Динаміка

Діяльність

Запропоновано проблему, яка дозволяє читачеві вправлятися з усіма аспектами, пов'язаними з динамікою частинки.

Частинка запускається пристроєм, що складається по суті із стиснутої пружини. Спочатку частинка ковзає по горизонтальній площині. Потім він переходить у петлю, а потім, якщо він може описати завиток, переходить до похилої площини.

Передбачається, що між частинкою та горизонтальною та похилою площинами є тертя, але в просторі розрахунку тертя відсутнє.

Фізичні основи

У цьому розділі ми проаналізуємо кожен із етапів, на якому цикл можна розділити

Горизонтальна площина A-B

Якщо стиснути пружину на відстань х а потім, випустивши його в положення А, ми можемо розрахувати швидкість частинки на вході В петлі, застосовуючи рівняння енергетичного балансу.

У положенні А частинка має лише пружну потенціальну енергію

Буття k постійна пружності пружини, яка перетворюється в кінетичну енергію в положенні B

На шляху АВ енергія втрачається внаслідок тертя

Де х+0,7 - відстань між точками А і В.

Більш детальний аналіз руху частинки наведено в розділі "Рух частинки в контакті з пружиною".

Петля

Тепер, якщо швидкість частинки в положенні С менше мінімального значення, це не буде описувати петлю.

З рівнянь динаміки кругового руху ми маємо це

Буття NC нормальна сила при С, або сила, що діє на рейку на частинку в цьому положенні. Мінімальна швидкість отримується, коли NC= 0.

. Потім

  1. Якщо кут більше 90є або p/2.
    Кут q обчислюється з використанням динаміки кругового руху та принципу збереження енергії.

Частина перестає контактувати з петлею в той момент, коли нормальна сила дорівнює нулю., N= 0. Отже

У цей момент частинка рухається під власною силою власної ваги, описуючи криволінійний рух під постійним прискоренням сили тяжіння або параболічним пострілом.

Розміщуємо осі в центрі петлі. Позиція запуску, як видно на малюнку вище, є

Початкові швидкості на момент запуску становлять

У розділі "Кругова та параболічна траєкторія" ми детально проаналізуємо цю цікаву комбінацію рухів.

У ситуаціях 1 і 2 частинка повертається в положення В з тією ж швидкістю, з якою вона потрапила в петлю, оскільки, як уже згадувалося, петля не має тертя.

Похила площина

Якщо частинка описує петлю, вона зі швидкістю входить у похилу площину ви який обчислюється за принципом збереження енергії

Опинившись на площині, рухливе гальмує завдяки ваговій складовій вздовж похилої площини та силі тертя. Частинка проходить відстань х вздовж похилої площини до упору.

Енергетичний баланс або рівняння динаміки прямолінійного руху дозволяють нам розрахувати х.

Застосування енергетичного балансу WDE = EE-ED ми очищаємо х.

Приклади

Весна константа k= 500 Н/м

Радіус петлі Р.= 0,5 м

Коефіцієнт тертя μ= 0,2

Маса частинки встановлена ​​на рівні м= 1 кг

Ми розглядаємо різні ситуації, що виникають при стисненні пружини х.

Пружина стискається х= 0,24, коли вказівник миші працює на маленькому червоному квадратику, який представляє частинку маси м= 1 кг.

Швидкість, з якою вона досягає точки В, є початком кругової колії

Частинка проходить через найвищу точку С кругової доріжки зі швидкістю

Поверніться до точки В, нижня частина кругової доріжки з однаковою швидкістю vB= 5,01 м/с або кутова швидкість ω= 10,02 рад/с.

Він досягає точки D, початку 30є похилої колії зі швидкістю

Обчислюємо максимальний зсув D частинки вздовж похилої площини

Пружина тепер стиснута х= 0,2 м

Швидкість, з якою вона досягає точки В, є початком кругової колії

Частинка ковзає по круговій доріжці, поки швидкість не дорівнює нулю або реакція N вона стає нульовою. У цьому випадку аналізується друга ситуація

Його швидкість v в цьому положенні знаходиться

Частинка описує параболу, поки вона не зіткнеться з дном кругової доріжки.

Пружина тепер стиснута х= 0,1 м

Швидкість, з якою вона досягає точки В, є початком кругової колії

Частинка ковзає по круговій доріжці, поки швидкість не дорівнює нулю

Він рухається назад, проходячи через B, нижню частину кругової колії з однаковою швидкістю, оскільки немає тертя, ковзає вздовж горизонтальної колії і може досягти A або може зупинитися раніше.

Частинка не досягає положення А, вона зупиняється на відстані

Стійки на відстані 47 см, виміряні від В або 70-47 = 23 см, виміряні від початку А.

Діяльність

Коли частинка знаходиться у початку координат, ми кладемо вказівник миші на червону частинку, натискаючи ліву кнопку миші, частинка перетягується, а пружина стискає відстань х бажаний. Потім відпускається ліва кнопка миші. Частинка починає рухатися в петлю.

Щоб повторити експеримент, поставте частинку біля початку координат, натиснувши кнопку із заголовком Почніть.

Кнопка з назвою Пауза Він використовується для моментальної зупинки руху, який відновлюється при повторному натисканні тієї самої кнопки, що має назву зараз Продовжуй. Натиснувши на кнопку з назвою Він пройшов положення частинки спостерігається в кожному інтервалі часу, крок за кроком.

Можна змінити такі параметри:

  • Значення пружної константи k з доку, в елементі керування редагуванням під назвою Весна константа.
  • Коефіцієнт тертя в елементі управління під назвою Коефіцієнт тертя, в певних межах (0- 0,7). Вводячи 0, ми припускаємо, що тертя відсутнє. На горизонтальних та похилих коліях є лише тертя, а на круговій - тертя.
  • Радіус циклу в елементі керування редагуванням Радіус петлі, в межах від 0,2 до 0,5 м.
  • Маса частинки встановлена ​​на рівні 1 кг

Програма гнучка і дозволяє нам практикувати більшість ситуацій, описаних в динаміці:

  • Динаміка рівноприскореного прямолінійного руху (похила площина)
  • Динаміка кругового руху (петля)
  • Збереження енергії (петля)
  • Енергетичний баланс, коли діють неконсервативні сили, сила тертя (похила площина та горизонтальна площина)

Перетягніть маленький червоний квадрат вліво за допомогою вказівника миші

Рух частинки в контакті з пружиною

Стискаємо пружину до положення x0 а потім відпустили. Частинка ковзає під дією двох сил:

якою вона

сила, яку чинить пружина kx

сила тертя, що протистоїть руху мкг

Якщо максимальне стиснення пружини дорівнює x0, частинка рухатиметься, якщо kx0> мкг, інакше він залишиться в рівновазі в такому положенні.

Рівняння руху таке

Рішенням цього диференціального рівняння є

х=ДОсен (ωt)+Bcos (ωt)+мкг/ω 2

Константи ДО Y B визначаються з початкових умов: в даний момент т= 0, x = x0 Y dx/dt= 0

Можуть статися два випадки:

1. -Частина зупиняється до досягнення початкової точки

2.-Щоб частинка досягла початку х= 0, з кінцевою швидкістю v

Частинка в цей момент зупиняється t = π/ω, ваша позиція така

Щоб воно перевищувало походження, це має бути виконано x0> 2мкг/ω 2

Ми прийшли до такого ж висновку з енергетичної точки зору. Тільки якщо енергія, що зберігається навесні, більша за роботу сили тертя, частинка перевищує початок

Швидкість, з якою вона досягає початку координат х= 0 дорівнює

Той самий результат, який отримують при застосуванні енергетичного балансу: робота сили тертя дорівнює різниці між кінцевою енергією та початковою енергією

Тепер ми розглянемо другу ситуацію: частинка повертається до початку зі швидкістю v0 і стиснути пружину

Рівняння руху таке

Рішенням цього диференціального рівняння є

х=ДОсен (ωt)+Bcos (ωt)-мкг/ω 2

Константи ДО Y B визначаються з початкових умов: на даний момент т= 0, x =0 і dx/dt=v0

Частинка зупиняється v= 0 на даний момент т

Врахування тригонометричних співвідношень

Ми дійшли до наступного виразу для остаточного положення частинки

Той самий результат, який отримують при застосуванні енергетичного балансу: робота сили тертя дорівнює різниці між кінцевою енергією та початковою енергією

Круговий і параболічний шлях

Частинка описує круговий шлях, якщо швидкість у нижній частині петлі дорівнює

Частинка ковзає назад, коли

Коли швидкість v0 знаходиться між цими двома значеннями, частинка ковзає крізь петлю, описує параболічний рух, стикається з петлею і знову ковзає крізь петлю, як показано на малюнку.

Для аналізу цього складного руху ми розміщуємо початок координат у центрі петлі та вимірюємо кути від осі X. На осі X розміщуємо нульовий рівень потенційної енергії.

У кутовому положенні θ1 частинка перестає контактувати з петлею, реакцією N Це ніщо

Написано рівняння динаміки кругового руху та принцип збереження енергії

Поєднуючи обидва рівняння, визначаємо значення кута θ1

Як тільки P1 приходить, він описує параболічний рух, швидкість і положення частинки є

Він стикається з петлею в точці P2, яка є точкою перетину між параболою і радіусовим колом Р.. Пам'ятаючи, що рівняння кола, коли його центр знаходиться у початку координат, є

x 2 + y 2 = R 2

Беручи до уваги, що динаміка кругового руху

Ми дійшли до наступного спрощеного виразу

Час польоту частинки, поки вона не зіткнеться з петлею, становить

Положення точки удару Р2 і швидкість частинки відповідно

Після зіткнення будемо вважати, що нормальна складова швидкості скасовується, і частинка ковзає по петлі з тангенціальною складовою швидкості.

Нормальна складова швидкості обчислюється за скалярним добутком r2v2

Модуль вектора позиції r2 точки Р2 - радіус Р. окружності

Кінцева енергія частинки в точці удару Р2 становить

Енергія в точці удару менше енергії частинки в точці запуску

На малюнку показано параболічні траєкторії, за якими рухається частинка, для різних значень початкової швидкості v0 внизу петлі.

Список літератури

Горілей А., Буланже П, Лерой Дж., Моделі іграшок: маятник, що стрибає. J. Phys. 74 (9), вересень 2006 р., С. 784-788