Тверда жорстка
Діяльність
Гойдалки використовуються двома різними способами:
Дитина сидить на дошці, і людина періодично і фазово штовхає своїм рухом, щоб збільшити або зберегти амплітуду коливань гойдалки.
Дитина, яка сидить на гойдалці, вертикально стоячи на дошці, рухається своїм тілом, щоб збільшити амплітуду коливань.
Щоб якісно пояснити роботу цієї самохідної гойдалки, ми припустимо, що центр мас дитини раптово піднімається або опускається в певних положеннях коливань.
Буде проведено спрощений аналіз, в якому дитина розглядається як точкова маса, розташована в центрі маси, яка може піднімати або опускати свою c.m. довжина δ завдяки дії внутрішніх сил. Також нехтуватимуть тертям повітря та віссю гойдалки.
Етапи руху
У цьому розділі ми зробимо детальний аналіз кожного з етапів циклу коливальних коливань.
Перший етап
Гойдалки залишають положення θ0 з нульовою початковою кутовою швидкістю ω= 0. Досягти положення рівноваги θ= 0, з кутовою швидкістю ω1, який розраховується із застосуванням принципу збереження енергії.
де md 2 - момент інерції точкової маси м як далеко d осі обертання O.
Початкова загальна енергія становить E1=мгд(1-cosθ0)
Другий етап
Коли гойдалки досягають положення рівноваги θ= 0, дитина піднімає свій центр маси (c.m.) на відстань δ. У цей точний момент момент сил, що діють на коливання, дорівнює нулю (всі сили проходять через початок координат O), момент моменту залишається постійним.
Початковий кутовий момент становить md 2 ω1
Остаточний кутовий момент становить m (d-δ) 2 ω2
Кінцева кутова швидкість ω2 збільшується із зменшенням відстані до осі обертання.
Загальна енергія становить
Енергетичний баланс
Обчислюємо в положенні рівноваги θ= 0, початкова енергія, кінцева енергія та робота, яку внутрішні сили докладають, щоб підняти висоту δ дитячий центр маси.
Початкова енергія становить
Кінцева енергія є
Щоб дитина підняла положення свого центру мас δ, повинен робити роботу. Мінімальна сила F що вони повинні напружувати свої м'язи, це має компенсувати суму ваги мг і відцентрова сила mω 2 x. Буття х відстань від центру маси до осі обертання O.
Постійність моменту імпульсу в положенні рівноваги θ= 0 дає нам значення кутової швидкості ω коли c.m. знаходиться на відстані х осі обертання O
md 2 ω1= mx 2 ω
Сила F має такий самий сенс, як переміщення, робота позитивна
Ми виявили, що робота внутрішніх сил, спрямована на підняття м.кв. дорівнює різниці між кінцевою та початковою енергією.
Третій етап
Зараз у нас ситуація, протилежна першій стадії, коливання з початковою кутовою швидкістю ω2 в положенні θ= 0, досягає максимального кутового зміщення θ1. Застосування принципу збереження енергії
Максимальний кут θ1 що відхилення гойдалки - це поєднані попередні вирази
Що d>(d-δ) виявляється, що θ1>θ0
Загальна енергія становить
E2=мг(d- δ) (1-cos θ1)+мг δ = мгд (1-cos θ1)+мг δ cos θ1
Четвертий етап
У кутовому положенні максимальне відхилення θ1, кутова швидкість ω= 0. Дитина опускає положення свого центру мас в δ.
Єдина зміна, яку зазнає система, - це зменшення потенційної енергії внаслідок роботи внутрішніх сил. Розміщення на осі О на нульовому рівні потенційної енергії.
ΔЕп=-мгдcosθ1+мг(d-δ) cosθ1= -mgδcosθ1
Загальна енергія становить
П’ятий етап
Подібно до першого етапу, гойдалка рухається до стабільного положення рівноваги θ= 0, що досягає з кутовою швидкістю ω3. Застосування принципу збереження енергії
Загальна енергія становить E3
Шостий етап
Шостий етап подібний до другого етапу. У стабільному положенні рівноваги центр мас піднімається у висоту δ. Кутова швидкість знову збільшується від ω3 до ω4. Постійність моменту імпульсу в стабільному положенні рівноваги θ= 0, дає нам значення кінцевої кутової швидкості ω4.
Загальна енергія становить
Сьомий етап
Сьомий етап подібний до третього етапу. Розмах починається зі стабільного положення рівноваги θ= 0, з початковою кутовою швидкістю ω4, досягаючи максимального переміщення θ2 отримані шляхом застосування принципу збереження енергії
Що ω4> ω3 максимальне переміщення θ2 > θ1
Ми зв’яжемо два переміщення, використовуючи формулу
Загальна енергія становить
E4=мг(d- δ) (1-cos θ2)+мг δ = мгд (1-cos θ2)+мг δ cos θ2
Восьмий етап
Загальна енергія становить
Розмахуйте рівняння руху між середнім та крайнім положеннями
Рівняння руху гойдалки між крайніми положеннями θi (i = 0, 1, 2,3 .) та стабільне положення рівноваги θ =0, такий самий, як у маятника довжини l = d, l = d-δ, залежно від відстані між м.кв. і вісь О гойдалки.
Момент моменту руху частинки маси м щодо походження O - добуток моменту інерції мл 2 за кутовою швидкістю ω, L = мл 2 ω
Момент М сил, що діють на частинку відносно початку координат O є
М = -mglсенθ
Рівняння руху таке дл/дт = М записується як диференціальне рівняння
Початкові умови залежать від кожного етапу руху:
- На першому етапі, l = d, θ = θ0, dθ/dt =0
- на третьому етапі, l = d- δ, θ =0, dθ/dt = ω2
- на п’ятому етапі, l = d, θ = θ1, dθ/dt =0
- на сьомому етапі, l = d- δ, θ =0, dθ/dt = ω4
- і так далі.
підсумовуючи
Гойдалки повинні спочатку бути зміщені на кут θ0> 0, щоб механізм, описаний на цій сторінці, міг працювати.
М.кв. дитини миттєво піднімається і опускається під дією внутрішніх сил, в положенні рівноваги та в положеннях максимального переміщення.
За допомогою описаного механізму робота внутрішніх сил (дія м’язів) вкладається у збільшення максимального зміщення гойдалки так, щоб θ0 δ/д від c.m. дитини в крайніх положеннях і в середині коливань.
Приклад
Початкове кутове зміщення θ0= 10є
Переміщення c.m. δ= 6см = 0,06м
Стартова дистанція d= 1,0 між c.m. і вісь обертання O.
Повний цикл роботи гойдалки показаний на малюнку
1.-Початкова енергія становить E1=мгд(1-cosθ0) =м9,8 1,0 (1-cos10є) = 0,15м
2. -Застосовано принцип енергозбереження. Кутова швидкість ω1 в положенні рівноваги знаходиться
3.-Центр маси піднімається, кутовий момент зберігається
md 2 ω1 = m(d-δ) 2 ω2, ω2 = 0,62 рад/с
Загальна енергія становить
4.-Кінетична енергія перетворюється в потенційну енергію, коливання відхиляється на кут θ1
5.-Центр маси опускається вниз, загальна енергія становить
E5=м9.8·1 (1-cos11є) = 0,18м
6.-Застосовано принцип збереження енергії. Кутова швидкість ω3 в положенні рівноваги знаходиться
7.-Центр маси піднімається, кутовий момент зберігається
md 2 ω3 = m(d-δ) 2 ω4, ω4 = 0,68 рад/с
Загальна енергія становить
8.-Кінетична енергія перетворюється в потенційну енергію, коливання відхиляється на кут θ2
9.-Центр маси опускається вниз, загальна енергія становить
E9=м9.8·1 (1-cos12є) = 0,22м
10.-Починається новий цикл.
Максимальні переміщення можна розрахувати за формулами
Ми застосовуємо ту саму формулу для розрахунку максимального переміщення θ2, відомі θ1.
і так далі.
Інтерактивна програма була розроблена таким чином, щоб забезпечити максимальне переміщення θi (i = 0, 1, 2,3 .) не зростає безкінечно. Коли це переміщення перевищує 75є, відчуття δ. М.кв. опускається, коли гойдалка проходить через положення балансу θ =0 шляхом зменшення кутової швидкості замість її збільшення. З енергетичної точки зору ми скажемо, що внутрішні сили виконують негативну роботу, завдяки якій кінцева енергія стає меншою за початкову.
Розмах зменшується в амплітуді в кожному циклі свого коливального руху, поки не зупиниться через теоретично нескінченний час. На практиці тертя з повітрям та віссю та інші змінні, які не враховувались у цій спрощеній моделі, змушують її зупинятися через певний час.
Діяльність
Початкове кутове зміщення θ0> 0, кут у градусах у елементі керування редагуванням із назвою Стартовий кут
Переміщення δ центру мас, в см, вибрано число в контрольному відборі з назвою Водотоннажність м.
Початкова відстань від c.m. до осі обертання O встановлюється d= 1,0 м.
Натисніть кнопку з назвою Починається
Спостерігається рух гойдалки, і зміна положення c.m. дитини, представленої червоною крапкою, коли гойдалки проходять через положення максимального зміщення ω= 0, для стабільного положення рівноваги θ= 0.
На правій стороні аплету відображається загальна енергія гойдалки. Нульовий рівень потенційної енергії встановлений у нижній частині траєкторії см, тобто в положенні см. коли гойдалка знаходиться в рівновазі θ0= 0. Ми можемо спостерігати, де загальна енергія змінюється, а де вона зберігається, перетворюючи потенційну енергію в кінетичну і навпаки.
Список літератури
Tea P., Falk H. Накачування на гойдалці. Am. J. Phys. 36 (1968) 1165-1166