Небесна динаміка

У розділі "Кінематика" ми вивчали рух снарядів, що описують параболічні траєкторії в локальній горизонтальній площині, припускаючи, що прискорення сили тяжіння є постійним.

На сторінці під назвою "Відкриття закону всесвітнього тяжіння" ми спостерігали, що снаряд, випущений з певної висоти, описує еліптичну траєкторію, в одному з фокусів якої є центр Землі. Параболічні траєкторії - це наближення еліптичних траєкторій, коли дальність і максимальна висота снаряда дуже малі в порівнянні з радіусом Землі.

Ми також будемо вважати, що Земля не обертається навколо своєї осі. Ефект обертання Землі буде описаний на сторінці під назвою "Відхилення падаючого тіла на схід".

На цій сторінці ми збираємося визначити траєкторію руху снаряда, який стріляв з висоти h, з початковою швидкістю v0 роблячи кут φ з радіальним напрямком.

На всій цій сторінці нам буде потрібна наступна інформація:

Радіус Землі Р.= 6,37 · 10 6 м

Маса Землі М= 5,98 · 10 24 кг

Постійна G= 6,67 10 -11 Нм 2/кг 2

снаряда

Рівняння траєкторії

Вистрілюється масовий снаряд м здалеку r0=R + h від центру Землі, зі швидкістю v0 роблячи кут φ з радіус-вектором. Кутовий момент і енергія снаряда складають відповідно

Рівняння шляху в полярних координатах дорівнює

Якщо енергія снаряда від’ємна І 6 + 6,37 10 6 м

Максимальна висота, яку досягає снаряд h= 18,03 · 10 6 -6,37 · 10 6 = 11,66 · 10 6 м

Швидкість, з якою він досягає поверхні Землі v= 8999,6 м/с

Кут стрільби становить φ= 180є.

Момент імпульсу L= 0, отже, шлях є прямою лінією через центр сил. Снаряд опускається по радіальному напрямку, поки не досягне поверхні Землі з тією ж швидкістю, яку ми розрахували в попередньому розділі.

Ми запускаємо снаряд з позиції r0= 6,0 · 10 6 + 6,37 · 10 6 м з початковою швидкістю v0= 4500 м/с у радіальному напрямку та до центру Землі

Швидкість, з якою вона потрапляє на поверхню Землі v= 8999,6 м/с

Кут стрільби становить φ= 90є.

Максимальний діапазон

Максимальний діапазон відбувається, коли перигей є Р., і апогей є r0 = h + R.

Оскільки кутовий момент та енергія постійні у всіх точках траєкторії, зокрема, в перигеї та в апогеї, ми маємо

Дані є r0 Y Р. та невідомі v Y v0. Темп стрільби становить

Приклад: Нехай h= 6000 км або відстань по радіальному напрямку r0= 12,37 · 10 6 м

Розраховуємо скорострільність, v0= 4681,969 м/с

Напівголовною віссю еліпса є до= (R + r0) /2=14,37·10 6 м

Час польоту складає половину періоду

Позиція точки удару

Як ми бачимо на малюнку, снаряд залишає позицію θ= π і впливає на позицію θ= π-α коли r = R.

миритися r = R У рівнянні траєкторії розв'язуємо для кута θ.

Продовжуючи ті самі дані з попередніх справ:

Радіальна відстань пострілу r0= 12,37 · 10 6 м

Початкова швидкість v0= 4500 м/с

Кут стрільби φ= 90є.

Отримуємо значення кутового моменту та енергії снаряда

L= 5,57 10 10 м кгм 2/с
І= -22,12 10 6 м J

Знаючи енергію та кутовий момент, визначається рівняння шляху, значення параметра d і ексцентричність ε

ε= 0,372
d= 7,77 · 10 6 м

З цими даними, поклавши р= 6,37 · 10 6 м в рівнянні траєкторії отримуємо кут θ= 0,934 рад.

Кутова відстань між точкою удару і вогневою позицією становить

α= π-0,934 = 2,20 рад

Викликається проміжок до довжини дуги s окружність Землі, що відповідає цій кутовій відстані, s = R α= 14,03 · 10 6 м

Час польоту

Затіненою областю називається область, охоплена радіус-вектором між кутовими положеннями θ та π. Іншими словами, це частина еліпса між х Y до мінус площа базового трикутника Р.Косθ і висота Р.Сенθ, буття x = -c-Р.Косθ

Знаючи, що рівняння еліпса є

де до є напівголовною віссю еліпса, b напівмалої осі, і c фокусна половина відстані.

Площа ділянки еліпса між х Y до є

Для інтеграції було зроблено зміну змінної х=доСен z. Нові обмеження інтеграції:

  • коли x = a, z2= π/2,
  • коли -Р.Косθ-c=доСен z1

Отже, затінене місце варто

Для обчислення площі нам потрібні наступні дані

до= 9,82 10 6 м

c= 3,35 10 6 м

b= 8,37 · 10 6 м

Далі отримуємо z1 яка функція кута θ= 0,934 рад ударного положення. Після деяких операцій з калькулятором ми отримуємо значення площі, охопленої радіус-вектором ДО= 1022 10 14.

Нарешті час польоту т є

Кут стрільби становить φ 6 м

Початкова швидкість v0= 4500 м/с

Кут стрільби φ= 30є.

Енергія снаряда не змінюється, але змінюється момент моменту

L= 2,78 10 10 м кгм 2/с
І= -22,12 10 6 м J

Знаючи енергію та кутовий момент, визначається рівняння шляху, значення параметра d і ексцентричність ε

ε= 0,886
d= 1,94 10 6 м

За цими даними ми обчислюємо кут, повернутий на велику вісь еліпса β =2,83 рад.

Позиція точки удару

Як ми бачимо на малюнку, ми обчислюємо кут удару, поклавши в рівняння еліпс r = R, що дає нам кут θ вказані на малюнку, так само, як і в попередньому випадку

Ми співвідносимо кути θ, α Y β. для обчислення кутової відстані α між точкою удару та вогневою позицією.

α= 2π-θ-β

з наведеними даними θ =2,47 та β =2,83 рад, кутова відстань α= 0,981 рад (56,2є)

Час польоту

Час польоту пропорційний сумі затінених еліпсом ділянок

Площі обчислюються, як і в попередньому випадку. Перш за все, нам потрібні значення параметрів еліпса:

напівголова вісь до= 9,02 10 6 м

фокусна половина відстані c= 7,99 10 6 м

напівмалова вісь b= 4,18 · 10 6 м

Ми обчислюємо площу ділянки еліпса над основною віссю, яка є площею, зміщеною радіус-вектором з кутового положення θ= 2,47 до θ= π. Ми повинні знати раніше, z1, що в свою чергу є функцією кута θ ударна позиція.

-Р.Косθ-c=доСен z1

Результат є А1= 5,1786 10 13

Ми обчислюємо площу під основною віссю, зміщену радіус-вектором з кутового положення β= 2,83 рад вгору β = π.

Ми повинні знати раніше, z1, що в свою чергу є функцією кута β= 2,83 рад, який замінює кут θ у формулі площі і r0 замінює Р.

-r0Косβ-c=доСен z1

Результат є А2= 3,6620 10 13

Кут стрільби становить φ> 90є.

Траєкторія

Снаряди стріляли під кутами φ та 180-φ мають однакову енергію і однаковий кутовий момент, шлях являє собою еліпс з однаковими значеннями параметра d, і ексцентричність ε, але його орієнтація інша.

Якщо кут стрільби дорівнює 150є, енергія та кутовий момент однакові, як при стрільбі зі снаряда на 30є

ε= 0,886
d= 1,94 10 6 м

Як ми бачимо на малюнку, траєкторія, за якою слідує снаряд, є еліпсом, але вона повернена на кут β. Цей кут обчислюється шляхом нанесення r = r0 в рівнянні шляху

За цими даними обчислюємо кут β =2,83 рад (червоний колір), який обертає велику вісь еліпса, що є рішенням, яке ми взяли в попередньому випадку, але кут - це також рішення β =2π-2,83 = 3,45 рад. (Синій колір)

Позиція точки удару

У попередньому розділі ми розрахували кут удару, поклавши в рівняння еліпс r = R, що нам дав кут θ =2,47 рад

Ми співвідносимо кути θ, α Y β. для розрахунку кута удару α.

α+θ+β-π = π або,

α =2π-β-θ =0,36 рад (20,4є)

це те саме відношення, яке ми отримали в попередньому випадку.

Час польоту

Площа, охоплена радіус-вектором від початкового положення вильоту до місця удару, є різницею двох областей

Площа А1 занесений радіус-вектором із положення θ= 2,47 до позиції θ= π

Площа А2 занесений радіус-вектором з кутового положення 2π-β = 2,83 до положення π.

Ці дві області збігаються з площами А1 Y А2 обчислюється в попередньому випадку

Діяльність

Висота h в км, звідки вистрілюється снаряд, у пункті управління редагуванням має назву Висота. Початкове положення снаряда - r0=h1000 + 6,3710 6 м

Швидкість стрільби v0 в м/с, у контролі редагування з назвою Швидкість

Кут стрільби, виміряний від радіального напрямку, діє на палець смуги прокрутки з назвою Кут

Натисніть кнопку з назвою Починається

Кути 0 та 180 Se виключаються, оскільки їх аналіз простіший і вони породжують помилки переповнення в основній процедурі обчислення.

Спостерігається рух снаряда, надаються дані кутової відстані між точкою удару на поверхню Землі і місцем запуску, а також час польоту, який використовує снаряд.

Якщо швидкість велика, може статися, що снаряд виходить на орбіту навколо Землі.

Як пропонуються вправи,

Вирішіть конкретний приклад за допомогою калькулятора, як це було зроблено на цих сторінках, і перевірте результати за результатами, наданими інтерактивною програмою

Встановивши швидкість стрільби, змініть кут стрільби і знайдіть кут, для якого дальність польоту максимальна

Встановіть висоту стрільби, знайдіть швидкість, завдяки якій снаряд описує кругову орбіту навколо Землі.