Коливання
Діяльність
Довжина еліпса.
У главі про тверде тверде тіло ми вивчали малі коливання складного маятника. На цій сторінці ми збираємося вивчити загальну поведінку маятника для малих і великих амплітуд, навіть коли маятник обертається.
Диференціальне рівняння, яке описує поведінку складного маятника, є
(1)
Коли кут q малий, тоді sin q »q . Маятник описує M.A.S. чий період P0 є
Період маятника
Припустимо, маятник знаходиться в стабільному рівноважному положенні, і ми забезпечуємо його енергією І.
Маятник набуває початкової швидкості w 0. Під час руху кута q кінетична енергія обертання перетворюється в потенційну енергію, поки не досягне максимального відхилення q 0, коли w = 0. Потім здійснюється зворотний процес, потенційна енергія перетворюється на кінетичну енергію обертання, поки при повторному проходженні через положення рівноваги q =0, вся потенційна енергія перетворена в кінетичну, кутова швидкість маятника буде - w 0. Потім маятник знову досягає максимального відхилення - що 0, і нарешті, він повертається до стабільного положення рівноваги, завершуючи коливання.
Коли маятник досягне максимального відхилення w = 0, і E = mgb(1-cos q 0)
Розчищення часу dt в диференціальному рівнянні
Коли маятник досягне максимального відхилення q = q 0 Або, коли j = p/2, ви використали чверть періоду P повний розмах.
Термін P коливання ми можемо це записати
де P0 - період коливань малої амплітуди.
Інтеграл називається повною еліптичною першого роду. Наступна інтерактивна програма обчислює фактор P/P0 коли ми вводимо амплітуду θ0 коливання. Розрахунок базується на процедурі Карлсона для знаходження еліптичного інтегралу першого імені RF (x, y, z). Іди Числові рецепти в C, Спеціальні функції. Глава 6є
Програма для обчислення періоду маятника для будь-якої амплітуди
Серійний розвиток
Ми послідовно розробляємо знаменник еліптичного інтеграла
Інтеграл стає
Для розв'язування інтегралів використовуються такі тригонометричні співвідношення:
Серійний розвиток періоду P є
(два)
Якщо амплітуда мала, ми можемо писати
а період приблизно
Це перше наближення до формули для періоду маятника
Остаточний висновок - той період P зростає з амплітудою q 0. Поки період P0 не залежить від амплітуди, якщо амплітуда не дуже велика і може застосовуватися наближення sin q »q .
Приблизні формули для періоду маятника
Відомо кілька наближених формул для періоду маятника для будь-якої амплітуди, яку можна порівняти з точним виразом
Графічне зображення відповідає рожевій кривій, яка найкраще наближує червону криву.
Графічне зображення відповідає чорній кривій, що дещо краще попередньої червоній кривій.
Графічне зображення відповідає кривій зеленого кольору, яка найкраще наближує криву червоного кольору.
Крива потенційної енергії
Як ми вже бачили в цьому розділі, криві потенційної енергії надають нам якісну інформацію про поведінку фізичної системи.
Потенційна енергія маятника становить Іp =мгб(1-cos q). Максимальна потенційна енергія маятника - 2мгб, коли він знаходиться в перевернутому положенні. Ми представляємо у верхній правій частині аплету частку потенційної енергії Іp між енергією максимальної потужності, як функція кута q, тобто функції
У цих одиницях максимальна потенційна енергія дорівнює одиниці для q = р, коли маятник перевернутий (нестійке положення рівноваги) і мінімум (нуль) для q =0, стабільне положення рівноваги.
На цій діаграмі ми представляємо чорною лінією загальну енергію І, сума потенційної енергії та кінетичної енергії. Вертикальний відрізок червоного кольору вказує на потенційну енергію маятника для положення q , а відрізок синього кольору - кінетичну енергію маятника в цьому положенні. Значення загальної, кінетичної та потенційної енергії розділили на максимальну потенційну енергію 2 мг.
Принцип збереження енергії стверджує, що сума кінетичної енергії та потенційної енергії є постійною. Отже, кінетична енергія максимальна, коли потенціальна енергія мінімальна (коли маятник проходить через стабільне положення рівноваги), а кінетична енергія мінімальна (нульова), коли маятник досягає максимального відхилення.
На фазовій діаграмі ми представляємо кутову швидкість w (або кутовий момент I0W ) як функція кутового зміщення q .
Якщо рух фізичної системи є періодичним, система повертається до того ж стану після повного циклу. Представлення його траєкторії у фазовому просторі є замкнутою кривою.
Щоб отримати рівняння цього шляху, досить написати принцип збереження енергії
Для заданої загальної енергії І, це рівняння пов'язує кутову швидкість w з кутовим переміщенням q .
Ми спостерігаємо, що траєкторія у фазовому просторі симетрична відносно вертикальної осі w (кутової швидкості). Ця симетрія означає, що рух маятника такий же, як і проти годинникової стрілки. Можуть статися два випадки:
Коливання
Це загальна енергія І маятника менше максимального значення енергетичної потужності (І що 0 і - q 0.
Ми можемо обчислити цю амплітуду, поклавши w = 0 за принципом збереження енергії.
І= 2мгб(1-cos що 0)
Приклад: be і= 0,5 (енергія в одиницях максимальної потенційної енергії), тоді q 0 = р/2 = 90є. Так і= 0,1, тоді q 0 =36,9є
Якщо амплітуда мала, маятник описує простий гармонійний рух, і траєкторія у фазовому просторі наближається до еліпса.
Знаменники цього останнього виразу дають нам квадрати піввісей еліпса. Горизонтальна піввісь (максимальна амплітуда) становить
У міру збільшення енергії шлях у фазовому просторі відхиляється від еліптичної форми, і коливання перестають бути гармонічними. Оскільки маятник проводить набагато більше часу в районі свого максимального відхилення, ніж 0, траєкторія у фазовому просторі стає гострішою на лівому та правому кінцях і більш рівною вгорі та знизу.
Обертання
Коли загальна енергія І маятника перевищує максимальне значення потенційної енергії (І> 2мгб) Ну добре (і> 1), маятник робить повні обороти.
Обертальний рух не рівномірний, швидкість максимальна, коли вона проходить через стабільне положення рівноваги, і мінімальна, коли вона проходить через перевернуте положення маятника. Кутове положення маятника безперервно зростає, а кутова швидкість завжди додатна (якщо обертання проти годинникової стрілки).
Маятник повторює той самий рух, коли його кутове положення q збільшується на 2 p, 4 p тощо. Для опису цього руху у фазовому просторі достатньо розглянути частину згаданого простору між - p і p. Точка, що представляє положення та кутову швидкість маятника у фазовому просторі, залишає цю область праворуч і входить зліва.
Маятниковий період
З рівняння збереження енергії розв'язуємо кутову швидкість ω маятник
Час, необхідний маятнику для переміщення між положеннями θ Y θ+dθ є
Термін P є
Аплет нижче обчислює фактор P/P0 при введенні енергії і> 1 маятника, вирішуючи інтеграл, визначений числовою процедурою Сімпсона.
Шлях розділення
Коли загальна енергія маятника І= 2мгб, (і= 1) ми знаходимося в граничному випадку. Траєкторія репрезентативної точки у фазовому просторі позначена червоним кольором у нижній правій частині аплету і називається сепаратрисою.
миритися І= 2мгб В принципі збереження енергії отримуємо рівняння сепаратриси
Сепаратриса ділить фазовий простір на області, які відповідають двом різним типам руху.
Коли маятник досягне положення q = - p або q = р, його кутова швидкість w =0, маятник знаходиться в нестабільному стані рівноваги, у так званому перевернутому положенні. Невелике зміщення в той чи інший бік призводить до коливання маятника з амплітудою, дуже близькою до p. І невеликий поштовх змушує це описувати обертальний рух. Як ми бачимо в наступній таблиці, маятник проводить багато часу в районі перевернутого положення, і його період P стає нескінченним для енергії І= 2мгб (і= 1).
| Кут | Період P/P0 |
| 179 | 3.91 |
| 179,5 | 4.34 |
| 179,9 | 5.36 |
| 179,99 | 6.41 |
Діяльність
Вводиться значення загальної енергії і у контролі редагування з назвою Енергія. Це значення є часткою між загальною енергією маятника І і максимальна потенційна енергія 2мгб.
Натисніть кнопку з назвою Починається.
Рух репрезентативної точки спостерігається у просторі фаз і формі траєкторії, яку вона описує.
У верхній правій частині аплету ми бачимо, як змінюються кінетична енергія (товста синя лінія) та потенційна енергія (червона) із положенням q маятника.
Список літератури
Бутіков. E. Твердий маятник - антична, але вічнозелена фізична модель. Eur. J. Phys. 20 (1999) с. 429-441.
Моліна М. I., Прості лінеаризації простого маятника для будь-якої амплітуди. Вчитель фізики, том 35, листопад 1997 р., С. 489-490
Кідд Р. Б. Фогг С. Л., Проста формула для періоду маятника з великим кутом. Вчитель фізики том 40, лютий 2002 р., С. 81-83
Просо Л. Е., Ширококутний період маятника. Вчитель фізики, том 41, березень 2003 р., С. 162-163
Ліма Ф.М. С., Арун П., Точна формула для періоду простого маятника, що коливається поза режимом малого кута. J. Phys. 74 (10) жовтень 2006 р., С. 892-895.
Пудж Адам П., Інтегральне числення. Редакційна бібліотека Matemбtica 1972, сторінка 97
Довжина еліпса.
Еліпс характеризується своєю напівголовною віссю до та її напівмалої осі b.
Рівняння еліпса є
Довжина маленької дуги кривої становить,
Довжина периметра еліпса в чотири рази перевищує довжину частини еліпса в квадранті.
Внесення змінної змінної x = aсенθ, dx = acosθ · dθ
Де і називається ексцентриситетом еліпса. Цей інтеграл називають повним еліптичним інтегралом другого роду.
c - фокусна половина відстані
Приблизною формулою довжини еліпса є
В інтерактивній програмі значення піввісей вводяться нижче до Y b еліпса і програма дає нам довжину L еліпса.
Діяльність
Напівмажор осі еліпса, що діє на смугу прокрутки з назвою Напівпровідниковий майор a.
Напівмалова вісь a еліпса, що діє на смужку прокрутки з назвою Напівмалова вісь b.
Натисніть кнопку з назвою Обчислити
Напівмалі вісь b повинен бути меншим або рівним напівгольній осі до, в іншому випадку програма не продовжується.
Порівняйте результат, отриманий цією програмою, яка використовує процедуру, яка обчислює повний еліптичний інтеграл другого роду, із наближеною формулою, згаданою в кінці розділу.
Вихідний код.
Еліптичні інтеграли першого та другого видів
Адаптовано до мови Java коду на мові C. Числові рецепти в C, Мистецтво наукових обчислень. Спеціальні функції. Глава 6є.