Небесна динаміка
Діяльність
65 мільйонів років тому Земля раптово змінилася, зникло багато видів, рослини, наземні та морські тварини і перш за все великі динозаври. Однак дрібні ссавці вижили. Можливою причиною такої катастрофи було б зіткнення великого метеорита на півострові Юкатан (Мексика), характеристики якого оцінювались як:
діаметр від 10 до 14 км,
щільність 1300-3400 кг/м 3
швидкість 20-25 км/с
Земля описує майже кругову орбіту ексцентриситету ε= 0,0167. Розрахунки показують, що впливу такої величини недостатньо, щоб змінити ексцентриситет земної орбіти. На цій сторінці описана гіпотетична ситуація зіткнення метеорита з Землею.
Зіткнення метеорита з нерухомою Землею
По-перше, ми вирішимо просту задачу, яка зазвичай ставиться в курсі загальної фізики:
Припустимо, маса Землі М та радіо Р. нерухомий у просторі масивний метеорит Містер. Вирішіть
Швидкість v від метеориту безпосередньо перед ударом.
Швидкість V набору після нееластичного зіткнення Землі та метеорита.
Для вирішення проблеми будемо вважати, що маса м метеориту невелика порівняно з масою М Землі, тобто сила притягання метеорита на Землю не викликає помітного руху цього.
Сила притягання консервативна, тому загальна енергія метеорита залишається постійною.
Дані є v0 Y r0 а невідомість - це швидкість v метеориту безпосередньо перед зіткненням із Землею.
Земля та метеорит утворюють ізольовану систему, застосовуючи принцип збереження лінійного імпульсу,
отримуємо швидкість набору метеорита Земля після зіткнення і частину кінетичної енергії метеорита, яка перетворена у внутрішню енергію набору.
Метеорит м= 2 · 10 7 кг маси спрямовано з космічного простору до Землі. Ваша швидкість на відстані r0= 3,8 · 10 7 м від центру Землі v0= 30 км/с. Обчислити:
Швидкість, з якою вона досягає поверхні Землі (Земля вважається нерухомою до зіткнення)
Швидкість ансамблю Земля-метеорит після зіткнення
Кінетична енергія метеорита перетворюється на внутрішню енергію системи.
Маса Землі, М= 5,98 · 10 24 кг
Радіус Землі, Р.= 6,37 · 10 6 м
Постійний, G= 6,67 10 -11 Нм 2/кг 2
Швидкість, з якою метеорит досягає поверхні Землі, v= 31689,7 м/с, а його кінетична енергія становить Ек= 1,0 10 16 Дж
Встановити швидкість після зіткнення, V= 1,06 10 -13 м/с
Кінетична енергія, перетворена у внутрішню енергію, є Питання= 1,0 10 16 Дж.
Практично вся кінетична енергія метеорита перетворюється на внутрішню енергію, зіткнення майже не впливає на центр маси Землі, його швидкість помітно не змінюється.
Метеорит стикається із Землею по круговій орбіті навколо Сонця
Кругова орбіта Землі
Будемо вважати, що Земля описує кругову орбіту радіуса Р.= 1,49 · 10 11 м навколо Сонця. Застосовуючи рівняння динаміки рівномірного кругового руху, отримуємо постійну швидкість Vt Землі в її поступальному русі навколо Сонця.
Необхідні дані:
Радіус кругової орбіти Землі, Р.= 1,49 10 11 м.
Маса Сонця РС= 1,98 10 30 кг
Результат є Vt= 29771,6 м/с
Період Землі або час, необхідний для здійснення однієї повної революції
Зіткнення метеорита із Землею.
Ми встановлюємо інерційну систему відліку, що походить від Сонця, Землі безпосередньо перед зіткненням, розташовану на осі X на відстані Р. Сонця, і рухається вздовж осі Y зі швидкістю Vt. Метеор рухається зі швидкістю Vm відносно Сонця, зробивши кут α з віссю X, як зазначено на малюнку. Застосування принципу збереження лінійного імпульсу
мVm+МVt=(m + M)v
де м - маса метеорита, М маса землі, Vt швидкість перекладу Землі навколо Сонця, і v швидкість ансамблю, утвореного Землею і метеоритом після зіткнення.
Обчислюємо модуль швидкості v та вашу адресу φ після аварії.
де γ = m/M коефіцієнт між масами метеорита і Землі
Шлях системи, утвореної Землею та метеоритом
Ми повинні розрахувати шлях, по якому йде частинка маси (m + M) під силою притягання Сонця, знаючи, що в початкову мить воно віддалене Р. і несе швидкість v що робить кут φ з горизонтальною віссю, як показано на малюнку
Момент імпульсу та енергія поєднання метеор-Земля після зіткнення становлять, відповідно
Рівняння шляху в полярних координатах дорівнює
Рівняння шляху не залежить від маси частинки
Якщо енергія частинки від’ємна І 30 кг, а радіус земної орбіти Р.= 1,49 10 11 м
І = -590,2 10 6 (m + M) Дж
L = 3,63 10 15 (m + M) кгм 2/с
За цими даними ми обчислюємо ексцентриситет орбіти ε і параметр d
d= 0,996 10 11 м
ε= 0,332
Напівголовною віссю еліпса є до= 1,19 10 11 м і період P= 236,83 днів
Косий шок
Ми змінюємо кут на α= 60є і встановлюємо рівняння збереження лінійного імпульсу вздовж осі X та вздовж осі Y.
| γVmcosα =(γ+1)vx γVmсенα+Vt =(γ+1)ви |
Відома швидкість Vt Землі до зіткнення, ми вирішуємо остаточну швидкість множини після зіткнення v= 29458,6 м/с та його напрямок, φ= 87,3є.
Обчислюємо кутовий момент та енергію
І= -452,4 10 6 (m + M) Дж
L= 4,38 10 15 (m + M) кгм 2/с
За цими даними ми обчислюємо ексцентриситет орбіти ε і параметр d
d= 1456 10 11 м
ε= 0,051
Шлях - це еліпс, головна вісь якого обертається на кут β= 117є
Напівголовною віссю еліпса є до= 1,459 · 10 11 м і період P= 352,83 днів
Змінення ексцентриситету з кутом α
На малюнку показано складну поведінку ексцентричності ε як функція кута α що формує напрямок швидкості Vm метеорита з віссю X для двох різних метеорних швидкостей 30 км/с (червоним) та 90 км/с (синім). Ексцентриситет має максимальне значення для α= 270є, що є фронтальним зіткненням.
Мінімальне значення (крива червоного кольору) спостерігається для α= 90є - це зіткнення, при якому Земля і метеорит мають однаковий напрямок і сенс.
Для великих швидкостей метеориту (синя крива) існують мінімуми для певних кутів, значення яких отримано в статті, цитованій у посиланнях.
Діяльність
Фактор γ = m/M між масою метеорита і масою Землі (5,98 · 10 24 кг), в редагуванні контролю під назвою Масовий коефіцієнт.
Швидкість метеорита Vm в км/с у контролі редагування під назвою Швидкість
Кут α який формує напрямок швидкості метеорита з віссю X, діючи на палець смуги прокрутки з назвою Кут
Натисніть кнопку з назвою Починається
Якщо в результаті зіткнення енергія отриманої частинки є позитивною або нульовою, програма не продовжує роботу і пропонує користувачеві сповільнити метеорит.
Прямолінійний рух метеорита і круговий рух Землі спостерігається перед зіткненням, яке відбувається на горизонтальній осі X на відстані Р.= 1,49 · 10 11 м від Сонця. Траєкторія множини, утвореної Землею і метеоритом, спостерігається після зіткнення.
Інтерактивна програма надає дані про ексцентриситет та період нової орбіти.
Як вправу пропонується підтримувати коефіцієнт маси γ, і швидкість Vm метеорита, спостерігаючи, як змінюються ексцентриситет і період орбіти при зміні напрямку α швидкості метеорита, заповнюючи таблицю, в якій перша колона утворена кутами від 10 до 10 en, друга - ексцентриситетом, а третя - періодом.
Список літератури
Мохадзабі П., Люке Дж. Вплив астероїда та ексцентриситет земної орбіти. J. Phys. 71 (7), липень 2003 р., С. 687-690