Пару днів тому ми представили маленьку загадку, відому як Санкт-Петербурзький парадокс. Йдеться про a ігрові очікувана вартість якого нескінченна, а отже, справедлива ціна гри також повинна бути нескінченною, незважаючи на те, що це суперечить інтуїції та здоровому глузду. Де недолік чи улов? як ми вже говорили в оригінальному дописі, математичний результат є абсолютно правильним. Однак щось нам уникає.

рішення

Дуже цікаві ідеї та точки зору були представлені в коментарях. На мою думку, з усіх них найбільш цікавим є відображення тих, хто вважає, що "реальна" очікувана цінність гри зменшується, оскільки кількість разів, коли ми можемо грати, не може бути нескінченною, він фізично обмежений. Але навіть незважаючи на це, очікувана вартість гри все ще занадто велика, щоб справедлива ціна була розумною (наприклад, якби ми мали границю в тисячу спінів, очікувана вартість становила б 500 євро, але ймовірність того, що ми перевищимо п’ять-шість облич поспіль все ще так само віддалено).

Рішення загадки прийшло в 1738 році саме з рук Даніель Бернуллі, племінник Ніколаса Бернуллі (який запропонував парадокс), хоча Габріель Крамер Я вже передбачав результат роками раніше. Ключ у підказці, яку ми вже дали в оригінальному підході: цінність грошей Це не те саме для математиків, що і для простих смертних.

Насправді у своїй "Новій теорії вимірювання удачі" Даніель Бернуллі стверджує наступне:

функція корисності (u (x)) - це фокус, який використовують економісти, щоб мати можливість математично представити уподобання економічних агентів, і у випадку раціональної людини, хоча вона завжди зростає, вона зростає в увігнутий (тобто зростає все повільніше). Здоровий глузд підтримує цю інтуїцію. "Реальна" вартість 100 євро для того, хто має нуль, величезна (оскільки це питання виживання), але для того, хто вже має мільйон євро, вона є незначною. Іншими словами, гранична корисність грошей зменшується.

Тому ми повинні вимірювати не очікувану вартість гри, а очікувану корисність (яку ми будемо називати U). Переглядаючи формули з іншого посту, ми швидко зрозуміли б, що згадана корисність U = (1/4) u (2) + (1/8) u (4) + (1/16) u (8) +. = Σ [u (2 n)/2 n + 1], де u (x) представляє корисність отримання x євро.

Але як виглядає функція u (x)? насправді, неможливо чисельно виміряти отримане задоволення, і насправді, кожен споживач матиме власну функцію корисності (наприклад, любитель ризику сприйме в грі більш очікувану корисність, ніж дуже консервативна людина). Те, що зробили Крамер і Бернуллі, це тестування з функціями, які відповідають характеристикам, які повинна мати функція корисності: збільшення, увігнутість і нуль у початку координат (корисність, яку вона виробляє, маючи нуль євро, також дорівнює нулю).

Зокрема, Крамер перевірив цю функцію √x. Розробляючи вираз, ми побачимо, що U = Σ [2 n/2/2 n + 1] = Σ [2 - (n/2) -1]. Якщо скласти суму нескінченних доданків (що не має великих проблем, оскільки воно геометричне та збіжне), то виявиться, що очікувана корисність гри - 1,207.

Але корисність дорівнює √x, а те, що нас цікавить, це x (що представляє гроші). Отже, √x = 1,207 ⟶ x = 1457 євро. Наша справедлива ціна пішла від нескінченності до трохи менше півтора євро! Насправді це не божевільно, оскільки наприкінці дня ми маємо 50% шансів втратити вкладені гроші.

Бернуллі робив свої приклади з функцією логарифму. Якщо взяти функцію журнал (x + 1) (додаючи +1 так, щоб функція була нульовою в початковій точці), і ми повторюємо операцію, ми мали б U = Σ [log (2 n +1)/2 n + 1]. Цей ряд також сходиться, і числовий результат буде U = 0,832, а оскільки u = log (x + 1), ми отримаємо x = 1298 євро, ще менше в попередньому випадку.

Як ми коментували, вибір функція корисності суб'єктивна. Ці два приклади відповідали б дуже консервативним людям, проти яких ризик. Той факт, що ми маємо 50% шансів втратити всі гроші, різко зменшує очікувану корисність гри. Якби ми зробили невелику модифікацію в грі, щоб ті, хто отримує хвости на першому рулоні, не залишали порожніми руками, а отримували один євро, і ми знову обчислювали, ми побачили б, що за формулою Крамера ми підемо до x = 2914 євро: усуваючи ризик повернення порожнього, ми готові подвоїти інвестиції.

Ми могли б також проаналізувати інші менш консервативні функції корисності, які продовжують виконувати властивості. Наприклад, хтось, хто любить більше ризикувати з функцією корисності u = x 2/3, готовий заплатити 2668 євро за гру навіть із 50% шансом нічого не виграти. Але в будь-якому випадку, справа в тому, що навіть якщо очікувана цінність гри нескінченна, очікувана корисність не є такою, і розумна людина, хоч би і ризикував, не заплатив би дуже високу ціну за гру (насправді це майже неможливо знайти когось, хто готовий заплатити більше 10 євро).

На мою думку, подібні речі є найцікавішими Економіка: використовуйте математику для представлення таких суб’єктивних понять, як відвернення ризику. Звичайно, очевидно, моделі є моделями, і багато разів (як ми бачимо з кризою) вони з жахом провалюються.