Наукас

У багатьох середовищах прийнято вважати статистику маленькою сестрою математики. Я думаю, наприклад, про існуючу різницю в академічних програмах іспанської середньої освіти між математикою А і В (відома студентам, не без певного жарту, як легка математика та складна математика). Головна відмінність полягає в тому, що так звані легкі включають більше статистики та менше аналізу.

Незважаючи на певну соціальну дискредитацію, статистика, і особливо теорія ймовірностей, є надзвичайно багатою і напрочуд складною галуззю, яка породжує безліч явищ, які, очевидно, суперечать інтуїції.

У цій статті я зупинюсь на концепції посередності, яка виявляється більш-менш прихованою майже у будь-якому практичному застосуванні ймовірності, і є джерелом багатьох непорозумінь, що виникають при спробі її інтерпретації, на додаток до дуже глибокої концепції ймовірності. фізичний.

Шанси обчислюються підрахунком

Ну, підрахунок і ділення, але останнє можна зробити за допомогою калькулятора. Зрештою, ймовірність події визначається як кількість випадків, сприятливих для цієї події, поділена на кількість можливих випадків.

Таким чином, ймовірність отримати голови в жеребкуванні монети [1] дорівнює 1 на 2 (0,5), оскільки загальні можливості - 2 (голови або хвости), з яких лише одна - голови. [1] Жодна з монет, кубиків тощо. цієї статті буде обмануто.

вага

Якщо ми зараз хочемо розрахувати ймовірність накручування 6 на рулон матриці, ми можемо використати таку діаграму:

Звідки швидко випливає, що ймовірність дорівнює 1/6.

Ми також можемо працювати з дещо складнішими подіями, такими як ймовірність отримання парного числа, і в цьому випадку ми мали б:

Будучи ймовірністю в цьому випадку 3/6, тобто 0,5.

Підрахувати це легко, чи не так?

Тоді очевидно, що для обчислення ймовірностей достатньо підрахувати можливі випадки, і ми всі знаємо, як рахувати ... або так ми думаємо. Читач, менш близький до математики, може бути здивований, прочитавши, що підрахунок непростий, принаймні не завжди. Підрахувати можливі випадки може бути дуже складно, і навіть існує розділ математики, комбінаторика, присвячений виключно мистецтву підрахунку.

Спробуйте, наприклад, порахувати, скільки можливих способів вмістити на весіллі 100 гостей, розділивши їх на 10 столів. Проблема в підрахунку, але відповідь не очевидна.

Але зупиніться на цьому! Це популярна стаття ... ми вже досить катували читача в попередньому параграфі. Давайте забудемо про заплутані випадки та зосередимось на більш основній та важливішій проблемі: коли ми рахуємо, що ми рахуємо?

Припустимо, я прошу вас порахувати, скільки дерев на вашій вулиці. Що якщо зараз я попрошу вас порахувати, скільки гілок? А скільки листя? У всіх трьох випадках ви розглядаєте абсолютно однакові об'єкти, але цифри змінюються внаслідок того, як ми позначаємо набори ... що саме викликає наш інтерес до кожного випадку.

У глибині душі це щось цілком очевидне, ви не можете сказати, якщо не знаєте, що хочете сказати.

Посередність вривається: потворні цифри

З приходом канікул багато з нас піддаються надзвичайній небезпеці: колеги делегують нас, щоб вибрати номер для десятої лотереї компанії. Ті з нас, хто, як і я, знаємо про ймовірності, ми ясно усвідомлюємо, що не має значення, яке саме число ми виберемо, і що єдина впевненість полягає в тому, що яким би воно не було, знайдуться колеги, які дорікають нам за те, що ми вибрали таку погану номер.

Але як один номер лотереї може бути більш-менш поганим, ніж інший? На додаток до звичайних хитрощів, зазвичай можна почути, що виграшні номери - це завжди потворні цифри. Під цим вони мають на увазі, що виграшні числа рідко бувають кричущими цифрами (з якоїсь причини), наприклад 00000, 12345 або 31416 ... навіть незважаючи на те, що математики, ці розумники, наполягають на тому, що вони настільки ж імовірні, як і будь-які інші.

І причина проста в тому, що навіть не з’ясовуючи, що означає це потворне число, потворних чисел набагато більше, ніж симпатичних чисел. Так само, як коли ми групуємо гілки в дерева, ймовірності змінюються, оскільки змінюється набір, який ми підраховуємо. Природно, що основний феномен ідентичний, і наші шанси виграти в лотерею, граючи потворні номери, абсолютно однакові, як якщо б ми грали в будь-який інший.

Цей дисбаланс між потворними, посередніми випадками та красивими, особливими випадками виникає в безлічі випадкових явищ. І, як ми побачимо, це має значення далеко за межами сфери азартних ігор та ставок.

Посередність швидко росте: приклад з монетами

Уявіть, що ми кидаємо кілька монет і вважаємо, що жеребкування прекрасне, коли всі монети - це голови або всі монети - хвости.

У наведеній нижче таблиці узагальнено всі можливі ігри на монети 2, 3 і 4, позначені гарні п’єси зеленим кольором:

Як бачимо, красиві п'єси дедалі більше "розчиняються" серед безлічі потворних, посередніх ігор, оскільки кількість монет збільшується. Чим більше монет, тим більш малоймовірно, щоб знайти приємний стан.

Цікаво, що для переважної більшості розумних визначень того, що таке гарний стан, така поведінка переважає.

Посередність як фізична "сила"

Існує ціла галузь фізики, статистичної механіки або статистичної фізики, яка постійно використовує міркування, подібні до тих, які ми розробляли, щоб отримати напрочуд точні висновки.

Перші його застосування виникли при дослідженні газів.

Газ можна інтерпретувати як дуже численний набір частинок, кожна з яких має певну швидкість і положення, які еволюціонують з часом, наприклад, підстрибуючи між ними та зі стінками корпусу, що їх містить.

Проста оцінка дозволяє встановити, що для зберігання положень і швидкостей моля частинок (припускаючи 2 байти на число) буде потрібно близько 10 16 Гб пам'яті. Це приблизно еквівалентно 10 000 комп’ютерів для кожної живої людини у світі. Не кажучи вже про те, наскільки складним було б завдання відповідального за введення цих даних. Словом, прямий підхід неможливий. Рішення?, Прийміть наше незнання щодо позицій і швидкості і розглядайте їх як випадкові величини.

Дуже простий класичний приклад такий: ймовірність того, що протягом однієї секунди всі частинки повітря у вашій кімнаті сконцентруються в одному куті кімнати, точно така ж, як імовірність того, що частинки стануть такими, якими вони є зараз (один тут, один там, etcetera etcetera etcetera). Також однакова ймовірність того, що всі вони «змовляються», щоб спрямувати свою швидкість на, скажімо, голову читача, що має фатальні наслідки.

Чи слід нам боятися вбивчого повітряного удару? Чому б нам не потонути? Просто тому, що бідні частинки повітря еволюціонують серед величезного каталогу посередніх станів, без помітних особливостей (або страхів). Крім того, оскільки кількість можливих станів настільки величезна, ймовірність виходу із посередності дуже низька.

Посередність, потворність, розлад ... або, як ми, фізики, воліємо казати: ентропія.

І це те, що другий принцип термодинаміки має багато, багато спільного з потворними номерами лотереї.