У древніх єгиптян були специфічні символи для фракцій, що використовувались для породження всіх інших

Пов’язані новини

Існує загальна думка, що математична робота самотня і далека від реальності. Можливо, що це часто буває так, але це не є звичним і, звичайно, не найбільш рекомендованим. Будь-який проект, який виконується в команді, особливо якщо це міждисциплінарна команда, дає більш задовільні результати з більшими прогнозами, не кажучи вже про те, що процес розробки є більш плавним і цікавим. Як і в усіх сферах професійного життя, нетипові та надзвичайні ситуації дуже помітні, досягнуті записи завжди привертають увагу, і може статися так, що деякі дивовижні історії викликають інтерес у людей поза професією.

гора

У математиці дуже вражають два крайні випадки плідної роботи: Леонард Ейлер (1707-1783) та що Пол Ердес (1913-1996). Фігура Ейлера вже добре відома, вона є частиною - або повинна бути частиною загальної культури, а збірник його наукових праць (понад 850 праць) становить величезну роботу, переважно індивідуальну, результат якої доступний у «Архів Ейлера», що підтримується бібліотекою Тихоокеанського університету в Каліфорнії, США. Постать Ердеша, угорського математика, який усе своє життя подорожував світом і тісно співпрацював із якомога більшою кількістю колег, може бути не таким відомим. У 2001 році, Пол Гофман опублікував цікаву біографію під назвою "Людина, яка любила лише цифри" (Ediciones Granica), узагальнивши в назві найбільш значущу характеристику цього персонажа.

Протягом свого життя Ердос опублікував, як нам відомо, 1526 наукових робіт з математики - з урахуванням 35, що з'явилися після його смерті, - більшість з них - в теорії чисел і теорії множин. Понад тисячу його робіт було виконано у співпраці з 512 співавторами. Серед них 202 співпрацювали з Ердесом у більш ніж одній статті, його співвітчизник Андраш Саркозі який має рекорд 62 спільних наукових робіт.

Дотепер у XXI столітті досі опубліковано п’ять статей, що містять спільний підпис Ердеса та одного чи кількох інших авторів, роботи, розпочаті у співпраці з Ердесом або вирішують запропоновані ним проблеми. Можливо також, що деякі з цих авторів хотіли досягти довгоочікуваного числа Ердеса, рівного одиниці, зарезервованого на даний момент для 512 прямих співробітників, числа, яке може стати гідністю включення в будь-яку програму математики.

Останнє з щасливих висловів Стівен Батлер, професор Університету штату Айова, а праця, яку він опублікував у 2015 році, була підписана разом з Полом Ердесом та нещодавно померлою Рональд Грем - заслуговує на трохи уваги.

У цій роботі під назвою "Єгипетські дроби з кожним знаменником, що має три різні прості дільники", вивчаються деякі властивості єгипетських дробів, які досі не були відомі. Як? Що таке єгипетські фракції?

Скажімо для спрощення, що саме вони мають чисельник, рівний одиниці. Чому їх називають єгипетськими? Оскільки в єгипетській цивілізації понад 3500 років тому це були ті фракції, для яких вони мали конкретні символи, а отже, саме вони використовувались для створення всіх інших. Насправді, одним з найбільш репрезентативних символів, око гору, містить найпростіші дроби, з якими вони утворили інші, і в першій частині відомі за папірусом, тим, чим ми можемо милуватися в британському музеї в Лондоні (коли вони відпускають нас туди), з'являється таблиця з трудомістким розкладанням - як сума двох, трьох або чотирьох дробів з чисельником, рівним одиниці - усіх дробів типу 2/n для будь-якого n непарного від 5 до 101 (3 не враховується, оскільки вони також мали символ, що представляє дріб 2/3). Останній дуже привабливий: він відповідає рівності 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Папірус також містить таблицю з розкладом дробів n/10 на будь-які n від 2 до 9.

Так, я думав так само, як і ви: кожен дріб 2/n можна розкласти просто як 1/n + 1/n, але єгиптяни шукали комбінації, де всі знаменники були різними. Так, мені також цікаво, чому вони хотіли зробити це так, як не великий французький математик Андре Вайль пояснив, що відповідь проста: вони просто пішли не тим шляхом.

Протягом історії було виявлено багато властивостей єгипетських фракцій, але також порушувались питання, деякі з яких залишалися невирішеними. Звичайно, першим питанням буде: чи всі дроби (менше одиниці) можна розкласти як суму єгипетських дробів? Відповідь - так і Фібоначчі (c.1170-c.1250) розробив безпомилковий метод: найбільший дріб з чисельником, різниця якого позитивна, віднімається від вихідного дробу; результат - інша дріб, менша за першу, до якої застосовується та сама процедура; оскільки на кожному кроці отримують меншу кількість, в якийсь момент різниця дорівнює нулю. На сторінці Рона Нотта ви можете знайти онлайн-калькулятор, який розбиває будь-яку частку, дотримуючись цього методу.

Цей метод буде надійним, але не завжди дає „елегантні” результати. Наприклад, єгиптяни писали 2/45 = 1/30 + 1/90, а метод Фібоначчі приводить до рішення 2/45 = 1/23 + 1/1035. Є й інші гірші приклади, які заохочували наукове співтовариство, і з часом були розроблені більш прямі та ефективні методи.

Насправді також було показано, що кожна дріб може бути розкладена як сума єгипетських фракцій нескінченно.

Другим питанням може бути: яка максимальна та мінімальна кількість єгипетських фракцій, необхідних для розкладання даної фракції? Відомо, що за методом Фібоначчі кожна дріб n/m потребує щонайбільше n додавання. Роботи Росії Майкл Мейс у 1987 та Герта Фрейтаг Y Джордж Філліпс у 1999 р. вони забезпечують умови для досягнення максимальної кількості доповнень для певних випадків. З іншого боку, до 2010 року було відомо, що частка 732/733 - це та, що має найменший знаменник, який можна виразити як суму семи єгипетських фракцій, але не шести. Математик-аматор Уго ван дер Санден довів того року, що 27538/27539 - це найпростіша дріб, яка не може бути розкладена як сума семи, а як сума восьми єгипетських фракцій. Якою буде та, яка потребує принаймні дев'ять єгипетських фракцій? На даний момент ніхто не знає.

Як ми вже говорили, існує багато питань, пов’язаних з даною темою, і не всі з них вирішені. Що робити, якщо ми хочемо, щоб знаменники були рівними? Або все дивно? Понад півстоліття Ердес та Грем думали, чи можна дріб розкласти як суму єгипетських дробів, у яких кожен знаменник є добутком трьох різних простих чисел. Ми не повинні думати, що це питання прийшло їм у голову в пориві творчості, але що це було запропоновано іншими числовими проблемами щодо розділів, над якими вони працювали. У статті, яку ми цитували Батлер, Ердос та Грем, опублікованій у 2015 році, нарешті показано, що кожне натуральне число може бути записано як сума єгипетських дробів, де кожен знаменник є добутком трьох різних простих чисел, і існує три зв’язок у думках авторів (один голос «за», один «проти» і один порожній) щодо початкового питання, чи те саме відбувається з будь-якою часткою, не обов’язково з натуральним числом.

Оскільки в фундаментальній науці ми зазвичай не ставимо питання "Для чого це все?" Ось проблема: як рівномірно розподілити п’ять рівних піц серед восьми людей? Найбільш необдумана відповідь - розділити всі піци на вісім рівних скибочок, щоб 40 скибочок можна було легко розділити між 8 людьми. Як щодо того, щоб написати 5/8 = 1/2 + 1/8? Завдяки різкому зменшенню кількості надрізів у піці, точність стає більшою, а розподіл справедливішим. Чи так єгиптяни розподіляли землю, врожаї, прибуток, заробітну плату ...?

Педро Алегрія. Університет країни Басків/Euskal Herriko Unibertsitatea. Комісія з розкриття інформації Королівського іспанського математичного товариства (RSME).

ABCdario de las Matemáticas - це розділ, що виникає в результаті співпраці з RSME