехай фактична частота спектральної лінії дорівнює \ (f \). Для спостережуваних частот тоді \ [\ begin f _ + ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f _- ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f_0 ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \ qquad (3) \]
Виключіть із системи рівнянь дійсну частоту спектральної лінії \ (f \), поділивши перші два рівняння на 3 на третє. Після кількох простих налаштувань ми закінчуємо форму \ [\ begin f _ + ^> \ left (u ^ 2 + uv-cv-c ^ 2 \ right) & = f_0 ^> \ left (u ^ + uv + cv -c ^ \ праворуч) \ text \\ f _- ^> \ ліворуч (u ^ 2-uv + cv-c ^ 2 \ праворуч) & = f_0 ^> \ ліворуч (u ^ -uv-cv-c ^ \ праворуч) \ text \ end \ qquad (4) \]
Ми бачимо, що обидва рівняння є лінійними за \ (v \) і квадратними за \ (u \). Нас цікавить швидкість двійкового \ (u \), тому з обох рівнянь ми виражаємо орбітальну швидкість зірок \ (v \): \ [v = \ frac ^> - f _ ^> \ right)> ^> \ ліворуч (uc \ праворуч) -f _ ^> \ ліворуч (u + c \ праворуч)> \ text \\ \ qquad (5) \]
Нам дуже приємно, що один і той же фактор \ (\ зліва (u ^ -c ^ \ вправо) \) зустрічається в обох рівняннях, оскільки, коли ми розділимо рівняння, цей фактор випаде з них, ефективно зменшуючи ступінь рівняння від кубічних до лінійних. Поступові коригування призводять до кінцевого результату \ [u = \ frac ^> f _ ^> - f _ ^ >> ^> - f _ ^> \ праворуч) \ ліворуч (f _ ^> - f _ ^> \ праворуч) > c \ text \ qquad (7) \]
Можна подумати, що взаємні швидкості зірок і Землі дуже малі порівняно зі швидкістю світла, тому має бути можливо лінеаризувати взаємозв'язок 2. Давайте застосуємо розширення Тейлора до нього \ [f '= f \ sqrt> = f \ sqrt >>> = f \ left (1- \ frac + \ frac \ left (\ frac \ right) ^ + \ bar> \ left (\ ліворуч (\ frac \ right) ^ \ праворуч) \ right) \ text \]
Спочатку розглянемо розвиток лише до першого порядку. У цьому випадку ми отримуємо набір рівнянь \ [\ begin f_ & = f \ left (1- \ frac \ right) \ text \\ f_ & = f \ left (1- \ frac \ right) \ text \\ f_ & = f \ ліва (1- \ frac\ праворуч) \ text \ end \]
Ми відразу бачимо, що ця система еквівалентна використанню класичного доплера в опорному джерелі джерела хвилі. Однак, коли ми починаємо її вирішувати, ми стикаємось із проблемою, оскільки з неї випадають усі швидкості, і ми отримуємо умову лише для частот \ [f _ = \ frac + f _> \ text \]
який говорить, що в наближенні першого порядку частота \ (f_ \) повинна бути середнім арифметичним для решти двох.
Для того, щоб отримати якийсь результат, ми повинні розглянути розширення Тейлора до другого порядку: \ [\ begin f_ & = f \ left (1- \ frac + \ frac >> \ right) \ text \\ f_ & = f \ ліворуч (1- \ frac + \ frac >> \ праворуч) \ text \\ f_ & = f \ ліворуч (1- \ frac+\ frac >> \ праворуч) \ text \ end \]
Знову ж таки, ми виключаємо частоту \ (f \) з рівнянь, поділяючи рівняння між собою: \ [\ begin \ frac >> & = \ frac-2uc-2vc + u ^ + v ^ + 2uv> -2uc + u ^> \ text \\ \ frac >> & = \ frac-2uc + 2vc + u ^ + v ^ -2uv> -2uc + u ^> \ text \ end \]
Цього разу ми отримали дещо складнішу систему, оскільки обидва рівняння квадратні в \ (u \) та в \ (v \). Однак ніщо нас не лякає так легко. Ми дивимось на них своїм професійним оком і відразу бачимо, що коли ми додаємо і віднімаємо їх один від одного, вони трохи спрощуються: \ [\ begin \ frac + f _ >> & = \ frac-4uc + 2u ^ + 2v ^ > - 2uc + u ^> \ text \\ \ frac-f _ >> & = \ frac-2uc + u ^> \ text \ end \]
З цих рівнянь вже не проблема виразити орбітальну швидкість \ (v \) у відносно простому вигляді: \ [\ begin \ left | v \ right | & = \ sqrt + f _ >> - 1 \ праворуч) \ ліворуч (2c ^ -2uc + u ^ \ праворуч)> \ text \\ v & = \ frac-f_ \ right) \ ліворуч (2c ^ -2uc + u ^ \ вправо)> \ вліво (uc \ вправо)> \ text \ end \]
Щоб позбутися абсолютного значення та квадратного кореня, давайте прирівняємо квадрати орбітальної швидкості. Ми працюємо для рівняння, яке є квадратним у \ (u \) і не містить швидкості \ (v \), тому у нас більше немає найменшої проблеми з пошуком рішення: \ [\ begin u ^ -2cu + \ frac \ ліворуч (f_ + f_-2f_ \ праворуч) -2 \ ліворуч (f_-f_ \ праворуч) ^> \ ліворуч (f_ + f_-2f_ \ праворуч) - \ ліворуч (f_-f_ \ праворуч) ^> c ^ = 0 \ text \\ u = c \ ліворуч (1 \ pm \ sqrt \ ліворуч (f_ + f_-2f_ \ праворуч) -2 \ ліворуч (f_-f_ \ праворуч) ^> \ ліворуч (f_ + f_-2f_ \ праворуч) - \ ліворуч (f_-f_ \ праворуч) ^ >> \ праворуч) \ text \ end \]
Фізичне рішення є зі знаком мінус, оскільки \ (\ ліворуч | у \ праворуч | \ надмірно< . Pozorný čitateľ by mohol namietať, že náš výsledok nemôže byť správny, pretože narábame s relativistickým Dopplerovým javom a pritom sme použili klasický vzťah na skladanie rýchlostí. A má v podstate pravdu. V skutočnosti by sme mali uvažovať relativisticky získané rýchlosti vzďaľovania jednotlivých hviezd \[ w_=\frac>> \ text \] Однак, оскільки швидкості \ (u \) та \ (v \) малі порівняно зі швидкістю світла, здається, ми можемо дозволити собі використовувати і класично складені швидкості. Однак давайте подивимось на результат, якого б ми досягли, якби ми тим не менше використовували релятивістські відносини для складання швидкостей, бо це насправді цікаво. Ми будемо дотримуватися точно тієї ж процедури, що і в першому випадку. Починаємо з системи рівнянь \ [\ begin f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ text \\ f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ text \\ f_ ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \]
Коли ми поміщаємо ці вирази у рівняння, ми отримуємо рівняння, яке не містить ніяких швидкостей \ [\ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> + \ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> = 0 \ text \], який можна додатково спростити до \ [f _ = \ sqrtf _> \ text \], тому частота \ (f_ \) повинна бути середнім геометричним для решти двох . Що це означає? Якщо ми не нехтуємо, то в принципі неможливо визначити швидкість відстані двійкового файлу. Однак після глибшого роздуму ми не дуже здивовані. У нас хвиля деякої частоти, і нас цікавить, як ця частота змінюється завдяки ефекту Доплера. Зміна частоти однозначно задається ставками \ (u \) та \ (v \). Таким чином, якщо ми знаємо видимі частоти в двох випадках, ми можемо обчислити частоту в третьому випадку, використовуючи останнє похідне співвідношення. Це означає, що наші три рівняння, з яких ми почали, не були незалежними, і тому неможливо обчислити з нього три невідомі, оскільки ми фактично маємо лише два рівняння. Чи означає це, що Допплер не може нічого сказати нам про швидкість відстані двійкового файлу? Ні, якщо ми не знаємо фактичної частоти спостережуваної спектральної лінії. Але оскільки частоти спектральних ліній відомі, нам на практиці потрібно лише ідентифікувати дану спектральну лінію та використовувати дві видимі частоти для обчислення відстані двійкової зірки.
Примітка дослідника
Честь і слава належать Йоні, який єдиним показав чесними релятивістськими розрахунками, що неможливо визначити швидкість відстані двійкової зірки від спостережуваних частот. Він використав розумний трюк, розглядаючи допоміжний об'єкт, що рухається разом з центром ваги двійкового файлу, але потім додав подвійний доплерівський зсув. Перший зсув враховував орбітальну швидкість зірок, а другий - швидкість руху центру ваги двійкового файлу від Землі. Цей розрахунок призвів до співвідношення між спостережуваними частотами \ [f _ = \ fracf _> + f _> \ text \]
який відрізняється від того, який ми отримали. Проблема полягає в тому, що у випадку спостережуваної частоти \ (f_0 \) ми припустили, що швидкість відстані до зірки дорівнює \ (u \), що не відповідає дійсності. Насправді ми повинні релятивістично скласти перпендикулярні швидкості \ (u \) та \ (v \) і використовувати отриману таким чином швидкість стосовно релятивістського доплера.
Обговорення
Тут ви можете вільно обговорювати рішення, ділитися своїми фрагментами коду тощо.
Ви повинні увійти, щоб додати коментарі.