цілі

Після завершення цього уроку ви зможете:

функцій

  • Моделюйте ситуації, які можуть бути представлені експоненціальними або логарифмічними функціями.
  • Застосовуйте моделі для вирішення проблем.

Моделювання ситуації

На уроці «Вступ до експоненціальних функцій» ми навчились отримувати формулу експоненціальних функцій відповідно до ситуацій. Тепер, коли ми знаємо, як отримати формули, ми будемо використовувати їх для вирішення реальних життєвих проблем.

Популяція птахів спочатку налічує 50 особин і потроюється кожні 2 роки.

  1. Яка формула функції, що представляє приріст популяції птахів?
  2. Скільки є птахів через 4 роки?
  3. Через скільки часу популяція птахів становитиме 1000 особин?

    Яка формула функції, що представляє приріст популяції птахів?

Якщо x являє собою кількість минулих років, виходячи з того, що ми дізналися на уроці «Вступ до експоненціальних функцій», ми знаємо, що формула сукупності така:

Скільки є птахів через 4 роки?

Використовуючи формулу для x = 4, сукупність буде такою:

f 4 = 50 × 3 4 2 = 50 × 3 2 = 450

Через 4 роки буде 450 птахів.

Через скільки часу популяція птахів становитиме 1000 особин?

Ми хочемо знайти значення x, для якого f (x) = 1000:

fx = 50 × 3 x 2 1000 = 50 × 3 x 2 20 = 3 x 2 ln (20) = ln (3 x 2) ln (20) = x 2 ln (3) 2 ln (20) ln (3) = xx = 5,4

Популяція птахів становитиме 1000 особин через 5,4 року.

Хворому дають 50 міліграм певного препарату. Кількість міліграмів, що залишилися в крові пацієнта, зменшується на третину кожні 5 годин.

  1. Яка формула функції, яка представляє кількість препарату, що залишається в крові пацієнта ?
  2. Скільки міліграмів препарату залишається в крові пацієнта через 3 години?
  3. Через скільки часу в крові пацієнта залишиться лише 1 міліграм препарату?

    Яка формула функції, яка представляє кількість препарату, що залишається в крові пацієнта ?

Якщо x являє собою кількість годин, що пройшли, формула кількості ліків у крові крові пацієнта:

f x = 50 × 1 3 x 5

Скільки міліграмів препарату залишається в крові пацієнта через 3 години?

Використовуючи формулу для x = 3:

f 3 = 50 × 1 3 3 5 = 50 × 1 3 0,6 ≈ 25,86

Через 3 години в крові пацієнта залишається приблизно 25,86 міліграма препарату.

Через скільки часу в крові пацієнта залишиться лише 1 міліграм препарату?

Ми хочемо знайти значення x, для якого f (x) = 1:

fx = 50 × 1 3 x 5 1 = 50 × 1 3 x 5 1 50 = 1 3 x 5 ln 1 50 = ln 1 3 x 5 ln (1 50) = x 5 ln (1 3) 5 ln (1 50 ) ln (1 3) = xx ≈ 17,8

Приблизно через 17,8 години в крові пацієнта залишиться лише 1 міліграм препарату.


Пошук функції за заданими значеннями

У ході наукового дослідження популяція мух зростає в геометричній прогресії. Якщо через 2 дні мух 100, а через 4 дні 300 мух.

  1. Яка формула функції, яка представляє зростання популяції мух?
  2. Скільки є мух через 5 днів?
  3. Через скільки часу популяція мух становитиме 1000 особин?

    Яка формула функції, яка представляє зростання популяції мух?

Поки ми говоримо про експоненціальне зростання, ми шукаємо функцію виду:

f x = y 0 × a x b

Де x - кількість минулих днів. Проблемні умови дозволяють нам створити таку таблицю:

х два 4
f (x) 100 300

Значення в таблиці вказують на те, що популяція мух потроїлася за 2 дні, що дозволяє записати формулу так:

f x = y 0 × 3 x 2

Ми знаємо, що f (2) = 100. Замінивши у формулі, щоб знайти y0:

f 2 = y 0 × 3 2 2 100 = y 0 × 3 1 y 0 = 100 3

Нарешті, формула зростання мух така:

f x = 100 3 × 3 x 2

Скільки є мух через 5 днів?

Використовуючи формулу для x = 5, популяція буде такою:

f 5 = 100 3 × 3 5 2 f 5 ≈ 520

Через 5 днів буде приблизно 520 мух.

Через скільки часу популяція мух становитиме 1000 особин?

Ми хочемо знайти значення x, для якого f (x) = 1000:

fx = 100 3 × 3 x 2 1000 = 100 3 × 3 x 2 30 = 3 x 2 ln (30) = ln (3 x 2) ln (30) = x 2 ln (3) 2 ln (30) ln ( 3) = xx ≈ 6,19

Популяція мух становитиме 1000 особин приблизно через 6,19 днів.

У вас є культура бактерій у лабораторії, і відомо, що її ріст експоненціальний. Кількість культури бактерій становила 800 через 1 хвилину та 1280 через 2 хвилини.

  1. Яка формула функції, яка представляє ріст культури бактерій?
  2. Скільки бактерій залишається через 5 хвилин?
  3. Через скільки часу кількість бактерій становитиме 10000?

    Яка формула функції, яка представляє зростання популяції мух?

Поки ми говоримо про експоненціальне зростання, ми шукаємо функцію виду:

f x = y 0 × a x b

Де x - кількість минулих хвилин. Проблемні умови дозволяють нам створити таку таблицю:

х 1 два
f (x) 800 1280

Проміжок часу між двома спостереженнями становить 1 хвилину. Ми хочемо знайти фактор зростання в періоді часу. Тобто ми хочемо знайти a з даними в таблиці:

a × 800 = 1280 a = 1,6

Що вказує на те, що через 1 хвилину коефіцієнт росту становив 1,6. Замінивши ці значення у формулі, ми маємо:

Ми знаємо, що f (1) = 800. Замінивши у формулі, щоб знайти y0:

f 1 = y 0 × 1,6 1 800 = y 0 × 1,6 y 0 = 800 1,6 та 0 = 500

Нарешті, формула росту бактерій така:

Скільки бактерій залишається через 5 хвилин?

Використовуючи формулу для x = 5, популяція бактерій буде такою:

f 5 = 500 × 1,6 5 f 5 ≈ 5242,88

Через 5 днів там буде приблизно 5242,88 бактерій.

Через скільки часу кількість бактерій становитиме 10000?

Ми хочемо знайти значення x, для якого f (x) = 10000:

f x = 500 × 1,6 x 10000 = 500 × 1,6 x 20 = 1,6 x ln (20) = ln (1,6 x) ln (20) = x ln (1,6) ln (20) ln (1,6) = x x ≈ 6,37

Кількість бактерій становитиме 10 000 приблизно через 6,37 хвилин.


Постійний інтерес

Експоненціальні функції використовуються для моделювання безперервного інтересу наступним чином:

Якщо початкова сума грошей P інвестується за річною процентною ставкою i. Сума грошей через t років інвестування підлягає a постійний інтерес задається наступною формулою:

Знайдіть суму грошей, яку отримаєте через 3 роки, якщо 3000 доларів вкладено під процентну ставку 7% на рік, за умови постійних відсотків.

Використовуючи формулу з P = 3000 $, r = 0,07 та вирішуючи для t = 3, маємо:

f 3 = 3000 × e 3 × 0,07 f 3 ≈ 3701,03

Через 3 роки сума грошей становитиме приблизно 3701,03 дол.

Скільки часу знадобиться для того, щоб вартість інвестиції в 1000 доларів подвоїлася, якщо поточна процентна ставка становить 8,5% на рік?

Використовуючи формулу з P = $ 1000, r = 0,085. Ми хочемо знайти значення t, для якого f (t) = 2000.:

f t = 1000 × e 0,085 t 2000 = 1000 × e 0,085 t 2 = e 0,085 t ln (2) = ln (e 0,085 t) ln (2) = 0,085 t ln (e) ln (2) 0,085 = t t ≈ 8,15

інвестиція подвоїться в ціні приблизно через 8,15 років.

Резюме

Тепер, коли ви закінчили цей урок, ви можете: