У попередній задачі змініть формулювання, якщо виконуються наступні умови.

кінцевої суміші

а) Кожен проект повинен отримати мінімум 10 відсотків бажаного рівня фінансування.

b) Сума, виділена на проект вугільного палива, повинна бути принаймні рівною сумі, виділеній на проект синтетичного палива.

в) Сукупне фінансування проекту геотермального палива та проекту синтетичного палива становитиме щонайменше 40 мільйонів доларів

Суміш нафти Невеликий нафтопереробний завод збирається змішати чотири нафтопродукти у три кінцеві бензинові суміші. Незважаючи на те, що формули змішування не є точними, є деякі обмеження, яких слід дотримуватися в процесі, а саме:

  1. Компонент 2 повинен складати не більше 40 об.% Суміші 1.
  2. Компонент 3 повинен складати щонайменше 25 об.% Суміші 2.
  3. Компонент 1 повинен складати рівно 30% суміші 3.
  4. Компоненти 2 і 4 повинні разом становити щонайменше 60% обсягу суміші 1.

Компоненти 2 та 3 є погано доступними: 1 500 000 та 1 000 000 літрів відповідно. Керівник виробництва хоче змішати в цілому 5 000 000 літрів. З цієї загальної кількості необхідно виготовити мінімум 2 000 000 літрів кінцевої суміші 1. Оптова ціна за літр при продажу кожної кінцевої суміші становить 0,26, 0,22 і 0,20 доларів США відповідно. Вартість вхідних компонентів становить 0,15, 0,18, 0,12 і 0,14 долара за літр відповідно. Проблема полягає у визначенні кількості літрів кожного компонента, який буде використаний у кінцевих сумішах, так що вклад загальної корисності виробничого циклу буде максимізований.

У попередній задачі змініть формулювання, якщо виконуються наступні умови.

а) Вийде не більше 3 мільйонів літрів кінцевої суміші 1.

b) Компоненти 1 і 3 становитимуть щонайменше 50% кінцевої суміші 3.

в) Компоненти 1 і 4 не становитимуть більше 6007o кінцевої суміші 1.

г) Загальний дохід суміші 2 повинен бути більше 200 000 доларів.

ПРОПОЗИЦІЇ ФОРМУЛЮВАННЯ МОДЕЛІВ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

  1. дуже уважно прочитайте постановку проблеми.
  2. Визначте змінні рішення. Йдеться про рішення, які потрібно прийняти.Який набір змінних безпосередньо впливає на рівень досягнення цілей і чи може керівник контролювати? Як тільки ці змінні ідентифіковані, вони перераховуються та дається письмове визначення (наприклад, x1 = кількість одиниць, вироблених та проданих за тиждень товару 1, X2 кількість одиниць, вироблених та проданих за тиждень продукту 2.

3 Визначте мету. Що слід максимізувати або мінімізувати (наприклад, максимізуючи загальний тижневий прибуток, отриманий від виготовлення виробів 1 і 2)?

4 Визначте структурні обмеження. Які умови повинні бути виконані при призначенні значень змінним рішення? Які обмеження забороняють зводити значення цільової функції до нескінченності (позитивної чи негативної)? Читач може захотіти написати словесний опис обмежень перед записом математичного подання (наприклад, загальний випуск товару 1> 100 одиниць).

5 Сформулюйте математичну модель письмово. Залежно від розглянутої проблеми, ви можете почати з визначення цільової функції або структурних обмежень. Не забудьте включити обмеження негативу,

Дієтолог планує меню обіду для початкової школи. Ви плануєте подати три основні продукти, усі з різним поживним вмістом. Дієтолог хоче забезпечити принаймні мінімальну добову норму всіх трьох вітамінів за один прийом їжі. У таблиці 6.5 узагальнено вміст вітаміну в одній унції трьох видів їжі. Можна вибрати будь-яку їх комбінацію, якщо загальний розмір порції становить щонайменше 7,5 унції.

Сформулюйте задачу лінійного програмування, яка при вирішенні визначає кількість унцій, яку потрібно подавати до кожної їжі. Мета - мінімізувати витрати на їжу, дотримуючись мінімальних щоденних рівнів подачі всіх трьох вітамінів та дотримуючись обмеження на мінімальний розмір порції.

Основний виробник цукру має два заводи, які постачають чотири виноробні. У таблиці узагальнено їх тижневий потенціал:

Вартість за унцію, дол

ваші щотижневі потреби та вартість доставки за тонну (у доларах) між заводом та будь-яким складом.

Щотижнева пропозиція тонн

Тижневий попит, тонн

Якщо xij - це кількість тонн, відвантажених із заводу i на склад j, сформулюйте модель лінійного програмування, яка дозволяє визначити графік розподілу, що мінімізує витрати на доставку. Не можна порушувати потужності щотижневих заводів, а потреби складів задовольняти.

Хімічна компанія виробляє рідкий кисень у двох містах на півдні країни. Він повинен забезпечити три склади в одному регіоні. У таблиці наведено підсумок вартості доставки на 1000 галонів між заводом та складом, а також щомісячну потужність заводів та щомісячну потребу в резервуарах. Якщо Xij - кількість галонів (у тисячах), відправлених із заводу i на склад j, сформулюйте модель лінійного програмування, щоб визначити програму розподілу, яка пропонує мінімальну вартість. Можливості заводу не повинні бути порушені, а програма повинна відповідати потребам водойм.

Пропозиція, 1000 гал

Компанія виробляє три продукти, які переробляються в деяких або всіх чотирьох парламентах. У таблиці вказується кількість годин, необхідних одиниці кожного продукту у відділах, і кількість фунтів сировини, яка необхідна. Також включаються трудові та матеріальні витрати на одиницю, ціна продажу та щотижнева потужність робочих годин та сировини. Якщо метою є максимізація загального тижневого прибутку, сформулюйте модель лінійного програмування для цієї вправи.

Доступність щотижня

Відділ 1

Відділ 2

Відділ 3

Відділ 4

Фунти сировини на одиницю

Ціна розпродажу

Вартість праці на одиницю

Витрати матеріалу на одиницю

Щодо попередньої вправи, як іншої вправи напишіть обмеження, які супроводжують кожну з наступних умов.

  1. Сукупне щотижневе виробництво повинно складати не менше 40 одиниць.
  2. Кількість одиниць продукту А не повинна перевищувати подвійну кількість продукту С.
  3. Оскільки продукти B і C зазвичай продаються разом, рівні їх виробництва повинні бути однаковими.

Регіональне агентство з оренди вантажівок планує впоратися з великим попитом протягом літніх місяців. Він підрахував ці вантажні автомобілі в деяких містах і порівняв їх із прогнозованими потребами в кожному з них (усі вантажні автомобілі однакового розміру). Очікується, що в трьох районах метро вантажних автомобілів буде більше, ніж їм знадобиться влітку, але в чотирьох містах очікується менше вантажівок, ніж вимагатиме попит. Щоб підготуватися до цих місяців, вам потрібно найняти водіїв для перевезення вантажних вантажівок із надлишків до тих, де цих транспортних засобів бракує. Їм виплачують фіксовану зарплату, яка залежить від відстані між двома містами. Вони також отримують щоденні витрати. У таблиці підсумовано витрати на перевезення вантажівки з одного міста в інше. Також включені прогнозовані надлишки для кожного міста, що свідчать про надлишок та дефіцит, який очікується для міста, якому потрібно буде більше вантажівок. (Зверніть увагу, що загальний надлишок перевищує загальний дефіцит.)

Якщо метою є мінімізація витрат на перерозподіл вантажних вантажівок, сформулюйте модель лінійного програмування, яка дозволяє вирішити проблему. (Підказка: позначте xij кількість вантажних автомобілів, переміщених із зони надлишку i зони дефіциту j.)

Площа дефіциту

Надлишок вантажівки

Місто з надлишком 1

Місто з надлишком 2

Місто з надлишком 3

Нестача вантажівок

Кавоварка змішує чотири боби в три остаточні суміші. Зерна з чотирьох компонентів коштують вам відповідно 0,55, 0,70, 0,60 і 0,80 долара за фунт відповідно. Щотижневі запаси чотирьох компонентів складають, відповідно, 30 000, 40 000, 25 000 та 20 000 фунтів. Виробник продає всі три суміші за оптовими цінами $ 1,25, $ 1,40 та $ 1,80 за фунт відповідно. Щотижневе виробництво повинно містити щонайменше 40000 фунтів кінцевої суміші 1.

Нижче наведені обмеження суміші, яких повинен дотримуватися заготовник.

а) Компонент 2 повинен становити щонайменше 30% кінцевої суміші та не більше 20% кінцевої суміші 3.

b) Компонент 3 повинен складати рівно 20% кінцевої суміші 3.

в) Компонент 4 повинен становити щонайменше 40% кінцевої суміші 3 і не більше 10% кінцевої суміші 1.

Мета полягає у визначенні кількості фунтів кожного компонента, який слід використовувати в кінцевій суміші, щоб максимізувати щотижневий прибуток. Сформулюйте це як модель лінійного програмування, ретельно визначаючи свої змінні рішення.

Компанія виготовляє два товари. Одне та інше мають оброблятися у двох відділах. Продукт А вимагає 2 годин на одиницю у відділенні 1 та 4 години на одиницю у відділі 2. Виріб Б вимагає 3 години на одиницю у відділенні 1 та 2 години на одиницю у відділенні 2. Відділи 1 та 2 мають відповідно 60 та 80 годин доступні на тиждень. Норма прибутку для двох продуктів становить, відповідно, 3 долари та 4 долари за одиницю. Якщо xj - кількість одиниць, виготовлених із виробу j, а) сформулюйте модель лінійного програмування для визначення товарної суміші, яка максимізує загальний прибуток, і б) вирішіть проблему методом кутових точок. в) Повністю інтерпретуйте результати, вказуючи рекомендовану суміш продуктів. Який відсоток добової потужності буде використовуватися в кожному відділі?

Дієтолог у виправній установі готує сьогоднішнє меню легкої вечері. Буде подано два страви. Дієтолог хоче отримувати мінімум щоденних порцій двох вітамінів. У таблиці узагальнено вміст вітаміну в унції кожного продукту, мінімальні добові порції кожного вітаміну та витрати на унцію їжі. Якщо xi - кількість унцій їжі i, а) сформулюйте модель лінійного програмування, щоб визначити кількість двох продуктів, яка мінімізує вартість їжі, забезпечуючи при цьому щонайменше мінімальні рівні обох вітамінів. б) Розв’яжіть задачу методом «в точці в кут» із зазначенням того, з чого буде складатися найменш витратна їжа та її ціна. Скільки відсотків мінімальних добових порцій кожного вітаміну буде отримано під час прийому їжі?

Мінімальний добовий раціон

Вартість за унцію

Виробник машин хоче максимізувати прибуток, який він отримує від виробництва двох виробів: продукту А і продукту В. Три основні вхідні дані для кожного продукту - це сталь, електроенергія та робочі години. У таблиці узагальнено вхідні дані на одиницю, доступні джерела та норму прибутку на одиницю. Сформулюйте модель лінійного програмування, застосовну до цієї задачі. Яке обмеження є найважливішим?

Доступні щомісячні

Прибуток на одиницю

На певній території є три склади, які постачають продовольчі товари до чотирьох продуктових магазинів. У таблиці узагальнено вартість доставки на вантажівку зі складу до магазину, кількість вантажівок вантажівок на магазин на тиждень та максимальну кількість вантажів, доступних на тиждень на склад. Сформулюйте модель лінійного програмування, яка визначає кількість поставок з кожного складу до магазинів, яка б мінімізувала загальну вартість доставки.

Максимальна кількість навантажень вантажних автомобілів

Необхідна кількість зарядів

Розширення капіталу Компанія розглядає можливість придбання додаткового обладнання в рамках програми збільшення капіталу. Обстежуються чотири типи машин. У таблиці 6.16 вказані відповідні їх атрибути.

Загальний бюджет програми складає $ 600 000. Максимальна доступна площа - 16 000 квадратних футів. Компанія хоче максимізувати виробництво, яке буде досягнуто з придбанням нових машин. Строго визначте змінні рішення та сформулюйте модель лінійного програмування для цієї проблеми.

Потрібні квадратні фути

Добовий випуск, од