Matemotion

Цими днями я перечитав деякі статті з цікавої книги популяризатора Яна Стюарта, “Шалений за математикою", Що змусило мене задуматися про те, щоб написати запис у" Зошиті наукової культури "про дві ігри на винахідливість, які автор пояснює в книзі," Chomp "та" Yucky choccy ", в які грають із типовим прямокутним шоколадом бруски. Але іноді я трохи розкиданий, і поки я працював над введенням цієї статті, це стало цілим дописом, в якому ми будемо говорити про деякі геометричні конструкції шоколадних батончиків, і ми залишимо мозку для всередині п’ятнадцять днів.

Геометрія традиційних шоколадних плиток проста і дуже практична. Простий, оскільки таблетка має прямокутну форму і позначена горизонтальними та вертикальними лініями, однаково рознесеними в кожному напрямку, що створюють мережу невеликих рівних квадратних або прямокутних порцій, унцій, на які розділена шоколадна таблетка і які є мінімальними одиниці, щоб з’їсти цей смачний делікатес, приготований з какао. І практично, оскільки ця мережа горизонтальних і вертикальних ліній дозволяє легко вирізати планшет, щоб з’їсти ту порцію, яка найбільше відповідає вашим побажанням.

блокнот
Типовий дизайн шоколадних батончиків

Однак шоколадні плитки також можуть мати набагато більше художнього дизайну, навіть там, де геометрія відіграє важливу роль. Майстер шоколадного мистецтва Барселони Енрік Ровіра [www.enricrovira.com] розробив проект шоколадних батончиків під назвою „Rajoles d'author"(У каталонському" rajoles "означає як" таблетки ", так і" плитки "), в якому дизайнер або дизайнер, запрошений ним, починаючи з класичної барселонської плитки (відомої як"Роза Барселони”І чиїм дизайном може бути робота архітектора-модерніста Жозепа Пуїга і Кадафальча (1867-1956); що, до речі, дуже схоже на типову плитку Більбао), йому довелося зробити новий дизайн шоколадної плитки.

Типова барселонська черепиця та плитка шоколаду, натхненна нею, дизайн Енріка Ровіри

Я знав цей проект, який поєднує мистецтво та гастрономію через шоколад "Піфагор”, У розробці якого брав участь математик з Ейбара Енріке Зуазуа (професор-дослідник Ікербаску в BCAM - Баскському центрі прикладної математики [www.bcam.es]). Але перед тим, як описати цей дизайн, ще одне з творінь Енріка Ровіри з шоколадного «раджолу» було натхнене, як інакше, шестигранною мозаїкою плитки, яку архітектор Барселони Антоні Гауді (1852-1926) створив для підлог Каса Міла, відомий як La Pedrera, який знаходиться на Пасео де Грасія в Барселоні.

Шестигранна мозаїка підлог Casa Milá, дизайн Антоні Гауді Шоколадна плитка «Hexàgon Gaudí», розроблена майстром шоколатьє Енріком Ровірою

Ця прекрасна шестикутна модерністська плитка Антонія Гауді, який так любив використовувати геометрію у своїй архітектурі (як з структурних, так і з естетичних міркувань), пов’язана з цікавим математичним результатом. Загальновідомо, що існує лише три можливі типи звичайної черепиці, при якій плитки мають форму правильного багатокутника (якщо черепиця є регулярною, це означає, що сторони плиток однакові по довжині, а кути їх рівні, і звичайно, мова йде про плитку, де сторона однієї плитки повністю прилипає до сторони іншої плитки, і не лише частково). Три можливі регулярні мозаїки - це ті, що виготовлені з рівносторонніми трикутниками, квадратами та правильними шестикутниками.

Три правильні плитки, використовуючи рівносторонні трикутники, квадрати та правильні шестикутники

Якщо ми подивимось на будь-яку вершину плитки (див. Попереднє зображення), певна кількість плиток сходиться там. У випадку трикутної мозаїки, 6 рівносторонніх трикутників з'єднані в кожній вершині, оскільки внутрішній кут рівностороннього трикутника дорівнює 60 °, а 6 х 60 ° = 360 °, що є повним поворотом навколо вершини. Під час теселяції квадратами з’єднуються 4 із цих багатокутників, кожен із внутрішнім кутом 90º у вершині та 4 x 90º = 360º. Нарешті, внутрішні кути шестикутників дорівнюють 120 °, що узгоджується з тим фактом, що навколо кожної вершини плитки за допомогою шестикутників на «фігурі» навколо вершини є рівно три шестикутники (тобто 120 ° х 3 = 360 °).

На даний момент питання полягає в тому, чи можливо більше використання плитки з використанням регулярних багатокутників. Відповідь випливає з фігури вершини мозаїки, оскільки з огляду на тесселяцію, навколо вершини є певне число n плитки, тоді кути багатокутника становитимуть 360º/n, тож давайте подивимось, які можливості існують ... 360º/2 = 180º (що не дає нам багатокутника), 360º/3 = 120º (шестикутник), 360º/4 = 90º (квадрат), 360º/5 = 72º (немає багатокутник правильний із внутрішнім кутом 72º), 360º/6 = 60º (трикутник), і більше немає можливостей, які дають нам багатокутник. Отже, ми щойно довели таку теорему:

Єдиними регулярними поруч плитками є ті, що утворені з рівносторонніми трикутниками, квадратами або правильними шестикутниками.

До речі, що внутрішні кути п'ятикутника вимірюють 108º, семикутника 128,6º, і взагалі для правильного многокутника n з боків, неважко помітити, що внутрішній кут є (n-2) x 180º/n.

Але давайте перейдемо до дизайну шоколадної плитки "Піфагор". Це зробив хорватський дизайнер Сантос Бреганья. У його статті для порталу divulgamat ви можете прочитати пояснення, яке він писав про його дизайн.

В той час як в дизайні “хокодоз"Емілі Падрос, також для проекту Енріка Ровіри, дизайнер вважав" химерно різні порції для різних бажань "(до цього дизайну ми повернемось пізніше), Сантос Бреганья пропонує розкласти шоколад у плитці на трикутні частини різної форми (тобто порції - це прямокутні трикутники з різною довжиною боків), але які мають однакову поверхню, однакову кількість шоколаду. Ідея, яка спала на думку дизайнеру, який отримав нагороду Sphere (Клуб художнього директора Нью-Йорка) за роботу в ресторані Mugaritz, полягала в тому, щоб почати з початкового квадрата (це форма всієї таблички) і повернути його, але не виходячи з його периметра, тобто одночасно з тим, як він обертається, необхідно зменшити квадрат у розмірі. Таким чином, у кожному повороті генеруються квадратні трикутники між попереднім квадратом і щойно намальованим (як показано на зображенні).

Ескіз Сантоса Бреганьї, в якому він намагається підхопити ідею повернути квадрат всередину, щоб створити трикутники різного розміру, але мають однакову поверхню.

Щоб здійснити цю ідею так, щоб усі трикутники, що з’являються в поворотах, а також чотири, що генерують діагоналі на останньому квадраті, центральному, мали однакову поверхню, Сантос Брагадо звернувся до математика Енріке Зуазуа, тоді наукового режисера з BCAM, який допоміг дизайнеру розробити математичну частину роботи.

Геометричне вирішення проблеми, поставленої Сантосом Бреганьєю, про розкладання квадратного шоколадного батончика на прямокутні трикутники тієї самої поверхні «Піфагор», шоколадний батончик Енріка Ровіри, спроектований Сантосом Бреганья, за співпраці математика Енріке Зуазуа

Можливо, це через мій інтерес до теореми Піфагора (див. Деякі з попередніх записів у розділі «Матемоцій» Зошита наукової культури), але остаточне оформлення шоколадної плитки «Піфагор”Сантос Бреганья нагадує мені теорему Піфагора. Центральна частина, тобто останні два квадрати та діагоналі центрального квадрата, є наочним доказом теореми Піфагора для випадку прямокутного трикутника, катети якого мають однакову міру.

Наочне доведення теореми Піфагора для випадку прямокутного трикутника, катети якого мають однакову міру

Хоча кожне з поколінь чотирьох трикутників кожного повороту, вони нагадують мені про наочну демонстрацію теореми Піфагора, яку ми бачили у статті в Зошиті наукової культури “Піфагор без слів”, Для приватного випадку прямокутного трикутника, який генерується як нова трикутна унція шоколадної плитки.

Безсловесне доведення теореми Піфагора

Але шоколад - це перш за все приємність для смаку, тож ми згадаємо тут слова дизайнера Сантоса Брагадо у своїй статті про розголошення ...

"Від фізичного задоволення, самопочуття через вживання калорій - наприклад, в прохолодний осінній день після підйому на гору, через викликання та спогади, які врятує смак, після фізіологічної подорожі через органи чуття - механічні відчуття шоколаду добре помірні (правильно кристалізовані), складні аромати, гіркі, кислі, солодкі, пряні, квіткові аромати ...... Приховані аромати, які виділяються на небі лише після розплавлення найжирніших молекул, які також захоплюють цукор, теобромін, фенілетиламін, цефеїн тощо. і ті відкриті двері мозку, які показують забуті кімнати, ніжні почуття та старі спогади, - шоколад також дає нам усі види фізичних відчуттів, які супроводжують змішані емоції, почуття та думки. Але з усіх цих задоволень нам залишається той, який Піфагор претендує на нас як на небесну расу, що відображає насолоду, що дозволяє нам споглядати зрозуміле, чисту геометрію ".

Під час цієї подорожі геометричними малюнками шоколадних батончиків майстра шоколаті Енріка Ровіри, або для нього, ми залишили дизайн, не відвідуючи “хокодоз"Дизайнером Емілі Падрос, в якому пропонувались" химерно різні порції для різних бажань ", і до якого ми коротко повертаємось зараз.

Шоколадна таблетка "хокодоз" Енріка Ровіри, дизайнер Емілі Падрос

Як видно на зображенні, Емілі Падрос, щоб створити порції різного розміру для різних бажань, як показано на зображенні для різного часу доби, створює мережу вертикальних і горизонтальних ліній, які не мають однакового інтервалу, тому вони створюють прямокутні порції різної пропорції.

Було б цікаво дізнатись, які пропорції ви використали для цього. Мережа вертикальних і горизонтальних ліній за своїм дизайном нагадує нам про дві серії вимірювань, розроблених французьким архітектором Ле Корбюзьє (1887-1956) у своїй роботі "Модулор”, Та сітки, пов’язані з ними.

Модулор - це система гармонічних вимірювань, яка починається з людського масштабу, який застосовується універсально в архітектурі та дизайні і базується на золотому перетині та послідовності Фібоначчі. Вимірювання починаються з вимірювання людини з піднятою рукою (226 см) і від її половини, висоти пупка (113 см), і помножуючи і ділячи послідовно на золоте число, отримують так званий блакитний ряд, а з другої так само червоною. І з них він будує кілька сіток прямокутників, які будуть використовуватися в архітектурі.

Серія вимірювань Ле Корбюзьє в системі Модулора прямокутників, створених на основі вимірювань Модулора

Хоча Падрос не використовує розподіл Ле Корбюзьє вертикальних і горизонтальних ліній. Було б цікаво дізнатись, яких пропорцій використовував дизайнер для свого створення. На чому ви базували свою шкалу.

Нарешті, невеликий роздум про революцію, яка стосується 3D-принтерів у світі дизайну, також у гастрономії. На наступному зображенні зображено геометричні фігури, надруковані цукром на 3D-принтері, але їх можна також надрукувати і шоколадом.

3D-революція також входить в гастрономію

І не забувайте, що наступного тижня ми будемо грати з шоколадом.

Бібліографія

1.- Ян Стюарт, Шалений за математикою, Критика, 2005.

2.- Енрік Ровіра (головний шоколатьє)

4.- Антоні Гауді, Каса Міла (La Pedrera)

5. - Олександр Агінагальде Нафаррате, Педро Алегрія Ескверра,

Рауль Ібаньєс Торрес, Альваро Лозано Рохо, Марта Мачо Штадлер, Begirada matematiko bat, Уявна, Математичний погляд, (дидактичний посібник виставки), 2011. [PDF]

8. - Le Corbusier, El modulor (2 томи), апостроф, 2005.

Про автора: Рауль Ібаньєс - професор кафедри математики УПВ/ЄГУ та співробітник кафедри наукової культури