Які елементи беруть участь у обчисленні відсотків?

У будь-якій ситуації з відсотками беруть участь три елементи: загальна сума, частина цієї суми та сам відсоток. Насправді ми маємо справу з пропорцією з двома відповідними коефіцієнтами, в одному з яких знаменник завжди має число 100.

сума

Найпростіший спосіб розглянути це, як правило, три:

НАСТАЙКИ ВІДЦІ 100
ЧАСТИНА ВСЬОГО

Перший рядок представляє відсоток (співвідношення між числом і 100), а другий рядок є тим самим співвідношенням, але виражається через величини, що відповідають задачі, над якою ми працюємо.

Якщо нам зручніше, ми можемо написати вищезазначене як рівність між причинами:

Змініть розташування чисел, але ідея точно така ж: "Відповідний відсоток дорівнює 100, як частина до загальної суми".

Ми також можемо сприймати це як дріб, що діє як оператор. У такому випадку ми писали б наступне:

Будь-який із трьох варіантів є дійсним для постановки та вирішення задач з відсотками, однак використання правил трьох - це, можливо, найзручніший метод.

СПОСТЕРЕЖЕННЯ Якщо ви використовуєте правила трьох для розв’язання відсоткових задач, у вас не буде великих проблем з розв’язанням невідомого, будь то частина, сума або відсоток. Якщо ви інтерпретуєте відсотки як дроби, вам теж не доведеться важко вирішувати, але ви не будете мати справу з процесом, механізованим, як правило, три, тому вам слід звернути особливу увагу.

Три елементи. три ситуації

Вирішуючи задачі з відсотками, твердження дасть нам два із трьох задіяних елементів, і нам доведеться обчислити той, якого не вистачає. Нижче ви знайдете три приклади, вирішені за правилами трьох, по одному для кожної з можливих ситуацій. Ви можете спробувати вирішити їх, використовуючи інші інтерпретації відсотків.

СИТУАЦІЯ 1: Ми не знаємо частини

Сім'я витрачає 36% щомісячного бюджету на їжу. Якщо вони мають дохід 1800 євро на місяць, скільки сім’я витрачає на їжу щомісяця?

євро.

ВІДПОВІДЬ: Сім'я щомісяця витрачає на їжу 648 євро.

СИТУАЦІЯ 2: Ми не знаємо загальної суми

На урологічному конгресі 15% учасників - іспанці. Якщо ми знаємо, що існує 36 іспанських урологів, скільки тих, хто бере участь у конгресі?

урологи.

ВІДПОВІДЬ: Конгрес відвідують 240 урологів.

СИТУАЦІЯ 3: Ми не знаємо відсотка

Сім'я, яка має щомісячний дохід у розмірі 2400 євро, витрачає 300 євро на відпочинок. Який відсоток доходу припадає на відпочинок?

%

ВІДПОВІДЬ: Сім'я присвячує 12,5% своїх доходів на відпочинок.

СПОСТЕРЕЖЕННЯ Ви завжди можете використовувати одне і те ж правило з трьох, ви просто повинні бути обережними, щоб розмістити інкогніто в потрібному місці.

Якщо ви прочитали роздуми на попередній сторінці, ви будете знати, що якщо ми хочемо обчислити, наприклад, 21% від будь-якої суми, ми можемо обчислити 20% та 1% окремо, а потім додати. Чи завжди ми можемо додати відсотки, розраховані окремо? Залежить. Якщо відсотки розраховані на однакові суми, ми можемо їх вільно додавати і віднімати. У такому випадку ми застосовували б розподільчу власність. Однак, коли відсотки застосовуються до різних підсумків, ми не можемо їх додавати або віднімати.

Дуже поширеною помилкою є додавання відсотків збільшення або знижок, що застосовуються до різних величин, як якщо б вони застосовувались до однієї і тієї ж кількості.

Це легше зрозуміти на прикладі:

Після трудової реформи працівник отримує зниження на 5% своєї зарплати, яка спочатку становила 1500 євро. Через рік уряд вирішує застосувати ще одне зниження, цього разу на 8%. Яка ваша зарплата після двох скорочень? Який відсоток зменшення ви зазнали щодо початкової заробітної плати в розмірі 1500 євро?

Відповіді на перше питання не повинно виникнути.

Спочатку працівник має 100% своєї зарплати, але втрачає 5%, тому він утримує 95%. Ці відсотки можна відняти, оскільки вони обидва стосуються початкових 1500 євро.

€.

Після першого зниження його зарплата залишається на рівні 1425 євро. Через рік вони застосовують ще одне зниження, тепер 8%, до загальної суми його зарплати на той час, яка складає вже не 1500 євро, а 1425 євро. Ситуація схожа на попередню, оскільки у вас беруть 8%, ви зберігаєте 92% від вашої поточної загальної зарплати, тобто:

€.

Ваша зарплата після двох скорочень становить 1311 євро, тобто ви втрачаєте 189 євро на місяць порівняно із зарплатою до першого зменшення.

Друге питання також просте, але інтуїція може зіграти нам фокус. ЗАГАЛЬНА ЗНИЖКА НЕ 13%. Ми не можемо додати 5% та 8%, оскільки вони не стосуються однакової суми. Перша знижка надається на початкові 1500 євро, а друга на 1425 євро, яка залишається після першої знижки.

Як тоді обчислити відсоток? У нас є кілька варіантів:

Оскільки нам відома частина зі знижкою після двох розпродажів, 189 євро, і загальна початкова заробітна плата, 1500 євро, ми можемо використовувати правило трьох, щоб розрахувати відсоток знижки:

%

Інший варіант - застосувати два відсотки послідовно, інтерпретуючи їх як дріб або десяткове число, і помножити, щоб отримати загальний відсоток заробітної плати, який утримується працівник після двох скорочень.

Ми завжди отримуємо однакову відповідь: Працівник зберігає 87,4% своєї заробітної плати, за що він зазнає загального скорочення на 12,6%.

А тепер уявіть наступну ситуацію:

Працівник із зарплатою 1800 євро отримує знижку на 10%. Роками пізніше уряд вирішує компенсувати це зменшення 10-процентним збільшенням на той час заробітної плати працівника. Чи повертає робітник свою початкову зарплату в розмірі 1800 євро?

Ще раз наша інтуїція може зіграти на нас підступ. Остаточне збільшення на 10% не компенсує початкову знижку на 10%, оскільки ці відсотки застосовуються до різних підсумків. Звернути увагу:

Після першого скорочення працівник зберігає 90% від початкових 1800 євро, оскільки він втрачає 10%:

€.

Роками пізніше робиться спроба компенсувати попереднє зменшення збільшенням на 10%, але загальна сума, на яку застосовується збільшення, складає вже не 1800 євро, а 1620 євро. Тому:

€.

Як бачите, працівник не отримує 1800 євро на місяць, а 1782 євро, що становить 99% від його зарплати до початкового зменшення.

Якщо застосовувати відсотки послідовно, ви зможете побачити, звідки походить 99%:

Ви можете використовувати наступний аплет Geogebra, щоб перевірити рішення проблемних відсотків у цьому розділі. Натисніть відповідну кнопку відповідно до ситуації та заповніть відсутні дані.