1. Об’єднайте два набори

Визначення:

Об'єднання (злиття, сума) двох множин - це сукупність елементів, які є елементами принаймні одного з двох наборів.

встановити
Позначення: Символ об'єднання множин A і B: A∪B. Коротше: c ∈ A∪B, якщо c ∈ A одержимість c ∈ B.

Представництво: Цю операцію можна проілюструвати за допомогою діаграми Венна наступним чином:

A ∪ A = A. Об’єднання будь-якої множини з собою є самим собою.
A ∪ ∅ = A. Об’єднання будь-якої множини з порожньою множиною є саме собою.
A ∪ B = B ∪ A. Комутативна (взаємозамінна) властивість.
A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Асоціативна (згрупована) властивість.

2. Спільна частина двох множин

Визначення:

Перетин (загальна частина, добуток) двох множин - це сукупність елементів, що є елементами обох множин.
Позначення: Перетин множин A і B дорівнює: A∩B. Коротше: c ∈ A ∩ B, якщо c ∈ A і c ∈ B.

Представництво: Цю операцію можна проілюструвати за допомогою діаграми Венна наступним чином:

A ∩ A = A Перетин будь-якої множини з собою є самим собою.
A ∩∅ = ∅. Перетин будь-якої множини з порожньою множиною є порожньою множиною.
A ∩ B = B ∩A. Комутативна властивість. (Взаємозамінні.)
A ∩ B∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Асоціативне майно. (Можна згрупувати.)

Перетин непересічних множин - це порожня множина.

Для розділу та злиття множин властивість розподілу є істинною наступним чином:

  1. Об'єднання (множина) множин є розподільним для перетину множин: A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
  2. Перетин множин є розподільним для об'єднання множин. A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

3. Різниця множин

Визначення:

Різниця між множинами A і B (розглядається в такому порядку) - це сукупність елементів, які є елементами множини A, а не елементами множини B.
Позначення: Різниця між множинами A і B дорівнює A \ B. Коротше: c ∈ A \ B, якщо c ∈ A і c ∉B.

Представництво: Цю операцію можна проілюструвати за допомогою діаграми Венна наступним чином:

A \ A = ∅. Віднімання себе з будь-якого набору дає порожній набір.
A \ ∅ = A. Віднімання порожнього набору з будь-якого набору дає вихідний набір.
A \ B ≠ B \ A. Віднімання множин не є комутативним.
(A \ B) \ C ≠ A \ (B \ C). Віднімання множин не є асоціативним.

Додатковий набір

Визначення

Нехай A - підмножина базового набору з позначкою U. (A⊆U) У цьому випадку: U \ A = \ (\ overline \)

Словами: Різниця між базовим набором та його підмножиною є додатковим набором підмножини щодо базового набору.

Щодо перетину, злиття та доповнення утворення множин, т. Зв де Морган:

Короткий опис властивостей набору операцій:

  • Серед множинних операцій об'єднання та перетин множин є комутативними та асоціативними.
  • Різниця між двома множинами не є ні комутативною, ні асоціативною.
  • Властивість розподілу є істинною для перетину та злиття множин
  • Так званий т.зв. де Моргана

Давайте розглянемо набір операцій на дуже простому прикладі!

Завдання:

Визначте множини A і B, якщо ви знаєте, що A ∪ B =; A ∩ B =; A \ B =; B \ A =

(Підсумкове завдання на збір завдань 205.)

Рішення:

Оскільки A∩ дорівнює B =, то 3 і 5 є елементами A. Через умову A \ B = число 1 також є елементом A. Поки що A =.

Оскільки A ∩ B =, то 3 і 5 також є елементами B. Через умову B \ A = числа 2 і 4 також є елементами B. Поки що B =.

Оскільки отримане таким чином об'єднання множин A і B є однаковим із отриманим: A ∪B =, кінцевий результат:
A = і B = можуть бути лише.
Ми також можемо вирішити задачу на кресленні за допомогою діаграми Венна!

Спочатку Використовується умова A∩B =. Елементи множини A∩B належать обом множинам, тому ми записуємо їх у спільну частину двох множин.

Це зараз Використовується умова \ B =. Це означає, що число 1 належить лише набору A, але не набору B.

Нарешті, B \ A = використовуючи умову:

Кінцевий результат можна легко прочитати з діаграми Венна: