Але підемо частинами. Існує ряд правил викладу аксіом. По-перше: аксіом повинно бути якомога менше. І друге: не повинно бути неможливо вивести з них два висновки, які суперечать один одному.

теорема

У математичних посібниках будь-якої школи ми вже починаємо вивчати перші аксіоми. Найвідомішим, без сумніву, є те, що з "для будь-яких двох точок можна провести лише лінію" або "загальна сума - це сума деталей". Отже, математика радіє, бо, на відміну від інших дисциплін пізнання, разом із ними здається, що ми можемо дійти до абсолютних істин, до справжньої мудрості.

Але реальність не така красива. Багато років вважалося, що аксіоми Евкліда - єдині, які можуть становити послідовну геометрію. Єдині істини, яких ми могли дотриматися Але в 19 столітті було показано, що, модифікуючи певним чином аксіоми Евкліда, можна створити різні і послідовні геометрії. З цього моменту люди вже не знали, яка з цих геометрій є істинною.

Можливо, питання має бути не в тому, що є правдою, а в тому, що корисно. Оскільки існує безліч наборів аксіом, з яких можуть виникати послідовні математичні системи, і всі вони відрізняються одна від одної. Це суперечить одному з правил щодо аксіом: те, що вони не можуть суперечити один одному.

Але уявіть таке твердження: "Заява, яку я роблю, неправдива".

Якщо це неправда, то неправда, що я кажу щось неправдиве, і я повинен говорити щось істинне. Але якщо я кажу щось істинне, то це правда, що я кажу щось неправдиве, і було б правдою, що я кажу щось неправдиве. І так до нескінченності. Неможливо логічно показати, що моє твердження є таким чи не таким.

Ще одне твердження з тими ж характеристиками проголосив Сократ: «Я просто знаю, що нічого не знаю".

Ви подумаєте, що подібні фрази хитрі і що реальність поводиться не так.

У 1931 р. Австрійський математик Курт Гедель, лише у 25 років він опублікував статтю під назвою Про формально невирішувані положення в Principia Mathematica та суміжних системах. Там він показав, що для будь-якого набору аксіом завжди можна зробити твердження, які на основі цих аксіом неможливо довести або що вони подібні або що вони не є такими. У цьому сенсі неможливо коли-небудь розробити набір аксіом, з яких можна вивести повну математичну систему.

Не бійся. Це не означає, що ми ніколи не можемо дійти до істини. Це означає, що математична система буде нам корисна до тих пір, поки ми не використовуємо її поза її межами. Гедель виявив нам, що істина - це вища категорія, ніж доказовість. І, з іншого боку, Теорема Геделя це стосується лише дедуктивних систем, що використовуються в математиці. Це показує нам, що найдосконаліша математична система, яку ми можемо досягти, з кінцевою кількістю аксіом і правил висновку, не здатна на принципі довести істинність/хибність тверджень, які ми, поза системою, можемо легко побачити.

Але, на щастя, дедукція - не єдиний спосіб розкрити істину.