Тверда жорстка

У нас є два диски, нижній має радіус 1 м, а верхній - радіус 0,5 м, який може обертатися навколо однієї і тієї ж осі, але з різною кутовою швидкістю. В один момент верхній диск опускається і зачіпає нижній диск. Просимо розрахувати кутову швидкість обертання набору двох зчеплених дисків.

диска

За допомогою цього моделювання ми хочемо показати, що внутрішні сили або взаємна взаємодія між частинками системи не впливають на кінцевий стан системи.

Фізичні основи

У нас є система, що складається з двох дисків, які обертаються навколо спільної осі. Момент зовнішніх сил щодо осі обертання O дорівнює нулю, тому кутовий момент зберігається

Кутовий момент твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю w, становить L =Я w

Формула моменту інерції I0 диска навколо осі обертання, перпендикулярного диску і проходить через його центр

Кутовий момент перед зчепленням

Кутовий момент системи перед зчепленням - це сума кутових моментів кожного з дисків

Де w 1 Y w 2 - початкові кутові швидкості перед зчепленням.

Кутовий момент після зчеплення

Після зчеплення обидва диски мають спільну кутову швидкість w .

Принцип збереження моменту імпульсу

Розв'язуючи кутову швидкість w, маємо

Ця формула подібна до зіткнення між кулею та блоком, коли куля вбудована в блок.

Енергетичний баланс

Енергія перед зчепленням

Енергія після зчеплення

Робота сили тертя в муфті становить W = Ef-Ei. Зробивши деякі спрощення, ми можемо дійти до цього остаточного виразу

Кінцева енергія завжди менше початкової Ef w 1 Y w 2 при кінцевій кутовій швидкості w з часом т.

Внутрішні сили тертя діють на диски між контактуючими поверхнями, так що один з дисків прискорюється, а інший сповільнюється, поки вони не набудуть однакової кінцевої кутової швидкості w .

Рівняння динаміки обертання

Сформулюємо рівняння динаміки обертання для кожного з дисків

Припустимо, що Містер є постійним, кутові прискорення постійними, кутові швидкості будуть

де w 10 Y ш 20 - початкові кутові швидкості в мить т= 0.

За цими рівняннями можна розрахувати час t, необхідний дискам для набуття однакової кутової швидкості w 1 = w 2 = w .

Ми також можемо розрахувати зміщення кожного з дисків протягом тимчасового інтервалу т.

Робота внутрішніх сил

Робота моменту сили тертя становить

Як ми бачимо зі стрілок на малюнку, Містер є протилежним зміщенню q 1 (негативна робота), і є в тому ж сенсі, що і переміщення q два (позитивна робота).

Виконавши декілька операцій, ми можемо за кілька кроків отримати той самий вираз для W, що й той, який ми отримали з енергетичного балансу після застосування принципу збереження моменту імпульсу. Але тепер ми можемо краще інтерпретувати походження розсіювання енергії протягом часу t, протягом якого триває зв'язок (доки диски не досягнуть однакової кінцевої кутової швидкості).

Приклади

Приклад 1є:

  • Моменти інерції

  1. Принцип збереження моменту імпульсу

Нехай момент сили тертя буде Містер= 0,1 Н · м. Обчислюємо кутові прискорення кожного диска

Тепер остаточні кутові швидкості

Кутові швидкості w1 = w 2вони миттєво стають однаковими т= 1 с після з'єднання. У цей момент загальна кутова швидкість становить 1 рад/с

  • Енергетичний баланс

Переміщення (кут, що повертається кожним диском в момент часу t)

q 1 =1,5 рад
q 2= 0,5 рад

Момент роботи сил тертя

W= -0,1 · 1,5 + 0,1 · 0,5 = -0,1 Дж

Момент сил тертя протистоїть зміщенню першого диска і надає перевагу другому

Отримуємо таке ж значення, як у розділі 1є

Приклад 2є

Цікавий випадок, коли обидва диски мають однаковий момент інерції та рівні кутові швидкості в протилежному напрямку.

  • Моменти інерції

  1. Принцип збереження моменту імпульсу

Після стикування диски зупиняються

  • Енергетичний баланс

Ei= 1,6 Дж
Еф= 0,0 Дж

Втрата потужності під час стикування

W = Ef-Ei= -1,6 Дж

Нехай момент сили тертя буде Містер= 0,1 Н · м. Обчислюємо кутові прискорення кожного диска

Тепер остаточні кутові швидкості

Кутові швидкості w1 = w 2вони миттєво стають однаковими т= 4 с після з'єднання. У цей момент загальна кінцева кутова швидкість дорівнює нулю

  • Енергетичний баланс

Переміщення (кут, обернений дисками) протягом часу т

q 1 =8 рад
q 2= -8 рад

Момент роботи сил тертя

W= -0,1 8 + 0,1 (-8) = - 1,6 Дж

Зауважимо тепер, що момент сил тертя протистоїть зміщенню обох дисків

Діяльність

Вводиться:

  • Менша маса диска m1 (кг)
  • Радіус нижнього диска фіксується в програмі r1= 1 м
  • Початкова кутова швидкість w1 (рад/с)
  • Маса верхнього диска м2 (кг)
  • Радіус верхнього диска фіксується в програмі r2= 0,5 м
  • Початкова кутова швидкість wдва (рад/с)
  • Момент сил тертя між дисками Містер(Нм)

Натисніть кнопку з назвою Почніть.

Спочатку диски починають обертатися незалежно один від одного. У лівій частині аплету ми маємо схему двох стовпчиків, одного для енергії та другого для кутового моменту.

Натисніть кнопку з назвою Починається

Активовано механізм, який робить верхній диск стикувальним з нижнім (див. Креслення внизу аплета).

Коли вони зчеплені, починає діяти момент сил тертя.

У правій частині аплету ми спостерігаємо еволюцію кутової швидкості кожного диска як функцію часу. Ми можемо перевірити, що величина моменту сили тертя не впливає на остаточну загальну кутову швидкість обох дисків. Просто поки їм потрібно досягти цього остаточного стану.

На лівій стороні аплету показано енергію та кутовий момент кожного з дисків. Збереження моменту імпульсу не означає збереження енергії. Ефектом зчеплення є зменшення початкової енергії, яка втрачається у вигляді тепла через тертя між обома дисками, тоді як кутовий момент залишається постійним. Кутовий момент руху одного диска збільшується, іншого - зменшується, але сума постійна.