Небесна динаміка

Діяльність

руху

На цій сторінці ми вивчаємо рух штучного супутника, який розміщений на круговій орбіті навколо Землі на висоті h над його поверхнею. Будемо вважати, що Земля оточена атмосферою, утвореною шаром газу однорідної щільності, зовнішній радіус якого більший за радіус орбіти супутника, так що сила тертя, що діє на супутник, є постійною.

Насправді атмосфера складається з декількох шарів, визначених відповідно до вертикальних коливань температури:

  • в тропосфері температура знижується з висотою зі швидкістю 0,6 ° С кожні 100 м.
  • в стратосфері температура залишається практично постійною
  • мезосфери, температура зростає, а потім знижується
  • термосфери, температура регулярно підвищується з висотою.

Атмосферу також зазвичай поділяють на шари за хімічним складом:

  • гомосфери (до 100 км), основні складові повітря (кисень і азот) залишаються в постійній пропорції.
  • переважають гетеросфера (від 100 км до 1000 км), легкі гази, водень, азот, гелій.
  • екзосфера, (з 1000 км) найлегші молекули втікають у космічний простір, долаючи тягу Землі.

У розділі "Статистична фізика та термодинаміка" вивчається проста модель атмосфери планети, тиск і щільність експоненціально зменшуються з висотою, припускаючи, що температура залишається постійною.

Сила тертя супутника, як правило, буде залежати від його форми, щільності повітря і швидкості супутника, тому рівняння руху буде досить складним. На цій сторінці ми зробимо кілька наближень, які дозволять нам просто описати рух супутника.

Кругова орбіта

Розглянемо штучний супутник, який описує кругову орбіту навколо Землі радіусом Р.. Застосовуючи рівняння динаміки рівномірного кругового руху, маємо:

де G= 6,67 10 -11 Нм 2/кг 2, і М= 5,98 · 10 24 кг - маса Землі, а її радіус - 6370 км.

Як ми бачимо на малюнку, коли супутник описує кругову орбіту, швидкість перпендикулярна радіальному напрямку або напрямку сили притягання.

Оскільки сила притягання консервативна, енергія штучного супутника постійна в усіх точках окружності, яку він описує.

Загальна енергія І дорівнює половині потенційної енергії і є від'ємною.

Падіння руху до Землі

Коли штучний супутник падає до Землі, він спіралі. Кут, який утворює швидкість при радіальному напрямку, вже не 90є, а кут 90є-φ трохи менше. Іншими словами, напрямок швидкості трохи нижче місцевого горизонтального напрямку. Нормальний напрямок (перпендикулярний напрямку швидкості) більше не збігається з радіальним, а утворює кут φ.

На малюнку показано сили на супутнику, коли він знаходиться на відстані р від центру Землі.

  • Сила тяжіння F
  • Сила тертя О що ми будемо вважати постійну і протилежну швидкості.

Ми розбиваємо силу F у напрямку швидкості (тангенціальний), а також у напрямку, перпендикулярному швидкості (нормальний).

Рівняння руху в дотичному та в нормальному напрямку:

  • перший розповідає, як змінюється модуль швидкості v з супутника з часом.
  • друге - як змінюється напрямок швидкості

Де rc - радіус кривизни шляху, значення, відмінне від радіуса р кругового шляху із центром на Землі.

Числове рішення

макс =-FКос θ +ОСен ( θ + φ )
може =-FСен θ -ОCos ( θ + φ )

Два рівняння руху перетворюються на систему двох диференціальних рівнянь другого порядку, які вирішуються числовими процедурами, з початковими умовами t = 0, x = R, y = 0, vx = 0, vy = v0. Де v0 - швидкість штучного супутника, коли він описує початкову кругову орбіту радіуса Р..

Наближення

Роблячи деякі наближення, ми можемо описати рівняння руху штучного супутника простим способом.

Якщо припустити, що кут φ невелика, а тому складова швидкості v уздовж місцевої горизонталі є vH=vКосφ≈v, і це радіальна складова vR невелика, значить

це буде супутник, що описує кругову орбіту радіуса р зі швидкістю vH=vКосφ

Спрощення м Y р а потім дрейфуючи по відношенню до р ми мусимо

Тангенціальне прискорення дійсне, використовуючи правило ланцюга

З цих двох останніх рівнянь ми виходимо

З цим наближенням рівняння руху в тангенціальному напрямку

Кут, який вектор швидкості утворює з локальною горизонталлю, дорівнює

Ми дійшли наступного парадоксального висновку

Сила тертя збільшує модуль v швидкості супутника. Насправді саме результат двох сил (притягання та тертя) має складову у напрямку швидкості супутника, як це легко видно з діаграм на цій сторінці.

Рівняння, що дозволяють отримати положення мобільного в полярних координатах (r, θ) як функція часу т є:

Де v0 - швидкість штучного супутника на початковій круговій орбіті радіуса Р., що описує в початковий момент т= 0.

Ми розрахували початкову енергію штучного супутника в попередньому розділі. Кінцева енергія, припустивши ще раз, що штучний супутник описує майже кругову орбіту радіуса р зі швидкістю v, буде

Енергія, втрачена внаслідок тертя штучного супутника з атмосферою, є різницею

Діяльність

Завдання інтерактивної програми полягає не в обчисленні положення та швидкості штучного супутника, а в тому, щоб показати його траєкторію у формі спіралі, оскільки його швидкість зростає зі зменшенням.

Висота супутника в км над поверхнею Землі, рухаючи пальцем по смузі прокрутки з назвою Висота.

Фактор Пт/м сила тертя О до тіста м супутником, рухаючи пальцем по смузі прокрутки з назвою Тертя.

Натисніть кнопку з назвою Починається.

Спостерігається рух супутника навколо Землі, поки він не зіткнеться з її поверхнею, блакитне коло позначає початкову кругову орбіту.

Дані наводяться для часу в годинах, швидкості в м/с та висоти в км над поверхнею Землі.

Зліва зміни енергії представлені кольоровими смужками:

  • в блакитному, кінетична енергія, яка є позитивною
  • червоним - негативна потенційна енергія
  • світла лінія позначає загальну енергію І, на одиницю маси м, значення якого вказано в мільйонах Дж/кг.
  • Чорна смужка вказує на різницю між початковою та кінцевою енергією або втратою енергії внаслідок тертя, коли супутник падає до поверхні Землі.

Вводимо дані

Висота h= 5000 км

Обчислюємо кут, який утворює напрямок швидкості з локальною горизонталлю

Список літератури

Млини Б. Д. . Парадокс супутника. Am. J. Phys. 27 (1959) с. 115-117

Аронс. ДО. Аналіз F = ma спінінгової фігуристки та затухаючої орбіти супутника. Вчитель фізики 37, березень 1999, с. 154-160