Matemotion

Проблеми з вагами та вагами дуже поширені в рекреаційній математиці. Перевірка книги 100 великих проблем елементарної математики - 100 великих проблем елементарної математики Я згадував класичну проблему ваги XVII століття, і мені було цікаво, зважаючи на її привабливість, зацікавленість та простоту, згадувати її в цьому розділі Зошита наукової культури.

Проблему запропонував французький математик, лінгвіст, філософ і поет Клод Гаспар Баше де Мезіріак (1581-1638), який здійснив латинський переклад і видання твору в 1621 році Арифметика грецького математика Діофанта (3 ст.) у його книзі Проблеми Plaisants et Délectables, Qui se font para les names - приємні та смачні проблеми, що виникають із цифрами (1612).

проблема
Картина, невідомого автора, французького математика Клода Гаспара Баше де Мезіріака

Задача, запропонована французьким математиком, виглядає так:

Проблема ваги Баше де Мезіріак: Визначте найменшу кількість ваг та їх вагу в кілограмах *, необхідну для зважування будь-якої кількості кілограмів від 1 до 40, включаючи обидва (без визнання дробів).

[* В оригінальному тексті це фунти]

Хоча це прямо не зазначено в тексті задачі, воно має на увазі той факт, що зважування проводяться з вагою з двома плечами або, відповідно, з двома пластинами, так що ваги можуть бути розміщені на будь-якій з двох пластини для отримання бажаної ваги (подібної до тієї, яку ми можемо побачити на наступному зображенні, хоча з ліцензією, що та, що на зображенні, не буде мати ваг, про які ми говоримо). Таким чином, якщо у вас вага 9 кілограмів і ще 5 кілограмів, ви можете зважити 4 кіло апельсинів, поклавши вагу 9 кілограмів в одну з тарілок, а в іншу вагу 5 кілограмів разом з апельсинами. Математично ми робимо операцію віднімання, 9 кілограмів - 5 кілограмів = 4 кілограми.

Тобто, враховуючи деякі ваги з певними вагами, можна зважити будь-яку величину, отриману як додавання або віднімання значень ваг.

Вага двома руками або двома пластинами

У кн 100 великих проблем елементарної математики по суті виникає та сама проблема, хоча твердження вже включає інформацію про те, що існує 4 ваги, з трохи більш привабливою літературою для загального читача.

Проблема: Купець мав вагу 40 кілограмів *, але він впав і розбився на 4 різні частини. Коли зважували шматки, було встановлено, що кожен з них важив точну кількість кілограмів, і що між чотирма можна зважувати будь-яку кількість кілограмів * від 1 до 40. Скільки кілограмів * важить кожен із шматків?

Будемо міркувати подібним чином, як це робив Баше 400 років тому. Ідея Бачета полягає в тому, щоб почати з двох ваг, щоб ми могли зважувати що завгодно від 1 до n, для n якомога більший. Очевидно, що рішенням є два ваги по 1 і 3 кілограми, за допомогою яких можна досягти ваги від 1 до 4 кілограмів:

1 = 1, 2 = 3 - 1, 3 = 3 і 4 = 1 + 3.

Пам'ятайте, що додавання означає покладання ваг на одну тарілку, тоді як віднімання означає покладання їх на різні пластини.

Однак для інших сум ми мали б таку ж кількість песо, але не від 1 до n. Наприклад, при вазі 2 і 3 кілограми ви отримуєте 1, 2, 3 і 5 кіло, але не 4 кіло.

Тепер ми повинні були б побачити, яку вагу додати, щоб отримати всі ваги від 1 до n, для n більше 4. Оскільки ми вже маємо два ваги 1 і 3 кілограми, і нам вдалося зважити всі ваги від 1 до 4 кіло, нам потрібно взяти вагу, різниця з максимально досягнутим на сьогодні 4 кіло, - наступна вага, 5 кілограмів (отже, 9 кілограмів, оскільки 9 - 5 = 4, або те саме, 9 = 2 х 4 + 1), оскільки саме так отримують усі кількості від 5 кілограмів до цієї кількості, 9 кілограмів, коли віднімаємо з 9 кілограмів (тобто ставимо на іншу тарілку) всі суми від 1 до 4:

5 = 9 - 4 = 9 - (1 + 3), 6 = 9 - 3,

7 = 9 - 2 = 9 + 1 - 3, 8 = 9 - 1, 9 = 9.

Але крім того, ми також можемо отримати всі ваги від 9 до 9 + 4 = 13 кілограмів:

10 = 9 + 1, 11 = 9 + 2 = 9 + 3 - 1,

12 = 9 + 3, 13 = 9 + 4 = 9 + 3 + 1.

Отже, при 3 вагах 1, 3 та 9 кілограмів досягаються всі ваги від 1 до 13 кіло.

Номер 13 у гарнітурі, створеній Джеймі Кларком з Елліотом Джеєм Стоксом для журналу 8 Faces

Насправді ми встановлюємо загальний метод. Припустимо, у нас є ваги A, B, C, ..., за допомогою яких ми можемо зважувати від 1 до n кілограмів. Тепер ми розглянемо нову вагу P стор кілограмів, що перевищить n точно n + 1 кіло (щоб мати змогу отримати всі проміжні кількості), тобто, стор - n = n + 1, або еквівалентно, стор = 2 n + 1. І таким чином можна зважувати від 1 до стор + n = 3 n + 1 кіло.

Отже, наступна вага, четверта, матиме 2 х 13 + 1 = 27 кілограмів і дозволить нам рахувати до 3 х 13 + 1 = 40 кіло. Отже, вирішення проблеми полягає в тому, що потрібно 4 гирі, вага яких становить 1, 3, 9 та 27 кілограмів відповідно.

Сторінка з книги Клода Гаспара Баше де Мезіріака, Problèmes Plaisants et Délectables, qui se font par les names (1612), в якій пропонується і вирішується проблема ваг

Оскільки побудована нами конструкція є загальною, ми можемо задати собі питання, якою буде вартість наступної ваги і скільки ми зможемо зважити. Вага мав би значення 2 х 40 + 1 = 81 кілограм і міг би зважуватися з 5 вагами до 3 х 40 + 1 = 121 кіло.

На цьому етапі ми, безперечно, зрозуміли, що величини ваг є степенями 3, тобто 1 = 3 0, 3 = 3 1, 9 = 3 2, 27 = 3 3 або 81 = 3 4. Насправді неважко показати, що ваги становитимуть 3 0, 3 1, 3 2,…, 3 k кілограмів і максимальна вага, яку можна досягти за допомогою них, становить 3 0 + 3 1 + 3 2 +… + 3 k . Крім того, цей останній вираз, використовуючи формулу кінцевої суми ступенів, дорівнює (3 k +1 - 1)/2.

За допомогою п’яти ваг, значення яких становлять 1, 3, 9, 27 і 81, можна зважувати всі кількості від 1 до 121 кілограма. Номери, представлені шрифтом Tropical, розробленим Алехандро Полом Йолувіаном, у 2017 році

Але ми можемо поставити рішення проблеми ваги Баше де Мезіріака інакше, як це видно у чудовій книзі Відомі загадки великих математиків. Беручи до уваги, що якщо ми кладемо ваги на тій чи іншій тарілці, їх кількість додається або віднімається, ідея полягає в тому, щоб представити будь-яку кількість C., від 1 до 40, як показано нижче

де стор1,…, сторm - значення ваг та коефіцієнтів доi приймають значення -1 (якщо розміщується вагова вага сторi на вазі, де знаходиться предмет, що зважується), 0 (якщо вага не використовується сторi) та 1 (якщо розміщується вагова вага сторi на тарілці, протилежній тій, яку ми хочемо зважити).

Як коефіцієнти доi Вони можуть приймати три різні значення, -1, 0, 1, попередній вираз свідчить про те, що ми використовуємо систему в основі 3. Тобто ваги будуть стор1 = 3 0 = 1, стор2 = 3 1 = 3, стор3 = 3 2 = 9, ... і отримані величини будуть (тепер ми розміщуємо їх у зворотному порядку)

C. = до м 3 м - 1 + до м - 1 3 м - 2 + ... + до 3 3 2 + a 2 3 1 + a 1 3 0,

яке як число в системі бази 3 представлено (домдом - 1… до3 a2 a1) 3. І це дозволяє представити всі числа до (1 1… 1 1 1) 3. Наприклад, для m = 5 ваг максимальна кількість представлених значень становить (1 1 1 1 1) 3 = 3 4 + 3 3 + 3 2 + 3 1 + 3 0 = (3 5 - 1)/2 = 121.

Наприклад, число 65 буде представлено як

65 = 1 x 81 + (- 1) x 27 + 1 x 9 + 1 x 3 + (- 1) x 1.

Сторінка з книги "Математичні розваги та есе" (1892) В. В. Рауза Болла, яка включає проблему ваги Баше з двома її варіантами, і її розв'язання починається

Британський математик і юрист В. В. Рус Болл збирає "проблему ваги Баче" у своїй відомій книзі Математичні рекреації та есе - Математичні рекреації та есе (1892). У ній він піднімає два варіанти розв’язання задачі: оригінальний, коли ваги можна розміщувати на обох пластинах ваги, а розв’язання якого ми знаємо утворюють ваги зі значеннями потужності 3, тобто 1, 3, 9, 27, а інший, в якому ваги можна розміщувати лише на пластині навпроти пластини, де розміщений предмет, що зважується. У цьому другому варіанті ваги можна поставити чи ні, тоді ми маємо можливість лише додавати чи ні, але не віднімаючи, на закінчення ми маємо двійкову систему, і рішенням є степені 2 для ваг, 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Однак проблема ваг Баше де Мезіріака має набагато більш далеке походження в часі. Перший раз, коли це з'являється, для запису, це в Liber Abaci - Книга Абакуса (1202) Леонардо з Пізи, відомий як Фібоначчі. У виданні Бальдассара Бонкомпаньї 1857 року проблема:З IIII ст е-е pesonibus, quorum pondus erat librarum quadraginta”Це з’являється на сторінці 297 тому 1.

Сторінка з видання "Liber Abaci" Леонардо де Пізи (1202) Леонардо де Пізи Бальдасарре Бонкомпаньї 1857 року, в якому проблема чотирьох ваг, здається, досягає всіх ваг від 1 до 40

"Ліс чисел" (2017), Еммануель Моро в Національному центрі мистецтв, Токіо. Завдяки @ molinos1282

Бібліографія

1.- Генріх Деррі, 100 великих проблем елементарної математики, їх історія та рішення, Дувр, 1965.

2.- Клод Гаспар Баше де Мезіріак, Проблеми Plaisants et Délectables, Який шрифт для імен?, 1612 рік.

3.- Міодраг С. Петрович, Відомі загадки великих математиків, АМН, 2009 рік.

4.- В. В. Раус-Бал, Математичні роздуми та есе, Macmillan and Co., 1892.

5.- Леонардо Піза, Liber Abaci (1202), том 1 видання Baldassarre Boncompagni, 1857.

Про автора: Рауль Ібаньєс - професор кафедри математики УПВ/ЄГУ та співробітник кафедри наукової культури