Лінійна алгебра (для економістів) 10A103 ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПРАКТИКИ (1.) 2018/2019. весняний семестр Матриці 1.1. Завдання. Нехай A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = (1 2 0), D = 1 3 1 1 2 1 () 10/2 0,6 1 2 E =, F = 1 1 1 6 2, G =, H =. 1 2 0,3 0,4 1 2 1 0 0,4 Обчисліть такі матриці (якщо такі є): (а) AB, BA, CB, BC, DC, CD; (b) BF, F 2, GH; (c) EB T, E T A, D T C T; (d) (A + B) C, (A + B T) D, AD + B T D. Розчин. (a) AB = 2 1, BA = 6 9 1 2 0 DC = 1 2 0, CD = (1); 2 4 0 2 2 0 ((b) BF не визначено, F 2 = 1 2 2 1 1 3, GH = 3 0 6 2 2 10 1 7 0 4 4 (c) EB T =, E 3 3 TA =, D 4 0 4 TCT = (1), 1 (d) (A + B) C не визначено, (A + BT) D =, AD + B 16 TD = 1 2, 3 2 0 4 4, CB = (1 4), БК не визначено, 4 4 8 + 3 6 17 0 1. 16) 3,87298 2,0338; 0,474342 0,34 1 3 1,2. Завдання. Обчисліть значення підстановки багаточлена f = x 2 + 3x 4 при A = 4 2 6 3 1 2. Рішення. Значення підстановки багаточлена f у положенні A: 3 1 12 f (a) = A 2 + 3 A 4 I 3 = 26 12 2. 22 12 3 1 1 1.3. Завдання. Нехай A =. Дайте всі матриці B, які взаємозамінні з A, 0 1, тобто для яких AB = BA задовольняється. Рішення. Матрицю B можна (точно) замінити матрицею A, якщо є числа a і b реальні b, для яких виконується B =. 0 та 1.4. Завдання. У господарстві перехід між безробітними та робітниками описується наступною матрицею (протягом 1 року):. 0,1 0,7
(j) Якщо для матриць A і B виконується AB = BA, то матриці A і B квадратні. (k) Для будь-яких квадратних матриць A і B однакового розміру (True) (A + B) (AB) = A 2 B 2. (False) (l) Якщо A і B є квадратними матрицями однакового розміру (A + B) (AB) = A 2 B 2 виконано, тоді A = B. (Неправда) Рисунки 1.8-17. У завданнях лише одна з чотирьох поданих відповідей є правильною, вирішіть, яка. 1.8. Завдання. Нехай матриця A є реальною матрицею (2 3). (a) Визначені товари AA T та A T A. (b) Продукти AA T та A T A не визначені. (c) Продукт AA T визначений, але продукт A T A не визначений. (d) Товар AA T не визначений, але продукт A T A визначений. Рішення. (а) 1.9. Завдання. Нехай задано матриці A R 2 3, B R 3 3 і C R 2 4. В. (a) визначено продукт ABC. (c) визначено продукт ABE 3 C T. (b) визначається продукт C T AB. (d) визначається продукт BA T C T. 1.10. Завдання. Нехай дано матриці A R 2 3, B R 3 4 і C R 4 2. В. (а) виконується рівність ABC = CAB. (c) визначена сума AB + BC. 1.11. Завдання. Якщо A R m n (m, n N), B R k l (k, l N) та (a) n = k, то A + B існує. (c) m = n = k = 1, тоді AB (BA) T існує. Рішення. (c) (b) Справедливе рівняння (AB) C = A (BC). (d) продукт BCAB не визначений. (b) m = n = k = 1, тоді AB = BA. (d) m = n = k = 1, тоді (B + A) T = AB. 3
1.23. Завдання. Нехай A - матриця (n n) така, що сума елементів у кожному стовпці дорівнює 0. Доведіть, що існує вектор стовпця v (n 1), для якого Av = 0. 1.24. Завдання. Суму елементів у головній діагоналі називають слідом квадратної матриці (знак: Трасування (А)). Доведіть, що якщо A і B - квадратні матриці однакового розміру, то Trace (AB) = Trace (BA). 1.2. Завдання. Нехай A є реальною матрицею і припустимо, що слід матриці AA T дорівнює 0. Визначте A. 1.26. Завдання. Чи виконуються наступні рівняння для будь-яких матриць A та B (n n) (n N)? (a) (A + B) (A B) = A 2 B 2; (b) (AB) T = A T B T; (c) A s A t = A st (s, t N).