Небесна динаміка

Діяльність

диференціальних рівнянь

На цій сторінці ми вивчаємо рух тіла маси м при запуску з точки на осі Х на відстані r1 нерухомого центру сил, зі збільшенням швидкостей v1 перпендикулярно радіус-вектору.

Закони Кеплера описують рух планет навколо Сонця, не досліджуючи причин, що викликають такий рух.

1.-Планети описують еліптичні орбіти із Сонцем в одному з його вогнищ.

2. -Векторне положення будь-якої планети щодо Сонця охоплює рівні площі еліпса в однакові часи.

3. -Квадрати періодів обертання пропорційні кубам піввісей еліпса.

Закони Ньютона не тільки пояснюють закони Кеплера, але й передбачають інші траєкторії руху небесних тіл: притчі та гіперболи. Загалом, тіло під дією сили тяжіння гравітації опише площину траєкторії, яка є конічною.

Як уже згадувалося, центральні та консервативні властивості сили притягання між небесним тілом і Сонцем визначають систему двох диференціальних рівнянь першого порядку, які, виражаючись у полярних координатах, ведуть до рівняння траєкторії, конічної.

Інтерактивна програма працює іншим шляхом: вона обчислює компоненти прискорення вздовж осі X та вздовж осі Y, породжуючи систему двох диференціальних рівнянь другого порядку, які вирішуються числовими процедурами.

Числове розв’язання рівнянь руху

Припустимо, що частинка маси м (планету) приваблює масивне тіло маси М (Сонце) Будемо вважати, що вплив частинки на тіло незначний, залишаючись у стані спокою біля початку.

Частинка піддається силі притягання F напрям якого радіальний і спрямований до центру Сонця. Модуль сили заданий законом Всесвітнього тяжіння.

Складовими сили є

Застосовуючи другий закон Ньютона та виражаючи прискорення як другу похідну від положення, ми маємо систему двох диференціальних рівнянь другого порядку.

Враховуючи початкові умови (положення та початкову швидкість), систему двох диференціальних рівнянь можна розв’язати, застосовуючи числову процедуру Рунге-Кутти.

Ваги

Перш ніж розв'язувати систему диференціальних рівнянь числовими процедурами, зручно підготувати їх, щоб комп'ютер не обробляв надмірно великі чи малі числа.

Ми встановлюємо систему одиниць, в якій довгота вимірюється в астрономічних одиницях, середня відстань між Сонцем і Землею. L= один AU = 1,469 · 10 11 м і час в одиницях року, P= один рік = 365,26 днів = 3,156 10 7 с.

У новій системі одиниць x = Lx ’, t = P · t ’, пишеться перше диференціальне рівняння

Що L є напівголовою віссю орбіти Землі навколо Сонця, P - період або час, необхідний для повного перевороту, і М - маса Сонця. За третім законом Кеплера - термін

Повертаючись до позначень х і Y для посади і т на час у новій системі одиниць. Написана система диференціальних рівнянь

Принцип збереження енергії

Повна енергія частинки - це константа руху. Енергія масової частинки м у початковий момент т= 0 дорівнює

Коли E0 Як ми бачимо Р. відповідає параметру d, втручаючись у рівняння еліпса в полярних координатах.

Відомо r1 Y v1 обчислити r2 Y v2.

Відома позиція r1 і швидкість v1 в момент запуску, застосовуючи сталість енергії та кутовий момент, ми обчислюємо швидкість v2 та відстань r2 до центру сил. Після деяких операцій ми отримуємо швидкість v2 на основі r1 Y v1

(1)

Це називається швидкістю втечі піти частинки, що знаходиться на відстані r1 від центру сил, зі швидкістю, яку ми маємо забезпечити, щоб вона досягла нескінченності з нульовою швидкістю

Наприклад, швидкість виходу з поверхні Землі становить r1= 6,37 · 10 6 м, М= 5,98 · 10 24 кг є піти= 11190,7 м/с

Ми можемо виразити швидкість v2 з точки зору швидкості втечі піти

Отримуємо відстань r2 до центру сил від сталості кутового моменту

Якщо супутник запущений зі швидкістю vc такий як

опишіть кругову орбіту радіуса р.

Ми можемо перевірити у формулі (1), що якщо супутник слідує по круговій орбіті, тоді v2=v1

У разі штучних супутників, що кружляють Землю

Якщо швидкість запуску v1 менше ніж vc точка запуску - апогей.

Якщо швидкість запуску v1 більше ніж vc пункт запуску - перигей.

На малюнку червона доріжка кругла.

Приклади:

Приклад 1. Земля

Земля описує приблизно кругову орбіту радіуса р= 1496 · 10 11 м = 1 АЕ. Застосовуючи динаміку рівномірного кругового руху, ми розраховуємо швидкість руху Землі. Знаючи, що маса Сонця є М= 1,98 10 30 кг, швидкість Землі становить v= 29711,8 м/с. У системі одиниць, встановленій у першому розділі

  • Довжина вимірюється в L= 1,496 10 11 м
  • Час вимірюється в P= один рік = 365,26 днів = 3,156 10 7 с.

швидкість v ' Гаразд v = v 'L/P

v '= 6 268 а.е./рік

Час, необхідний для здійснення повної революції, становить P= 1 рік

Коли ми вводимо в інтерактивну програму х= 1,0 і ви= 6,27, отримуємо круговий шлях навколо Сонця.

Приклад 2. Марс

Найближча відстань до Сонця (перигелію) становить r1 = a-c = a-εa =1382 а.е. = 2068 10 11 м

Найдальша відстань від Сонця (афелій) r2 = a + c = a + εa =1,666 АС = 2,449 · 10 11 м

v1= 26420,7 м/с = 5,573 а.е./рік

Коли ми вводимо в інтерактивну програму х= 1,382 і ви= 5,573, ми отримуємо еліптичний шлях Марса навколо Сонця і час, необхідний для здійснення одного повного оберту P= 1,86 року.

Діяльність

В аплеті, що містить цю сторінку, будуть простежені траєкторії, що описують небесні тіла. Буде перевірено сталість енергії, буде перевірено, що кутовий момент постійний у положеннях максимальної близькості або максимальної відстані, і, нарешті, буде перевірено третій закон Кеплера, що вимірює період і напівголовний вісь еліпса.

Вводяться положення та початкова швидкість небесного тіла:

  • Початкове положення х, замовлене y = 0
  • Y-компонент початкової швидкості ви, Х-компонент швидкості vx = 0.

Натисніть кнопку з назвою Починається,

Траєкторія мобільного відстежується, одночасно в лівій частині аплету показано, як змінюються значення положення та швидкості з плином часу. Ми спостерігатимемо, що енергія та імпульс залишаються постійними.

У нижньому лівому куті відсоток помилок відображається синім кольором. Коли воно більше одиниці, інтерактивна програма зупиняється. Як бачимо, найвищі відсотки похибки отримують, коли частинка проходить дуже близько до фіксованого центру сил.

Натисніть кнопку з назвою Пауза, зупинити рух, наприклад, коли планета проходить через найближче або найдальше положення, виміряти напівголову вісь, швидкість у цій позиції та напівперіод (половина часу, необхідного для створення небесного тіла одна революція завершена).

Натисніть ту саму кнопку, яка зараз має назву Продовжуй, відновити рух.

Кнопка натискається кілька разів. Він пройшов, щоб рухатись тілом поетапно, воно використовується для наближення до потрібного положення.

Коли орбіта виконана, початкова швидкість в АС/рік нового тіла вводиться без зміни положення і натискається кнопка. Починається. Його траєкторія простежується в іншому кольорі.

Нарешті, початкове положення змінюється х і різні значення швидкості вводяться повторно ви.

Коли накопичиться кілька траєкторій, натисніть на кнопку Стерти для очищення робочої області аплету

Введення вихідного положення мобільного Rp і початкова швидкість Vp, послідовні положення планети будуються з фіксованими інтервалами часу.

Натискання на кнопки Пауза Y Він пройшов, Будуть взяті наступні дані та заповнена така таблиця.