Основним припущенням так званої моделі SIR, що використовується в епідеміологічній динаміці, є наявність сприйнятливої ​​популяції, в якій збудник може вільно поширюватися. Людство сприйнятливе до ГРВІ-CoV-2, тому воно виконується. Одним з основних законів екології та еволюційної біології є те, що популяції здатні до експоненціального зростання і демонструють цей ріст, коли їх джерела не обмежують їх зростання. Спочатку інфекція явно зростає в геометричній прогресії.

допомагає

Експоненціальне зростання набагато швидше, ніж лінійне

Прямо пропорційно ми рухаємось набагато більше вдома, ніж у світі експоненційного зростання. На жаль, ми схильні думати про лінійне зростання навіть тоді, коли це не так. Відома в математиці проблема із зерном пшениці та шаховою дошкою, в якій Ібн Каллікан або Сесса ебн Дахер (відомо кілька версій історії) просять, щоб на кожному квадраті шахової дошки з’явилося вдвічі більше зерен пшениці, ніж раніше. Починається з 1, 2, 4, 8, 16 тощо. Навіть крихітні цифри можуть спокусити нас продовжувати мислити 28, 36, 44 тощо. і досягаємо 488 у полі 64. Кожен гідний правитель може дати стільки зерен пшениці своєму дорогому вченому. Але ряд пшениці є геометричним (частка двох послідовних значень є постійним) і неарифметичним (різниця між двома послідовними значеннями є постійною). Кількість пшениці, яку потрібно завантажити на поле 64 (2 63), набагато більше загального виробництва пшениці на сьогодні.

Що стосується розповсюдження коронавірусу, зауважте, що ми можемо думати, що якщо сьогодні буде оголошено про три нових інфекції, а завтра - три, а потім три (і так далі), за місяць буде 90 нових інфекцій. Це керований номер. Однак для початкового опису процесу слід використовувати наступне рівняння:

Заражене населення (N) збільшується в λ-разів у кожному інтервалі часу - останній називається валовим темпом приросту. Якщо інтервал часу прийняти за середній час зараженості, то λ можна замінити на згаданий R0 (базове число відтворення), тобто на кількість інших людей, заражених під час зараженості (до цього ми повернемось пізніше) .

Епідемію можна контролювати, зменшуючи ймовірність зараження

Основною моделлю динаміки епідемій є SIR, в якій кінематографічне слово S позначає сприйнятливий, I позначає інфікованих, а R позначає відновлених. Все населення (N особи) поділяються на ці три категорії. Спочатку майже всі сприйнятливі, є пара заражених, і ще ніхто не видужав. Інфікування з певною швидкістю (β) відбувається через випадкові зустрічі між зараженими та сприйнятливими особами. Вони одужують від інфекції з різною швидкістю (γ) люди. Ті, хто одужав, не можуть повторно заразитися, оскільки вони стали імунітетом до хвороби. 1 /γ коефіцієнт показує в середньому, як довго хтось заражений (або скільки часу потрібно для одужання). 1 /β і скільки інших людей інфіковано за одиницю часу, тому вихідна репродуктивна цінність, R0, становить β/γ співвідношення.

Давайте зараз розглянемо результати цієї дуже простої моделі. Почнемо з абсолютно сприйнятливого населення, в яке ми вкладаємо мало заражених людей. THE Р.Тепер встановіть значення 0 (воно дуже велике) і нехай 1/γ дорівнює 5, що означає в середньому п’ять днів відновлення. Ми бачимо, що кількість заражених різко зростає, досягає піку, а потім починає зменшуватися, поки всі не одужають.

Графіка: Руберт Йонас Тот

Інфекція заглушається, оскільки більше немає кого заразити, а заражені дедалі частіше лише зцілюються і, таким чином, стикаються з людьми, які мають імунітет до інфекції. Це означає, що ефективне число розмноження (тобто середня кількість людей, які можуть заразитися зараженим, Р.Д) постійно зменшується, поки не досягає менше 1, з цього моменту епідемія задихається. Р.У позначенні 0 крапка 0 вказує на те, що вона дійсна на початковому етапі, коли фактично всі ще заражені, а заражена людина стикається лише з інфекційними людьми, яким він або вона можуть передати хворобу. Збудник, який має Р.Значення 0 вже менше 1, це навіть не викликає епідемії.

Ефективне число відтворення можна зменшити до 1 двома способами: або відновлення відбувається швидше (γ вище) або менше заражають інфікованих інших людей (β нижній). Швидкості одужання в принципі могли б сприяти наркотики, але це неможливо в умовах епідемії. Інший варіант - запобігання новим інфекціям. Це може спрацювати!

Графіка: Руберт Йонас Тот

Давайте подивимось на динаміку уявної епідемії нижче, Р.При 0 = 3. Давайте спостерігатимемо дві речі! Одне з них полягає в тому, що пік інфекції, тобто частка пацієнтів у популяції одночасно, є нижчим. Інший полягає в тому, що не всі заразилися, вони залишались сприйнятливими серед населення, поки епідемія задихалася.

Система охорони здоров’я не переобтяжена всіма інфікованими людьми, а кількістю інфікованих, присутніх одночасно

Зараз у ЗМІ багато говорять про явище «згладжування кривої». У разі повільнішого поширення епідемії кількість хворих одночасно менша. По-перше, погляньмо на першу цифру, в якій фактично всі заражаються. Однак неправда, що всі хворі одночасно. Також є перебіг хвороби та інфекції. На початку мало хто з заражених може заразити ще кількох людей, і потрібно все більше часу, щоб все більше заражених дійшло до все більшої кількості інфекційних захворювань. Але до того часу перші пацієнти будуть зцілені. Навіть у випадку високої заразності близько 50 відсотків хворіють одночасно, але перебіг епідемії стрімкий.

Порівняння перебігу двох епідемій показує, що на піку епідемії значно менше пацієнтів. Розглянемо наступне нижче Р.0 = 2, і очевидно, що із зменшенням рівня зараження пацієнтів стає все менше.

Графіка: Руберт Йонас Тот

Потужність охорони здоров’я є кінцевою. Жодна країна не розраховує на необхідність такої маси лікарняного лікування. Чим менша кількість випадків, що трапляються одночасно, тим менше навантаження на охорону здоров’я. Поточні заходи спрямовані на досягнення цього тривалого часу, який, продовжуючи тривалість епідемії, зменшує навантаження на здоров'я.

При повільному розповсюдженні менше людей заражається

Дивлячись на попередні три цифри, може з’явитися щось більше: кількість сприйнятливих на кінець епідемії Р.У міру зменшення збільшується. Тобто стає все більше особин, які навіть не заражені! Це також є перевагою уповільнення поширення. Можна показати, що населення таким чином не зачеплене e -R 0 R (Р. кінцева швидкість загоєння; Міллер 2012). У наведених прикладах 0,7, 5,9 та 20,31 відсотка населення відповідно не хворіють.

Примітка є Р.0 інтерпретація

Р.Значення 0 асоціюється з помилковим уявленням, що воно означає, скільки людей заражена людина передає інфекції, опускаючи пункт "середнє". Тобто, якщо хтось Р.0 = 3, крім зараження трьох інших людей, ви більше не будете приймати. Це середнє значення. Буде той, хто нікого не заразить, а знайде той, хто заразить багатьох.

Середня Р.0, хоча це щось говорить про швидкість поширення, воно маскує значну неоднорідність. Трактуючи епідемію як масове явище, ми сприймаємо кожну людину як подібну. Однак ми знаємо, що як вірусне навантаження, так і індивідуальний спосіб життя можуть змінити ситуацію між людьми, що змінює інфекційність. Навіть в контексті епідемії ГРВІ, Loyd-Smith та співавт. (2005) показали, що чим більша різниця в кількості заражених, тим більша ймовірність зникнення епідемії, але також і значної кількості інфекцій. Це також може бути пов’язано з тим, що початкова динаміка епідемії в різних країнах неоднакова. Вони можуть враховувати це в дедалі складніших моделях, але варто використовувати якнайпростішу модель для ілюстрації основних явищ.

Ця проста модель не описує епідемію COVID-19

Основне припущення моделі SIR полягає в тому, що епідемія поширюється на дуже велику і добре змішану популяцію і що заражені негайно заразні. На початковій фазі епідемії може бути вірним змішане населення, особливо у великих містах, таких як Ухань або Будапешт. Однак ми знаємо, що не всі віки змішуються однаково (це більш важливо для молоді). Крім того, існує латентний період, коли заражені ще не заражені. Ці та кілька інших параметрів можна врахувати, якщо ви хочете змоделювати конкретну епідемію, таку як COVID-19. Про ці можливості та моделювання для COVID-19 я напишу в іншому дописі.

Автор є старшим науковим співробітником Групи з теоретичної біології та еволюційної екології Угорської академії наук - Університету Етвеша Лоранда. Більше статей можна знайти тут.

Список літератури

Lloyd-Smith, J. O., Schreiber, S. J., Kopp, P. E., and Getz, W. M. 2005. Надвисоке розуміння та вплив індивідуальних варіацій на появу захворювання. Природа 438(7066): 355–359

Miller, J. C. 2012. Примітка щодо визначення кінцевих розмірів епідемії. Вісник математичної біології 74(9): 2125–2141