Тверда жорстка

Діяльність

збереження моменту

Блок тіста м, розмірів до Y h ковзає без тертя з постійною швидкістю v уздовж горизонтальної колії. У даний момент блок стикається з конкретною перешкодою O, розташованою на колії. Блок описує обертальний рух навколо осі, яка проходить через О.

Фізичні основи

Знову маємо приклад застосування принципу збереження моменту імпульсу. Система, утворена блоком і точковою перешкодою O, не ізольована. Однак зовнішня сила, що діє на О, має нульовий момент, тому кутовий момент навколо О постійний.

Кутовий момент перед зіткненням

Саме кутовий момент блоку відносно О еквівалентний моменту руху частинки маси м розташована в центрі маси блоку і рухається зі швидкістю v.

L=r ґ мv. Модуль моменту імпульсу становить L = mv h/2

Кутовий момент після зіткнення

З таблиць моментів інерції твердих тіл беремо формулу моменту інерції прямокутного блоку маси м та розміри до Y h відносно осі, перпендикулярної площині прямокутника і проходить через його центр. Розмір блоку, перпендикулярний площині розглянутого прямокутника, не втручається в задачу

Для обчислення моменту інерції щодо осі, паралельної попередній і проходить через вершину O, застосовуємо теорему Штейнера IO = Ic + md 2

Кутовий момент цього твердого прямокутника, що обертається навколо осі, перпендикулярної площині прямокутника і проходить через O, дорівнює

Принцип збереження моменту імпульсу

Застосовуючи принцип збереження моменту імпульсу, ми вирішуємо для кутової швидкості w прямокутного блоку, відразу після зіткнення.

Енергетичний баланс

Енергія, втрачена при зіткненні

  • Енергія перед зіткненням - це кінетична енергія перекладу блоку
  • Енергія після зіткнення - це кінетична енергія обертання блоку навколо осі, що проходить через О,

Енергія, втрачена при зіткненні, є різницею між цими двома енергіями. У верхній частині аплету ми бачимо, що більша частина початкової кінетичної енергії блоку втрачається при зіткненні з точковою перешкодою O і лише невелика частина початкової енергії перетворюється на кінетичну енергію обертання блоку після аварії

Рух після удару

Рівняння динаміки обертання

Після зіткнення ми маємо тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі, що проходить через О. Рівняння для динаміки обертання M = I0 a

М - момент ваги, що діє в центрі маси блоку, (див. малюнок трохи нижче)

мгдCos (q + f)

де f - кут, утворений діагоналлю з основою прямокутника як f = h/a, а q - кут, на який піднімається основа прямокутника.

Записано рівняння динаміки обертання

оскільки кутове прискорення не є постійним, ми можемо отримати кутове положення q як функцію часу, інтегруючи диференціальне рівняння другого порядку.

Принцип збереження енергії

Однак набагато простіше застосувати принцип збереження енергії для отримання інформації про поведінку обертового твердого тіла.

На малюнку праворуч нижня червона крапка відображає положення c.m. на початковому моменті q = 0, а верхня червона точка представляє положення c.m. коли основа коробки повернулася на кут q. Різниця у висоті між початковим і кінцевим положенням м.кв. це H.

Ми можемо розрахувати максимальний кут q, що нижня основа піднімається над землею.

Кінетична енергія після зіткнення перетворюється на потенційну енергію

Може трапитися так, що швидкість блоку настільки велика, що кут q , перевищує максимальне значення, яке призводить до того, що центр маси переходить вище 0. Потім блок падає на іншу сторону.

Для цього кінетична енергія коробки після зіткнення повинна бути більшою за потенційну енергію блоку, що відповідає висоті його c. м. дорівнює d.

Приклади:

Приклад 1є:

  • Блокова маса, м= 0,2 кг
  • Блок швидкості, v= 2,2 м/с
  • Висота блоку, h= 50 см
  • Ширина блоку, до= 50 см
  1. Шок. Принцип збереження моменту імпульсу

Відстань d від c. м. до вершини прямокутника
Момент інерції I0= 0,033 кгм 2

Початковий кутовий момент L= 0,2 2,2 0,25 = 0,11 кг м 2/с
Кінцевий кутовий момент L=I0 w

Збереження моменту імпульсу: w =3,3 рад/с

  1. Рух після шоку. Принцип збереження енергії

Кінетична енергія після удару перетворюється на потенційну енергію, коли досягається максимальний кут, що повертається основою блоку.

З висоти h до якого піднімається центр мас, ми можемо отримати кут, який блок повернув навколо осі, яка проходить через вершину O.

h = dсен ( q + f )-dсен F, з ф =45є, оскільки форма блоку квадратна. Очищаємо кут q =30.7є

Приклад 2є

Вирішуючи задачу навпаки, ми можемо розрахувати швидкість блоку так, щоб він зробив повний поворот.

  1. Рух після шоку. Принцип збереження енергії

з ф =45є, оскільки форма блоку квадратна

Отримаємо кутову швидкість після зіткнення, w =3,49 рад/с

  1. Шок. Принцип збереження моменту імпульсу

m v h/2 = I0 w

Отримуємо швидкість блоку v= 2,366 м/с.

Ми вводимо це значення в елемент керування редагуванням під назвою Початкова швидкість і натисніть кнопку з назвою Починається, ми спостерігаємо, що c.m. коробки досягає вертикального положення, не перевищуючи його. Якщо ми збільшимо швидкість ще трохи v черга завершена.

Діяльність

Вводиться

  • Маса м блоку (кг), у контролі редагування з назвою Блокова маса
  • Швидкість v від c.m. блоку (м/с), в елементі керування редагуванням з назвою Початкова швидкість
  • Висота h (см), в елементі керування редагуванням під назвою Високий чи високий
  • Довжина основи до (см), в елементі керування редагуванням під назвою Широкий

Кнопка натиснута Починається

Рух блоку спостерігається при ковзанні по горизонтальній колії і подальшому його зіткненні з точковою перешкодою O, а також енергетичному балансі зіткнення.

Зусилля на коробці по осі обертання

Ми розрахували кутове прискорення та кутову швидкість системи після зіткнення, коли коробка утворює кут q з вертикаллю, як показано на малюнку (нижче).

  • Рівняння динаміки обертання

Будучи w 0 кутова швидкість коробки відразу після зіткнення з перешкодою O

Центр мас описує дугу окружності радіуса d, отже, він має два прискорення, одне дотичне в а інший нормальний an.

На малюнку зліва зображено сили на коробці, на центральній фігурі - прискорення. З цих схем ми пропонуємо рівняння руху центру мас.

Ми знаходимо компоненти сокира Y О прискорення (третя цифра)

Враховуючи, що круговими рухами

Ми очищаємо Fx Y Fy

Fx = -m d( до Сен (q + f) + w два Cos ( що + F ))
Fy = md( до ·cos(q + f ) - w 2сен(q + f)) + мг

Повернемося до прикладу 1є

  • Блокова маса, м= 0,2 кг
  • Блок швидкості, v= 2,2 м/с
  • Висота блоку, h= 50 см
  • Ширина блоку, до= 50 см

Оскільки це квадратний ящик f = 45є,

  1. Шок. Ми застосовуємо принцип збереження моменту імпульсу, щоб отримати кутову швидкість коробки відразу після зіткнення.

Постановка задачі зараз: обчисліть значення сил Fx Y Fy коли кут, що повертається блоком, дорівнює q=15є.

  1. Обчислюємо кутове прискорення a та кутову швидкість w .