Питання подільності взагалі вивчав французький математик Паскаль.
Визначення:
"","b" натуральні числа у випадку ""Номер"bВикликається дилером, якщо такий єq" натуральне число, що існує рівність b = a⋅q. Тоді ми говоримо, що "b" ділиться на "a".
Позначення: a | b, якщо b = a⋅q, а a, b, q при ∈ ℕ.
Наприклад: 9 | 63, оскільки 63 = 9⋅7.
Примітки:
1. Оскільки всі числа та їх протилежність поводяться однаково з точки зору подільності, досить сформулювати визначення для натуральних чисел. Нуль - натуральне число.
2. Подільність не слід плутати з поділом. Визначення подільності навіть не включає операцію поділу. Операція 0: 0 не інтерпретується, але 0 | 0 - так, тобто 0 - дільник нуля, оскільки 0 = 0⋅q, q для будь-якого натурального числа.
3. З визначення випливає, що серед натуральних чисел, якщо a | b, то a не більше b.
Основні властивості подільності:
Перелічені тут змінні - це всі натуральні числа.
1. а | а. (Рефлексивна властивість.)
Тобто кожне число є дільником самого себе. (Також нуль) Оскільки 1 є натуральним числом, то a = a⋅1. Наприклад: 27 | 27, 0 | 0, 1 | 1 тощо.
2. Якщо a | b і b | c, то a | c. (Перехідне властивість.)
Наприклад: 3 | 27, 27 | 162, 3 | 162.
3. Якщо | b і | c, то | (b + c).
Тобто, якщо число є окремим дільником двох чисел, то також сума двох чисел. Наприклад: 5 | 15, 5 | 60 та 5 | 75 = 15 + 60 = 75.
4. Якщо | (b + c) та | b, то | c.
Тобто, якщо число є дільником суми та дільником одного члена суми, воно також є дільником іншого члена суми. Наприклад, 7 | 35 = 14 + 21, 7 | 14 та 7 | 21.
5. Якщо a | b, то | bd.
Тобто, якщо число є дільником іншого, воно також є дільником усіх його кратних. Наприклад: 6 | 18 та 6 | 54 = 18⋅3.
6. Якщо a | 1, то a = 1.
7. Якщо a | b і b | a, то a = b. (Подільність асиметрична.)
8. a | 0 довільний для елемента ℕ. Тобто 0 - дільник будь-якого натурального числа. Нуль є.
9. Якщо для | c, b | c та (a, b) = 1, то (ab) | c.
Натуральні числа поділяються на чотири групи за кількістю дільників:
1. Існує дільник 1.
2. Числа, що мають рівно два дільники, є простими числами.
Основна властивість простих чисел: Якщо просте число є дільником добутку, то дільник одного з множників добутку.
3. Числа, що мають більше двох, але кінцеву кількість дільників, є комплексними числами.
4. 0 має нескінченну кількість дільників.
Отже, 0 і 1 не є ні простими, ні комплексними числами.
Правила подільності.
Вони в основному прив’язані до базового числа системи числення.
Тут тепер дотримуються найпоширеніших правил подільності, сформульованих у системі числення 10.
Завдання:
Визначте можливі значення цифр x та y у шестизначному числі, записаному в такій десятковій системі числення, щоб число ділилося на 36. \ (36 | \ накладення \)
(Підсумкове завдання збору завдань 3940.)
Рішення:
Поділіть 36 на добуток двох відносних простих чисел відносно один одного: 36 = 9⋅4, де (9; 4) = 1. Запитане число ділиться на 36, якщо воно ділиться як на 9, так і на 4. Оскільки подільність з 4 залежить лише від останніх двох цифр числа, ми спочатку розглядаємо подільність 4, тому можливі значення y такі: 2, 6.
Щоб ділитися на 9, сума цифр повинна давати число, що ділиться на 9.
Якщо y = 2, то сума цифр дорівнює 3 + 2 + 4 + 5 + 2 = 16. Отже, х = 2.
Якщо y = 6, то сума цифр дорівнює 3 + 2 + 4 + 5 + 6 = 20. Отже, х = 7.
Отже, ми отримали два хороших рішення:
1. для y = 2 та x = 2 322452. Перевірка: 322452 = 36⋅8957.
2. для y = 6 та x = 7 327456. Перевірка: 327456 = 36⋅9096.