Формальне значення, місцеве значення
Сьогодні для всіх видається природним користуватися десятковою системою числення. Суть полягає в тому, щоб помістити по 10 з кожної одиниці в іншу, більшу одиницю. Поміщаючи 10 одиниць в нову одиницю, ми говоримо, що маємо 1 одиницю десятків. 10 одиниць десяти дає 1 одиницю 100. І так далі. Значення, яке виражає, скільки цієї одиниці, формальне значеннями це називаємо. У десятковій системі числення для вираження формальних значень потрібно 10 різних знаків (цифр): від 0 до 9. Місце, де відбувається це формальне значення, підказує, яка це група, це ціна місця.
Кожне значення місця також може бути виражене 10 відповідними степенями: Тисячі = 10 3, соті = 10 2, деякі: 10 0, десяті = 10 -1 тощо. Наприклад: 34 учні = 3⋅10 + 4 учні. 134,3 означає, що у мене одна одиниця 100, у мене 3 одиниці десятків, у мене ще 4 одиниці і у мене є 3 десятих чогось. 2134,3 = 2⋅10 3 + 1⋅10 2 + 3⋅10 1 + 4⋅10 0 + 3⋅10 -1 .
Числові системи, крім десяти
Однак, якщо групування не проводиться з десятками, ми отримуємо іншу систему числення, яка також є місцевим значенням. Наприклад, нехай одиниця нашого групування дорівнює 5. Тоді ми повинні згрупувати тридцять чотири учнів із п’ятьма. Група з п’яти - це „десятка”, тобто 5 місце. Оскільки буде створено 5 груп з 5 людей, нам також знадобиться „сотня”, тобто 25 = 5 значення 2 місця. Крім того, буде ще одна група з 5 осіб, а крім них буде ще чотири. Таким чином, із тридцяти чотирьох студентів 1 група з 25, 1 група з 5 та ще чотири учні: 1⋅5 2 + 1⋅5 1 + 4⋅5 0 = 1145 У цьому випадку базове число системи числення вказується в нижньому індексі. Звичайно, у цій системі числення потрібно лише 5 формальних значень: від 0 до 4.
Зазвичай, якщоg”Позначає базовий номер системи числення, а потім будь-який N число можна записати таким чином: N = bk⋅gk + bk-1⋅g k-1 +… + b2⋅g 2 + b⋅g + b0⋅g 0 + b-1⋅g -1… Тут bk знаки, що відповідають кожному формальному значенню. У кожному випадку потрібно стільки різних формальних значень (розділові знаки, цифри), скільки базового номера системи числення. Для меншого базового числа потрібно менше формальних значень, але більше місцевих значень. у випадку системи числення з базовим числом більше десяти, проте потрібно більше десяти формальних значень і більше знаків.
Двійкова, тобто двійкова система числення
Використання системи двійкових чисел дуже поширене в комп’ютерних технологіях.
Оскільки потрібні лише два формальних значення, a 0-ра та в 1-повторно.
Однак однакова кількість вимагає набагато більше місця.
Це записано в двійковій системі числення 1000102 перепис числа в десяткову систему числення:
1000102 = 1⋅2 5 + 0⋅2 4 + 0⋅2 3 + 0⋅2 2 + 1⋅2 1 + 0⋅2 0 = 3410.
Шістнадцяткова система, тобто система числення, заснована на 16
Оскільки двійкова система числення вимагає відносно великої кількості місцевих значень, їх написання незручно і тривало на практиці. Тому переважно писати числа, записані в двійковій системі числення, в систему числення, що відповідає двом вищим степеням (8 і 16 відповідно).
Оскільки в системі числення 16 повинно бути 16 формальних значень, формальні значення від 0 до озера 9 мали бути доповнені буквами.
Отже, формальними значеннями системи числення 16 є: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; THE; B; C; D; Е; F.
Він писав у 16-значній системі числення A9B416 транскрипція числа в десяткову систему числення:
A9B416 = 10 ∙ 16 3 + 9 ∙ 16 2 + 11 ∙ 16 1 + 4 ∙ 16 0 = 10 ∙ 4096 + 9 ∙ 256 + 11 ∙ 16 + 4 = 4344410.
Перетворіть числа, записані в десятковій системі числення, в 16-значну систему числення
Запишіть число 10 у письмовій системі 4752710 число в 16-значну систему числення!
Рішення:
Утворіть залишок від заданого числа 16: 47527 = 2970 ∙ 16 + 7. Цей залишок, цифра 7, додається до найменшого місцевого значення кожного числа (16 0), записаного в 16-значній системі числення.
Виконайте частку залишкового поділу, отриманого за 2970. 2970 = 185 ∙ 16 + 10. Цей залишок, що залишився, цифра "А", що відповідає 16-значній системі числення, що відповідає 10, додається до другого (16 1) місцевого значення числа, записаного в 16-значній системі. І так далі. Алгоритм (процедура) триває до тих пір, поки фактор не дорівнює нулю.
Процедура узагальнена в таблиці:
| Операція | Співвідношення (ціле) | Залишився | Шістнадцяткова цифра | Місцеве значення |
| 47527: 16 | 2970 | 7 | 7 | 16 0 |
| 2970: 16 | 185 | 10 | THE | 16 1 |
| 185: 16 | 11 | 9 | 9 | 16 2 |
| 11:16 | 0 | 11 | B | 16 3 |
Результат: 4752710 = B9A716
Якщо число, записане в системі числення 10, не є цілим числом, ціле число і частка числа повинні бути вибрані окремо.
Перетворюючи дріб, ми не ділимо, а множимо на базове число системи числення і вся частина отриманого числа буде зліва направо до наступної цифри.
Приклад: Тому число 28.3710 переписується в 16-значну систему числення таким чином:
Вся частина (2810) перетворюється таким чином: 2810 = 1С16.
Перетворення частки 0,3710 показано в наступній таблиці:
| Операція | Співвідношення (ціле) | Залишився | Шістнадцяткова цифра | Місцеве значення |
| 0,37∙16 = 5,92 | 5 | 0,92 | 5 | 16 -1 |
| 0,92∙16 = 14,72 | 14 | 0,72 | Е | 16 -2 |
| 0,72∙16 = 11,52 | 11 | 0,52 | B | 16 -3 |
| і так далі |
Отже, результат: 28,3710≈1С, 5ЕВ16.
Контроль:
1C, 5EB16 = 1 ∙16 + 12∙16 + 5∙16 -1 +14∙16 -2 +11∙16 -3 =28 + 0,3125 + 0,0546875 + 0,002685546 =28,369873046… ≈28,3710
Примітка: Перетворена форма скінченного десяткового дробу, записана в системі числення 10, не завжди є скінченною.
Завдання
Запишіть числа в десятковій системі числення, які можна записати як \ (\ overline \) в одинадцятій системі числення та \ (\ overline \) в дев'ятій системі числення.
(Короткий збірник завдань 3975. завдання.)
Тобто: a⋅11 2 + 0 * 11 1 + b⋅11 0 = b⋅9 2 + 0⋅9 1 + a⋅9 0. Тобто отримуємо рівняння 121a + b = 81b + a, де a, b 2 + 0⋅11 1 + 3⋅11 0 = 2⋅121 + 3 = 24510 = 3029 = 3⋅9 2 + 0⋅9 1 + 2⋅9 0 = 3 * 81 + 2 = 24510 та:
40611 = 4⋅11 2 + 0⋅11 1 + 6⋅11 0 = 4⋅121 + 6 = 49010 = 6049 = 6⋅9 2 + 0⋅9 1 + 4⋅9 0 = 6⋅81 + 4 = 49010.
Якщо ви хочете розгадати загадкову біографію після цього, натисніть тут.
Про літописи старих часів
Хоча десяткова система числення є природною і звичною для нас, вона розвивалася лише поступово. Більше всього зберігає пам'ять інших систем числення і донині. Подумайте про зміну на 60, яка використовується для вимірювання часу або кута: 60 секунд 1 хвилина, 60 хвилин 1 година. Наша десяткова система числення індуїстського походження, яка прибула в Європу за посередництвом арабських країн у середні віки. За старих часів кожна культура рахувалась по-різному.
Е Шумерські та єгипетські цифри близько 3000
Єгипет
У Стародавньому Єгипті числа можна було записати до 10000 чотирма цифрами. Вони мали окремі ознаки збільшення (|: паличка для їжі), десять (∩: перевернута U-форма), сотня і тисяча. Таким чином, їх система числення була системою числення 10, але вони не використовували місцевого значення.
Вавилон, Месопотамія
В основному в Месопотамії, Вавилон 60 система числення були використані. Числа від 1 до 59 були позначені неціново, а 10 мали окремий знак. Вони розраховувались у системі місцевих цінностей від 60 до 60.
| Вавілонські цифри | Використання місцевих цінностей у Месопотамії |
THE Система числення 60 сліди вимірювання кутів та часу є.
При вимірюванні кута в градусах номер шестерні дорівнює 60. (1 ° = 60 кутових хвилин, 1 кутова хвилина 60 кутових секунд).
Подібно до часу (1 година = 60 хвилин, 1 хвилина = 60 секунд).
Підрахунок давніх греків
У давнину греки також розробили систему числення 10, але не місцеве значення. Цифри також позначені буквами алфавіту. Перші 9 цифр позначалися першими 9 буквами алфавіту, наступні 9 букв означали 9 десятих, а потім 9 сотих були ще однією літерою. Однак, оскільки алфавіт складався лише з 24 символів, вони мали окремі символи для 3 цифр. Щоб розрізнити слова та цифри, над словом, що означає число, проводили горизонтальну лінію. Тисячі також були позначені тими ж літерами, але перед нею ставилася кома. 5342 = \ (\ надбудова \).
Рахівниця також допомагала древнім народам, зокрема грекам. На зображенні праворуч зображений грецький митник, який розраховує на рахівницю.
Римська нумерологія
Римляни також писали цифри в системі числення 10, але не за місцевими значеннями, але вони також мали спеціальний знак для значень 5, 50 і 500.
Римські цифри досі відомі в європейській культурі.
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI = 11, XX = 20, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
На фасадах будівель особливо часто зустрічається, що дата закінчення будівлі вписана римськими цифрами, навіть через довгий час після поширення індоарабських цифр.
Про перепис населення майя:
Докази 3 століття показують, що майя використовували систему цінностей 20-го місця. Більше того, кілька з них були поширеними. Вони мали знаки від 1 до 19, показані на доданому малюнку. Також було вказано нуль.
На верхньому правому малюнку ми бачимо, як майя писали 20. Форма оболонки позначає нуль, і над нею ми можемо побачити 1 у "двадцятому" значенні місця.
Тут показано 20 + 1 = 21.
Один над іншим позначає число 21.
Тут інший вид їх написання номера, так званий ми можемо бачити номери голів.
Майя також використовували допомогу для підрахунку голосів. Їх рахівниця була “затягнута”. Різна кількість вузлів представляла різні значення. Це може походити від: "Я зав’яжу вузол на хустці ...".?
Про індуїстську перепис населення:
Індуси використовували десяткову систему числення, але спочатку без значення місця. III.-VI. н.е. Приблизно в 16 столітті їх почали рахувати за системою місцевих чисел. Десяткова система числення досягла їх в Європі через арабську мову в 10-11 століттях. століття.
Коментарі закриті, але трекбеки та пінгбеки відкриті.
- Математики
- Стародавні математики
- Середньовічні математики
- Сучасні математики
- Методи мислення
- Набори
- Математична логіка
- Комбінаторика
- Графіки
- Алгебра
- Теорія чисел
- Набори чисел
- Ступінь, корінь, логарифм
- Алгебраїчні вирази
- Пропорційність, пропорційність
- Рівняння, нерівності, засоби
- Функції
- Елементарні функції та їх властивості
- Серія
- Диференціальний розрахунок
- Інтегральний розрахунок
- Геометрія
- Основні геометричні поняття
- Геометричні перетворення
- Трикутники
- Прямокутники
- Багатокутники
- Захворювання
- Вектори
- Тригонометрія
- Геометрія координат
- Топологія
- Просторова геометрія
- Статистика
- Теорія ймовірностей
- Про математику
- Помітні математичні завдання
- Математичні курйози