Що правда? Як відрізнити справжнє твердження від неправдивого? Давайте зараз на мить забудемо повсякденні аспекти цього питання та зосередимось на математичній істині. З часів Стародавньої Греції математики та логіки намагалися з'ясувати, які твердження відповідають дійсності - і тому їх можна вважати теоремою (теоремою), а які ні. Однак лише за останні два століття було досягнуто реального прогресу, особливо завдяки т.зв. формальна логіка.
Основою формальної логіки є формальна система. Уявіть, що ми маємо певний набір символів, за допомогою яких ми можемо написати задане твердження. Наприклад символ + представляє операцію додавання, E (або екзистенційний квантор) означає "існує, для якого він відповідає", A (або універсальний квантор) означає "для всіх". Ми також можемо використовувати логічні символи, такі як & -A, v-or, лише якщо,
заперечення та будь-яку кількість змінних, які можна позначити як x, y, z, відповідно. x 'y' z ', x' y 'z' тощо. З цих символів ми зібрали аксіоми - наріжні камені формальної системи. Аксіоми - це СПОСТЕРЕЖЕНІ істини, які більше не потрібно доводити, наприклад Aa: (a + 0) = a - для всіх a, e і плюс нуль дорівнюють a, або Aa: (a.0) = 0. У формальній системі ми маємо також т. Зв процедурні правила - які правила говорять нам про те, як створити ще одне справжнє твердження з одного істинного твердження - напр. якщо твердження Р істинне, то заперечення його заперечення також є істинним -
P = P, або якщо твердження r = s і s = t відповідають дійсності, тоді твердження r = t також відповідає дійсності. Ці правила також очевидні, вони просто є частиною світу, в якому ми живемо, або, принаймні, ми його сприймаємо. За межами аксіом залишається лише віра в їх безсумнівність, правда, людський розум може піти ще далі, і ви можете сумніватися в їх істинності, в кращому випадку ви відкриєте цілу нову математичну теорію (це сталося з евклідовою геометрією після заперечення аксіома паралелограм), nuz av horsom У цьому випадку ви розширите і без того широке коло математиків з психічними розладами.
Таким чином, за допомогою процесуальних норм ми можемо отримати з окремих аксіом істинні відп. помилкові речення, які ми також можемо потім поєднати відповідно до процесуальних норм у постійно нові та нові речення. Весь висновок математичної теореми з кількох основних аксіом називається доказом. Було б дійсно дуже приємно, не тільки для математиків, якби можна було створити офіційну систему, з якої не тільки можна було б визначити істинність або хибність будь-якого математичного твердження, але навіть у рамках цієї схеми можна було б довести, що ця система є без жодних суперечок. Англійський математик Девід Хільберт закликав створити таку систему, вони намагалися, наприклад. Рассел з Уайтхедом у їхній знаменитій праці Principia Mathematica. Але їхні зусилля були марними, оскільки в 1931 році 25-річний австрієць Курт Годель у короткому тексті під назвою "Про формально нерозбірливі властивості формальних систем" розтрощив програму Гільберта на пил і показав, що повна істина завжди буде поза людське розуміння.
Одна частина теореми Годеля є складною, і для її пояснення знадобиться ціла книга. По суті, Годель показав, що всі математичні теореми можна сортувати і, таким чином, нумерувати, і, отже, процес доведення себе є не що інше, як арифметична операція. Уявіть, що ми відсортували та пронумерували всі математичні теореми з однією змінною w, тоді кожній із цих теорем Р присвоюється число n (порядок). Насправді ми маємо твердження Pn (w), яке, якщо синтаксично правильно побудоване, повідомляє нам nirco про зв'язок між числами n і w. Крім того, усі докази - речення та правила, що ведуть до створення даного речення, можуть бути пронумеровані, і ми можемо призначити число n кожному з них, таким чином Tn позначає конкретний n-й доказ згідно з нашою схемою сортування (саме це сортування та нумерація була найчастішою частиною речення Моделі, і моє пояснення дуже, але дуже неточне, але достатнє, щоб зрозуміти основну ідею).
Тож ми можемо скласти речення:
Приклад [Tx доводить Pw (w)] - "Немає також x, також e Tx доводить Pw (w)." Це речення є дійсно правильно сформульованим реченням, оскільки, як я вже писав, завдяки нумерації Годеля операція доведення - це арифметична операція, яка може бути виражена в будь-якій формальній системі, що дозволяє арифметичні дії (наприклад, стандартна теорія чисел, і всі більш складні формальні системи). Отже, ця теорема говорить нам, що теорему Pw (w) неможливо довести. Оскільки ми фактично видалили x за допомогою екзистенціального квантора "не існує", ми маємо твердження про одну змінну w. Оскільки ми відсортували та пронумерували всі математичні теореми про одну змінну, ми також можемо присвоїти цій нашій теоремі число k "Немає такого x, що Tx доводить Pw (w)", тому насправді Pk (w) =
Ex [Tx доводить Pw (w)] .
І ось настає друга частина дивовижної думки Годеля. Розглянемо цю пропозиційну функцію для конкретного значення змінної w = k. Отримуємо речення
Ex [Tx доводить Pk (k)] = Pk (k). У твердженні Pk (k) йдеться: "Немає такого x, щоб Tx доводив твердження Pk (k)". Чи має це речення доказ у нашій офіційній системі? Чи є у її заперечення докази? Відповідь на обидва запитання - "ні". Якби дані докази існували, вирок був би вірним і говорив би нам про відсутність доказів, що, однак, означало б, що ми погано піддали нас формальній системі, оскільки це дозволяє нам доводити неправдиві твердження. Тож єдина альтернатива полягає в тому, що насправді немає жодних доказів Pk (k). І саме про це говорить нам це речення, і тому воно є правдою, тому ми знайшли справжнє твердження поза нашою офіційною системою! І яке заперечення
Pk (k)? Оскільки Pk (k) є істинним твердженням, його заперечення, твердження Pk (k) "Існує x таке, що Tx доводить Pk (k)" хибне! Однак у нашій формальній системі ми не можемо довести неправдиві твердження, і тому Pk (k) та його заперечення лежать поза формальною системою. !
Теорема Pk (k) відп. ми можемо замінити його заперечення як іншу аксіому в розширену формальну систему, але це не вирішить проблему, оскільки навіть у цій формальній системі (з абсолютно різними властивостями ми можемо досягти так званого надприродного набору, який вже є міцною кавою для у цій статті) ми отримуємо подібне твердження Pl (l) за подібним зв’язком, і те саме відбувається з нами у формальній системі, в яку ми підставили заперечення Pk (k) як аксіому. Що насправді придумав Годель? Була отримана кожна формальна система, в якій можна описати основні арифметичні дії, тобто, наприклад, дуже проста теорія чисел, вона є неповною, є багато правдивих тверджень, які просто недоказуються !
Теореми Годеля - одне з найвидатніших математичних (або логічних) речень. Пояснення того, що взяло цілу фантастичну книгу Гофштадтера «Годель, Ешер, Бах», у короткій статті, щоб усі могли її зрозуміти, але варто спробувати. Насолоджуйтесь цією метаматичною подорожжю у сферу невідомого. Принцип невизначеності Гейзенберга, теорія відносності Ейнштейна та теореми Годеля про невиведені властивості формальних систем - це 3 наукові "відкриття", які найбільше вплинули на мислення та науку 20 століття, пише у своїй захоплюючій книзі Годель, Ешер, Бах див. Дуглас Хофстадтер. Однак, хоча фрази типу "все відносно" та "акт спостереження змінює результат спостереження" фактично стали частиною фразеологічного словника, теорема Годеля майже невідома поза науковою спільнотою. На перший погляд, це дійсно дуже складна концепція, але за нею стоїть дивовижно проста ідея, яку я спробую пояснити в цьому тексті.
Що правда? Як відрізнити справжнє твердження від неправдивого? Давайте зараз на мить забудемо повсякденні аспекти цього питання та зосередимось на математичній істині. З часів Стародавньої Греції математики та логіки намагалися з'ясувати, які твердження відповідають дійсності - і тому їх можна вважати теоремою (теоремою), а які ні. Однак лише за останні два століття було досягнуто реального прогресу, особливо завдяки т.зв. формальна логіка.
Основою формальної логіки є формальна система. Уявіть, що ми маємо певний набір символів, за допомогою яких ми можемо написати задане твердження. Наприклад символ + представляє операцію додавання, E (або екзистенційний квантор) означає "існує, для якого він відповідає", A (або універсальний квантор) означає "для всіх". Ми також можемо використовувати логічні символи, такі як & -A, v-or, лише якщо,
заперечення та будь-яку кількість змінних, які можна позначити як x, y, z, відповідно. x 'y' z ', x' y 'z' тощо.
З цих символів ми зібрали аксіоми - наріжні камені формальної системи. Аксіоми - це СПОСТЕРЕЖЕНІ істини, які більше не потрібно доводити, наприклад Aa: (a + 0) = a - для всіх a, e і плюс нуль дорівнюють a, або Aa: (a.0) = 0. У формальній системі ми маємо також т. Зв процедурні правила - які правила говорять нам про те, як створити ще одне справжнє твердження з одного істинного твердження - напр. якщо твердження Р істинне, то заперечення його заперечення також є істинним -
P = P, або якщо твердження r = s і s = t відповідають дійсності, тоді твердження r = t також відповідає дійсності. Ці правила також очевидні, вони просто є частиною світу, в якому ми живемо, або, принаймні, ми його сприймаємо. За межами аксіом залишається лише віра в їх безсумнівність, правда, людський розум може піти ще далі, і ви можете сумніватися в їх істинності, в кращому випадку ви відкриєте цілу нову математичну теорію (це сталося з евклідовою геометрією після заперечення аксіома паралелограм), nuz av horsom У цьому випадку ви розширите і без того широке коло математиків з психічними розладами.
Таким чином, за допомогою процесуальних норм ми можемо отримати з окремих аксіом істинні відп. помилкові речення, які ми також можемо потім поєднати відповідно до процесуальних норм у постійно нові та нові речення. Весь висновок математичної теореми з кількох основних аксіом називається доказом. Було б дійсно дуже приємно, не тільки для математиків, якби можна було створити офіційну систему, з якої не тільки можна було б визначити істинність або хибність будь-якого математичного твердження, але навіть у рамках цієї схеми можна було б довести, що ця система є без жодних суперечок. Англійський математик Девід Хільберт закликав створити таку систему, вони намагалися, наприклад. Рассел з Уайтхедом у їхній знаменитій праці Principia Mathematica. Але їхні зусилля були марними, оскільки в 1931 році 25-річний австрієць Курт Годель у короткому тексті під назвою "Про формально нерозбірливі властивості формальних систем" розтрощив програму Гільберта на пил і показав, що повна істина завжди буде поза людське розуміння.
Одна частина теореми Годеля є складною, і для її пояснення знадобиться ціла книга. По суті, Годель показав, що всі математичні теореми можна сортувати і, таким чином, нумерувати, і, отже, процес доведення себе є не що інше, як арифметична операція. Уявіть, що ми відсортували та пронумерували всі математичні теореми з однією змінною w, тоді кожній із цих теорем Р присвоюється число n (порядок). Насправді ми маємо твердження Pn (w), яке, якщо синтаксично правильно побудоване, повідомляє нам nirco про зв'язок між числами n і w. Крім того, усі докази - речення та правила, що ведуть до створення даного речення, можуть бути пронумеровані, і ми можемо призначити число n кожному з них, таким чином Tn позначає конкретний n-й доказ згідно з нашою схемою сортування (саме це сортування та нумерація була найчастішою частиною речення Моделі, і моє пояснення дуже, але дуже неточне, але достатнє, щоб зрозуміти основну ідею).
Тож ми можемо скласти речення:
Приклад [Tx доводить Pw (w)] - "Немає також x, також e Tx доводить Pw (w)." Це речення є дійсно правильно сформульованим реченням, оскільки, як я вже писав, завдяки нумерації Годеля операція доведення - це арифметична операція, яка може бути виражена в будь-якій формальній системі, що дозволяє арифметичні дії (наприклад, стандартна теорія чисел, і всі більш складні формальні системи). Отже, ця теорема говорить нам, що теорему Pw (w) неможливо довести. Оскільки ми фактично видалили x за допомогою екзистенціального квантора "не існує", ми маємо твердження про одну змінну w. Оскільки ми відсортували та пронумерували всі математичні теореми про одну змінну, ми також можемо присвоїти цій нашій теоремі число k "Немає такого x, що Tx доводить Pw (w)", тому насправді Pk (w) =
Ex [Tx доводить Pw (w)] .
І ось настає друга частина дивовижної думки Годеля. Розглянемо цю пропозиційну функцію для конкретного значення змінної w = k. Отримуємо речення
Ex [Tx доводить Pk (k)] = Pk (k) .
У твердженні Pk (k) йдеться: "Немає такого x, щоб Tx доводив твердження Pk (k)". Чи має це речення доказ у нашій офіційній системі? Чи є у її заперечення докази? Відповідь на обидва запитання - "ні". Якби дані докази існували, вирок був би вірним і говорив би нам про відсутність доказів, що, однак, означало б, що ми погано піддали нас формальній системі, оскільки це дозволяє нам доводити неправдиві твердження. Тож єдина альтернатива полягає в тому, що насправді немає жодних доказів Pk (k). І саме про це говорить нам це речення, і тому воно є правдою, тому ми знайшли справжнє твердження поза нашою офіційною системою! І яке заперечення
Pk (k)? Оскільки Pk (k) є істинним твердженням, його заперечення, твердження Pk (k) "Існує x таке, що Tx доводить Pk (k)" хибне! Однак у нашій формальній системі ми не можемо довести неправдиві твердження, і тому Pk (k) та його заперечення лежать поза формальною системою. !
Теорема Pk (k) відп. ми можемо замінити його заперечення як іншу аксіому в розширену формальну систему, але це не вирішить проблему, оскільки навіть у цій формальній системі (з абсолютно різними властивостями ми можемо досягти так званого надприродного набору, який вже є міцною кавою для у цій статті) ми отримуємо подібне твердження Pl (l) за подібним зв’язком, і те саме відбувається з нами у формальній системі, в яку ми підставили заперечення Pk (k) як аксіому. Що насправді придумав Годель? Була отримана кожна формальна система, в якій можна описати основні арифметичні дії, тобто, наприклад, дуже проста теорія чисел, вона є неповною, є багато правдивих тверджень, які просто недоказуються !
Сумні новини? Звичайно, для переконаного математичного формаліста, але в іншому випадку це може бути не такою сумною новиною. Сам факт того, що Годель дійшов до цієї теореми, говорить щось про суть людської свідомості. Якби людський мозок був просто детермінованою системою, яка дотримується певних алгоритмів та формальних правил, Годель просто ніколи не міг би дійти до цього речення. Він дійшов до цього, тому що людина має здатність перетирати не тільки в рамках формальної системи, але й здатність підніматися вище, йти мета (meta meta, meta meta meta ad infinitum), зв’язувати та сперечатися поза будь-якою формальною системою. Ми також знаємо, що поняття математичної істини набагато ширше будь-якого формалізму. Наче зрештою Платон мав рацію і існував світ математичних ідей, прекрасний і нескінченний, який ми завжди бачитимемо лише нудною тінню.